Bioestadística Clínica

Función lineal Se llama función lineal de una variable, a una función de la forma   a0: ordenada en el origen (valor de Y cuando X=0) a1: pendiente (cambio de Y al aumentar X en 1) Modelo de regresión lineal simple Es un modelo de regresión lineal entre dos variables es un modelo probabilístico, que también se puede escribir A la variable Y se la denomina variable dependiente y a X independiente. Modelo I de regresión lineal se asume que i) X no es una variable aleatoria. ii) para cada valor xi de X existe una v.a. Y|xi cuya media está dada por el modelo. iii) todas las variables Y|xi son normales, independientes y con igual varianza. Ejemplo 2: Se quiere estudiar la asociación entre consumo de sal y tensión arterial. A una serie de voluntarios se les administra distintas dosis de sal en su dieta y se mide su tensión arterial un tiempo después. Variable X: gr. de sal diarios (no aleatoria) Variable Y: presión arterial en mm. de Hg asumimos que para cada valor de X, Y no está determinada, sino que a0 presión arterial media de los que no toman nada de sal.a1 cambio de la media de presión arterial por aumentar 1 gr el consumo de sal, asumiendo que es constante. Si fuera 0, quiere decir que la presión no cambia con el consumo de sal, por tanto ambas variables son independientes, un valor distinto de cero indica que están correlacionadas y su magnitud mide la fuerza de la asociación. A partir de una muestra aleatoria, la teoría estadística permite: i) estimar los coeficientes a i del modelo (hay dos procedimientos: mínimos cuadrados y máxima verosimilitud que dan el mismo resultado). ii) estimar la varianza de las variables Y|xi llamada cuadrados medios del error y representada por s2 o MSE. A su raíz cuadrada se le llama error estándar de la estimación. iii) conocer la distribución muestral de los coeficientes estimados, tanto su forma (t) como su error estándar, que permite hacer estimación por intervalos como contrastes de hipótesis sobre ellos. Ejemplo 3 : Para el diseño del ejemplo 2 una muestra produce los siguientes datos: X (sal) Y (Presión) 1,8 100 2,2 98 3,5 110 4,0 110 4,3 112 5,0 120 La "salida" de un paquete estadístico es: 86,371 presión arterial media sin nada de sal. 6,335 aumento de presión por cada gr de sal; como es distinto de 0 indica correlación. La pregunta es ¿podría ser 0 en la población? En términos de contrastes de hipótesis H0 : a1 = 0 H1 : a1 ¹ 0 según iii) aquí t=7,546 con un valor p=0,002 se rechaza H0. Para hacer estimación por intervalos de la fuerza de la asociación o el efecto en este ejemplo para a 1 al 95% 6,335 ± 2,776x0,840 = (4,004 8,666) y del mismo modo se ha calculado en la salida anterior, aunque en general tiene menos interés, para a0 Función lineal Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio. Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. Definición    f: R —> R  /  f(x) = a.x+b  donde a y b son números reales, es una función lineal. Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a  a.x+b Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,  g: g(x) = -3x+7,   h: h(x) = 4 Definición:  Las funciones lineales son polinomios de primer grado.    ver grafica     ejes Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1. Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7        b(x) = -4x+3     f(x) =  2x + 5 + 7x - 3 De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla,   f(x) =  9x + 2  Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso. Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos  f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números  reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R. Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6" Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado.  Para graficarla haremos una tabla de valores. f: R ——> R / f(x) = 2x-6 Le vamos dando valores a "x".   ¿Que valores le podemos dar?  Cualquiera que este dentro del dominio.   Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6        f(5) = 4 Entonces al 5 le corresponde el 4.   Nuestro punto es el (5,4).       Interpretación del contraste a1 = 0 Si no se puede rechazar esta hipótesis, puede ocurrir que: i) el modelo sea inapropiado, bien porque las variables son independientes, bien porque la dependencia no sea lineal. Hay que investigar otros modelos. ii) se cometa error tipo II, el modelo es adecuado, pero el tamaño de la muestra es insuficiente. Hay que calcular la potencia. Si se rechaza la hipótesis puede ocurrir que: i) el modelo es adecuado ii) se cometa error tipo I iii) exista una relación no lineal, pero los datos son compatibles con un modelo lineal. Análisis de residuos. Inferencias sobre la regresión A veces interesa hacer inferencias sobre la propia regresión, es decir sobre mY|xi para cualquier valor de xi. Si a los valores xi de la muestra se les aplica la ecuación estimada, se obtiene una estimación demY|xi cuya distribución muestral también es conocida. A veces se representan los intervalos de confianza para la regresión en la denominada banda de confianza de la regresión. En la figura se presenta la banda de confianza para los datos del ejemplo 3 Análisis de la varianza de la regresión Es un modo alternativo de hacer contrastes sobre el coeficiente a1. Consiste en descomponer la variación de la variable Y de dos componentes: uno la variación de Y alrededor de los valores predichos por la regresión y otro con la variación de los valores predichos alrededor de la media. Si no existe correlación ambos estimadores estimarían la varianza de Y y si la hay, no. Comparando ambos estimadores con la prueba de la F se contrasta la existencia de correlación. Para el ejemplo 3 Observese que el valor de p es igual que antes (son contrastes equivalentes) y el valor de F es el cuadrado del de t. Ejemplo 4: Se quiere investigar el efecto de la ingestión masiva de vitamina C sobre el hígado de las cobayas. Se eligen dos grupos de 4 cobayas, a uno se le administra y al otro no. Se sacrifica a los animales y se mide la concentración de lípidos en el hígado. Grupo control (=0) Tratado (=1) 23,8 13,8 15,4 9,3 21,7 17,2 18,0 15,1 ¿Hay diferencia entre ambos grupos? Se podría plantear un contraste sobre medias con la t de Student. También se puede plantear un modelo de regresión entre la variable grupo (X=0 control y X=1 tratado) y la variable lípido (Y)