Bioestadística Clínica

Sucesos independientes Dos sucesos son independientes si y sólo si p(A Ç B) = p(A) p(B). Si dos sucesos son independientes y del mismo modo p(B|A) = p(B). Esta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia y algunos textos la dan como definición. Hay que notar, sin embargo, que ambas definiciones no son estrictamente equivalentes. Ejemplo 7: Para un hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad ¿son independientes? Según vimos en el Ejemplo 3 el espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY} Definimos los sucesos A = {varón} = {xY, XY}; B = {enfermo} = {xY} A Ç B = {xY} por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A Ç B) = 0,25 ¹ p(A) p(B) NO son independientes. http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_16.html En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados. Definición formal Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$ Motivación de la definición Sean ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ dos sucesos tales que ${\displaystyle P(B)>0}$, intuitivamente A es independiente de B si la probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si: ${\displaystyle P(A|B)=P(A)\,}$ De la propia definición de probabilidad condicionada: ${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$ se deduce que ${\displaystyle P(A\cap B)=\ P(A|B)P(B),}$ y dado que ${\displaystyle P(A|B)\ =\ P(A)}$ deducimos trivialmente que ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)\,}$. Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es independiente de A. Propiedades La independencia de sucesos es algo muy importante para la estadística y es condición necesaria en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las primeras propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dos sucesos son independientes entre sí, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades. INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA DE SUCESOS: Dos sucesos A y B son estocásticamente independientes cuando la información sobre la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de que ocurra el otro.Esto es:                              P(A/B) = P(A) o equivalentemente P(B/A) = P(B)     ejemplo CARACTERIZACIÓN DE LA INDEPENDENCIA: TEOREMA DE CARACTERIZACIÓN                         A y B son independientes Û P(AÇB) = P(A).P(B)   ya que si   por definición de independencia                           y por definición de probabilidad condicionada                         deberá cumplirse que  .                          Así , dos sucesos A y B son independientes si y sólo si    GENERALIZACIÓN  DEL CONCEPTO DE INDEPENDENCIA (caracterización) PARA n SUCESOS Un número finito o infinito de sucesos    son mutuamente independientes si dados los subíndices   tales que         se cumple que                                                     Así para tres sucesos     serán independientes si se cumple lo anterior , es decir, si                                                                                                   PROPIEDADES: 1.-Si A y B son independientes los complementarios también lo son.                                                                           Así   Si  A y B son independientes se cumplirá que        para que       y  sean  independientes deberá darse que                            Si    Entonces tendremos que :     así                              luego los complementarios son independientes 2.- Si A y B son independientes el complementario de A y el suceso de  B también lo son. (evidentemente el complementarios de B y el suceso A , también)                                                                                     Si  A y B son independientes se cumplirá que        para que       y  sean  independientes deberá darse que                            ya que :                                                                                                                                                                            Así :                                                                                                   luego   A complementario y B son independientes.                                    Análogamente   el complementario de B y el suceso A también serán independientes si A y B lo son 3.- Si A implica B ( A Í B) , A y B  ,  “NO” son independientes                                                                                       A y B son independientes si se cumple que  ya que     luego  No se cumple el teorema de caracterización luego A y B   No son independientes , salvo en el caso de que  en el que  ; caso extremo e inadecuado 4.-Si dos sucesos son incompatibles-disjuntos  (mutuamente excluyentes o de intersección vacía),  “NO” son independientes   A y B son independientes si se cumple que    ya que     luego   entonces  No se cumple el teorema de caracterización luego A y B   No son independientes , salvo que P(A) ó P(B) sean 0; caso extremo e inadecuado Regla de la probabilidad total Se llama partición a conjunto de sucesos Ai tales que A1 È A2 È ... È An = W y Ai Ç Aj = Æ " i ¹ j es decir un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y que cubren todo el espacio muestral Regla de la probabilidad total: Si un conjunto de sucesos Ai forman una partición del espacio muestral y p(Ai) ¹ 0 " Ai, para cualquier otro suceso B se cumple Demostración Ejemplo 8: La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la prevalencia de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la prevalencia del infarto en esa población? A1 = {ser hipertenso} A2 = {no serlo} estos sucesos constituyen una partición B = {padecer infarto} datos: p(B|A1) = 0,003; p(B|A2) = 0,001; p(A1) = 0,25 evidentemente p(A2) =0,75 por la propiedad 1 p(B) = 0,003x0,25 + 0,001 x 0,75 = 0,0015 El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas: Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es: Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%). Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100% Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total. Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: a) Amarilla: probabilidad del 50%. b) Verde: probabilidad del 30% c) Roja: probabilidad del 20%. Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%. b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60% c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%. Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100% 2.- Aplicamos la fórmula: Luego, P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54 Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%. Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos: a) Carlos, con una probabilidad del 60% b) Juan, con una probabilidad del 30% c) Luis, con una probabilidad del 10% En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente: a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%. c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.