Geometría analítica

Sistemas de coordenadas

coordenadas trilineales x:y:z de un punto respecto a un triángulo se especifican mediante sus distancias a las rectas que forman los lados del triángulo. Las coordenadas trilineales son un ejemplo de coordenadas homogéneas. A menudo son designadas simplemente como "trilineales".

La relación x:y es la proporción entre las distancias perpendiculares desde un punto a los lados (extendidos si es necesario) opuestos a los vértices A y B respectivamente; la relación y:z es la proporción de las distancias perpendiculares del punto a las líneas opuestas a los vértices B y C respectivamente; y así mismo para z:x y los vértices C y A.

En el diagrama a la derecha, las coordenadas trilineales del punto interior indicado son las distancias reales ( a' , b' , c' ), o las equivalentes en forma de cociente, ka' : kb' : kc' para cualquier constante positiva k. Si un punto está en un lateral del triángulo de referencia, su correspondiente coordenada trilineal es 0. Si un punto exterior está en el lado opuesto de una línea lateral respecto al interior del triángulo, su coordenada trilineal asociada con ese margen es negativa. Es imposible que las tres coordenadas trilineales sean negativas simultáneamente.

Notación

La notación relativa trilineal x: y: z es diferente de la notación triple ( a ' , b' , c' ) para distancias reales orientadas. Aquí, cada uno de los valores x, y, y z no tiene ningún significado por sí mismo; pero su relación con cada uno de los otros sí tiene significado. Por lo tanto, debe evitarse la "notación con comas" para las coordenadas trilineales, porque la notación (x, y, z), referida a una terna ordenada de datos, no permite por ejemplo hacer que (x, y, z) = (2x, 2y, 2z), mientras que la "notación de puntos" sí permite expresiones como x: y: z = 2x: 2y: 2z.

Ejemplos

Las coordenadas trilineales del incentro de un triángulo ABC son 1: 1: 1; es decir, las distancias (dirigidas) desde el incentro a las líneas laterales BC, CA, AB son proporcionales a las distancias reales, denotadas por (r, r, r), donde r es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Dadas las longitudes de los lados a, b, c, se tiene que:

• A = 1 : 0 : 0
• B = 0 : 1 : 0
• C = 0 : 0 : 1
• Incentro = 1: 1: 1
• Centroide = bc: ca: ab = 1 /a: 1/b: 1/c = csc A: csc B: csc C
• Circuncentro = cos A: cos B: cos C
• Ortocentro = sec A: sec B: sec C
• Centro de nueve puntos = cos (B − C): cos (C − A): cos (A − B)
• Punto simediano = a: b: c = sin A: sin B: sin C
• A-excéntrico = −1: 1: 1
• B-excéntrico = 1: −1: 1
• C-excéntrico = 1: 1: −1

Debe tenerse en cuenta que en general el incentro no es lo mismo que el centroide; que tiene coordenadas baricéntricas 1: 1: 1 (siendo proporcionales a las áreas reales de los triángulos BGC, CGA, AGB; donde G = centroide).

Por ejemplo, el punto medio del lado BC, tiene coordenadas trilineales con respecto a las longitudes reales de los lados (a, b y c) ${\displaystyle (0,{\frac {\Delta }{b}},{\frac {\Delta }{c}})}$, siendo ${\displaystyle \Delta }$ el área del triángulo, que en forma de distancias relativas se simplifica tomando la forma ${\displaystyle 0:ca:ab}$.

La altura del pie de la perpendicular desde el punto A a BC es ${\displaystyle (0,{\frac {2\Delta }{a}}\cos C,{\frac {2\Delta }{a}}\cos B),}$ que en distancias relativas se simplifica a ${\displaystyle 0:\cos C:\cos B.}$^{1 :p. 96}

Fórmulas

Colinearidad y concurrencia

Las coordenadas trilineales permiten utilizar muchos métodos algebraicos sobre la geometría del triángulo. Por ejemplo, tres puntos

P = p : q : r

U = u : v : w

X = x : y : z

son colineales si y solo si el determinante

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}}$

es igual a cero. Por lo tanto, si x: y: z es un punto variable, la ecuación de una línea a través de los puntos P y U es D = 0,^{1 :p. 23} de lo que se deduce que cada recta tiene una ecuación lineal homogénea en x, y, z. Cada ecuación de la forma lx + mi + nz = 0 en coeficientes reales es una recta real de puntos finitos a menos que l: m: n sea proporcional a a: b: c, las longitudes laterales, en cuyo caso se tiene un lugar geométrico de puntos en el infinito.^{1 :p. 40}

El enunciado dual del anterior es que las líneas

pα qβ + rγ = 0

uα vβ + wγ = 0

xα + yβ + zγ = 0

concurren en un punto (α, β, γ) si y solo si D = 0^{1 :p. 28}

También, si se utilizan distancias reales cuando se evalúa el determinante D, entonces (Área de (PUX)) = KD, donde K = abc/8∆² si el triángulo PUX tiene la misma orientación (hacia la derecha o hacia la izquierda) que el triángulo ABC, y K = –abc/8∆ ² en caso contrario.

Líneas paralelas

Dos líneas con las ecuaciones trilineales ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ y ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$ son paralelas si y solo si^{1 :p. 98,#xi}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0}$

donde a, b, c son las longitudes de los lados.

Ángulo entre dos líneas

Las tangentes de los ángulos entre dos líneas con las ecuaciones trilineales ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ y ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$ se definen por^1 :p.50

${\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.}$

Líneas perpendiculares

Por lo tanto, dos líneas con las ecuaciones trilineales ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ y ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$ son perpendicular si y solo si

${\displaystyle ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}$

Altura

La ecuación de la altura desde el vértice A hacia BC es^1 :p.98,#x

${\displaystyle y\cos B-z\cos C=0.}$

Línea en términos de distancias desde los vértices

La ecuación de una línea con las distancias p, q, r desde los vértices A, B, ' C de un triángulo, cuyas longitudes de los lados opuestos a dichos vértices son a, b, c; es^{1 :p. 97,#viii}

${\displaystyle apx+bqy+crz=0}$

Distancias reales trilineales

Las coordenadas trilineales con los valores a', b', c' (siendo las distancias reales perpendiculares a lo lados) satisfacen que^{1 :p. 11}

${\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta }$

para las longitudes de los lados del triángulo a, b, c y área ${\displaystyle \Delta }$. Esto puede verse en la figura de la parte superior de este artículo: con el punto P interior al triángulo ABC, se forman tres triángulos ( PBC, ACP y PAB) con las áreas respectivas (1/2)aa' ; (1/2) bb' ; y 1/2 cc' .

Distancia entre dos puntos

La distancia d entre dos puntos con distancias reales trilineales a'_i: b'_i: c'_i viene dada por^{1 :p. 46}

${\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a'_{1}-a'_{2})^{2}+(b'_{1}-b'_{2})^{2}+2(a'_{1}-a'_{2})(b'_{1}-b'_{2})\cos C}$

Distancia de un punto a una línea

La distancia d desde un punto a'₀: b'₀: c'₀, en coordenadas trilineales de distancias reales, a una línea recta lx + mi + nz = 0 es^{1 :p. 48}

${\displaystyle d={\frac {la'_{0}+mb'_{0}+nc'_{0}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}}$

Curvas cuadráticas

La ecuación de una cónica según las coordenadas trilineales x: y: z es^1 :p.118

${\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}$

Carece de términos lineales y de términos constantes.

La ecuación de un círculo de radio r con centro en las coordenadas de distancia real ( a', b', c' ) es^1 :p.287

${\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}$

Circuncónicas

La ecuación en coordenadas trilineales x, y, z de cualquier circuncónica de un triángulo es^{1 :p. 192}

${\displaystyle lyz+mzx+nxy=0.}$

Si los parámetros l, m, n son respectivamente iguales a las longitudes de los lados d3l triángulo a, b, c (o los senos de los ángulos opuestos) entonces la ecuación coincide con la circunferencia circunscrita.^{1 :p. 199}

Cada circuncónica distinta tiene su propio centro. La ecuación trilineal de la circuncónica con centro x': y': z' es^{1 :p. 203}

${\displaystyle yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.}$

Incónicas

Cada sección cónica inscrita en un triángulo tiene una ecuación en coordenadas trilineales de la forma^{1 :p. 208}

${\displaystyle l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,}$

con exactamente uno o los tres signos no especificados negativos.

La ecuación de la circunferencia inscrita puede ser simplificada a^{1 :p. 210, p.214}

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,}$

mientras que la ecuación para, por ejemplo, la circunferencia exinscrita adyacente al segmento del lado opuesto al vértice A se puede escribir como^{1 :p. 215}

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.}$

Curvas cúbicas

Muchas curvas cúbicas se representan fácilmente usando trilineales. Por ejemplo, el auto-isoconjugado cúbico Z(U,P), definido como el lugar geométrico de un punto X que es el isoconjugado P de X respecto a la línea UX viene dado por la ecuación determinante

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0}$

Entre las cúbicas del tipo Z(U,P) se incluyen las siguientes:

Cúbica de Thomson: Z(X( 2),X(1)), donde X( 2) = centroide, X(1) = incentro

Cúbica de Feuerbach: Z(X( 5),X(1)), donde X( 5) = punto de Feuerbach

Cúbica de Darboux: Z(X(20),X(1)), donde X(20) = punto de De Longchamps

Cúbica de Neuberg: Z(X(30),X(1)), donde X(30) = punto del infinito de Euler

Conversiones

Entre coordenadas trilineales y distancias a los lados

Dada una coordenada trilineal x: y: z, para localizar el punto, las distancias reales del punto a los lados se calculan por a' = kx, b' = ky, c' = kz, donde k puede determinarse por la fórmula ${\displaystyle k={\frac {2\Delta }{ax+by+cz}}}$ en el que a, b, c son las longitudes respectivas de los lados BC, CA, AB; y ∆ es el área del triángulo ABC.

Entre coordenadas baricéntricas y trilineales

Un punto de coordenadas trilineales x: y: z tiene coordenadas baricéntricas ax: by: cz; donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo. Por el contrario, un punto con coordenadas baricéntricas α: β: γ tienen coordenadas trilineales α/a: β/b: γ/c.

Entre coordenadas cartesianas y trilineales

Dado un triángulo de vértices ABC, la posición del vértice B se puede expresar en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas, que se representa algebraicamente como un vector B, con el vértice C como origen. Así mismo, se define el vector de posición del vértice A como A. Entonces cualquier punto P asociado con el triángulo de referencia ABC puede definirse en un sistema cartesiano como un vector P = k₁A k₂B. Si este punto P tiene coordenadas trilineales x: y: z entonces la fórmula de conversión de los coeficientes de k₁ y k₂ en la representación cartesiana a las coordenadas trilineales es, para las longitudes de los lados del triángulo a, b, c opuestos a los vértices A, B, C,

${\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},}$

y la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales para los coeficientes en la representación cartesiana es

${\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.}$

De forma más general, si se elige un origen arbitrario donde las coordenadas cartesianas de los vértices son conocidas y representadas por los vectores A, B y C; y si el punto P tiene coordenadas trilineales x: y: z, entonces las coordenadas cartesianas de P son la media ponderada de las coordenadas cartesianas de los vértices utilizando las coordenadas baricéntricas ax, by y cz como pesos. Por lo tanto, la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales x, y, z al vector de coordenadas cartesianos P del punto está dada por

${\displaystyle {\underline {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\underline {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\underline {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\underline {C}},}$

donde son las longitudes de los lados son | C − B | = a; | A − C | = b; y | B − A | = c.

coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos ${\displaystyle F_{1}}$ y ${\displaystyle F_{2}}$ están generalmente fijos en las posiciones ${\displaystyle x=-a}$ y ${\displaystyle x=+a}$, respectivamente, sobre el eje ${\displaystyle OX}$ de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.

Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

Sistema de coordenadas elípticas.

Relación con Coordenadas Cartesianas

Para un espacio lR²
La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR² que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:¹

Φ: lR² → lR²

(r,φ) → Φ (r,φ) = (ar cosφ, br sinφ)

donde a y b son constantes. Entonces:

x = a r cosφ

y = b r sinφ

Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje x y por un factor b según el eje y. Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π)

El jacobiano de la transformación es:

J Φ (r,φ) = abr

dA = J Φ (r,φ) = abr dr dφ

En un espacio lR³
Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación:²

x = a r sinφ cosθ

y = b r sinφ sinθ

z = c r cosφ

El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que:

J Φ (r,φ,θ) = d(x,y,x)/d(r,φ,θ) = abc r² cos²φsinφ + abc r² sin3φ = abc r² sinφ(cos²φ + sin²φ) = abc r² sinφ

Por lo tanto:

dV = J Φ (r,φ,θ) = abc r² sinφ dr dφ dθ

Definición

La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ es:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{cases}}}$

Donde:

${\displaystyle \mu \,}$ es un número real no negativo y

${\displaystyle \nu \in [0,2\pi )\,}$.

En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:

${\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}$

Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

muestra que las curvas con ${\displaystyle \mu \,}$ constante son elipses, mientras que las la identidad trigonométrica hiperbólica:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

muestra que las curvas con ${\displaystyle \nu \,}$ constante son hipérbolas.

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.