Astronomía - Mecánica celeste

Los elementos orbitales de la órbita de un cuerpo celeste son un conjunto de seis cantidades que permiten definir su órbita alrededor del Sol o cualquier otro cuerpo celeste de forma totalmente unívoca. Estas seis cantidades son:

• Longitud del nodo ascendente (${\displaystyle \Omega \,\!}$)
• Inclinación de la órbita (${\displaystyle i\,\!}$)
• Argumento del perihelio (${\displaystyle \omega \,\!}$). Si no es el Sol (Argumento del periastro)
• Semieje mayor de la órbita (${\displaystyle a\,\!}$)
• Excentricidad de la órbita (${\displaystyle e\,\!}$)
• Anomalía media de la época (${\displaystyle M_{o}\,\!}$)

A veces, en lugar de la anomalía media de la época, se utiliza la anomalía media de un tiempo dado (${\displaystyle M\,\!}$), o la longitud media, o la anomalía verdadera o, raramente, la anomalía excéntrica.

A veces la época del paso por el perihelio reemplaza a la anomalía media. En lugar del semieje mayor se puede utilizar también el período orbital.

A veces se usa la ${\displaystyle {\bar {\omega }}\,}$ (longitud del periastro), que se relaciona con Longitud del nodo ascendente (${\displaystyle \Omega \,\!}$) y el Argumento del periastro (${\displaystyle \omega \,\!}$) mediante:

${\displaystyle {\bar {\omega }}=\Omega +\omega \,}$

Los primeros tres elementos orbitales coinciden con los ángulos de Euler que definen la orientación de la órbita en el espacio. Los otros tres elementos orbitales definen la forma y la posición del astro en la órbita.

• La inclinación y la longitud del nodo ascendente indican el plano de la órbita.
• El argumento de perihelio orienta la órbita dentro de su plano.
• El semieje mayor (o el período, indistintamente) determina el tamaño de la órbita.
• La excentricidad su forma.
• La época del paso por el perihelio (o la anomalía media) permiten situar al objeto en su órbita.

Los seis elementos anteriores surgen en el problema de los dos cuerpos sin perturbaciones externas. Una trayectoria perturbada realista se representa como una sucesión de cónicas instantánea que comparte uno de su focos. Estos elementos orbitales se llaman osculatrices y la trayectoria es siempre tangente a esta sucesión de cónicas.

Los elementos orbitales de objetos reales tienden a cambiar con el tiempo. La evolución de los elementos orbitales tiene lugar debido fundamentalmente a la fuerza gravitatoria de los otros cuerpos. En el caso de satélites, debido a la falta de esfericidad del primario, o al roce con los restos de atmósfera. Esto es fundamental en satélites artificiales de la Tierra o de otros planetas. En el caso de cometas la expulsión de gas, y la presión de la radiación, o las fuerzas electromagnéticas introducen pequeñas fuerzas no gravitatorias que hay que considerar para explicar su movimiento.

Los elementos orbitales en dos líneas

Hay muchos programas de informática para el seguimiento de los satélites artificiales en órbita alrededor de la Tierra. Para que puedan funcionar se necesita alimentarlos con elementos orbitales recientes. Datos de más de 30 días dan resultados profundamente inexactos. Los elementos orbitales de los diferentes satélites se listan en código de texto y pueden estar en diferentes formatos. El más común es el NASA / NORAD, que dan los elementos orbitales de cada satélite empleando dos líneas [1], originalmente se diseñó para el uso con las antiguas tarjetas perforadas de 80 columnas, pero todavía están en uso porque es el formato más común.

Elementos orbitales de un cuerpo alrededor del Sol.

Elementos de órbitas planetarias    

Los elementos de órbitas planetarias fueron determinados por Johannes Kepler para precisar el desplazamiento de un cuerpo en torno a otro.

Desarrolladas matemáticamente por Isaac Newton, estos elementos poseen métodos de cálculos determinados por Gauss, Laplace y Olbers. Estos elementos orbitales establecen las órbitas de todos los cuerpos, sean planetas, asteroides, cometas, satélites artificiales y todos aquellos que poseen masa.

Para un planeta o asteroide, un gráfico que muestra los elementos orbitales sería el siguiente: 

Para un cometa, el gráfico ilustra la disposición de los elementos orbitales:

A continuación se describe cada uno de ellos.

Los puntos y líneas fundamentales de una órbita planetaria son:

Apastro (A)

Periastro (P, P)

Nodo Ascendente

Nodo Descendente

Línea de los Ápsides

Línea de los Nodos

Punto Vernal

Semieje Mayor y menor

Los elementos de órbitas planetarias son:

Excentricidad (e).

Inclinación (i)

Longitud del Nodo Ascendente (W)

Argumento del Periastro (w)

Paso por el Periastro (T).

Apastro (A).

Punto de la órbita en donde el cuerpo satélite se encuentra más alejado del cuerpo principal. Cuando el cuerpo principal es el Sol, recibe el nombre de Afelio (de helios: el Sol). Si el cuerpo principal es la Tierra, se denomina Apogeo (de Geo: Tierra).

Periastro (P, P).

Punto de la órbita en donde el cuerpo satélite se encuentra más cerca del cuerpo principal. Cuando el cuerpo principal es el Sol, recibe el nombre de Perihelio (de helios: el Sol). Si el cuerpo principal es la Tierra, se denomina Perigeo (de Geo: Tierra).

Nodo Ascendente (W).

Punto de la órbita en donde el cuerpo pasa del hemisferio Sur del plano ecuatorial, al hemisferio Norte. Se identifica con la letra griega Omega (W) o con el símbolo .

Nodo Descendente ( ).

Punto de la órbita en donde el cuerpo pasa del hemisferio Norte del plano ecuatorial, al hemisferio Sur. Se identifica con la letra griega Omega, pero invertida ( ) o con el símbolo .

Línea de los Ápsides.

Línea imaginaria que une el Apastro con el Periastro.

Línea de los Nodos.

Línea imaginaria que une los Nodos Ascendentes y Descendentes de una órbita.

Punto Vernal.

Punto en donde coinciden el Ecuador Celeste con el plano de la Eclíptica. Cómo existen dos puntos, se consideró el que apunta hacia la constelación del Carnero (Aries), de aquí que se identifique con el símbolo de esa constelación (^). El punto contrario corresponde a la constelación de Balanza (Libra) y se denota con su símbolo (d). 

Semieje Mayor y menor.

El Semieje Mayor de la órbita es aquel que se mide desde el punto en donde se encuentra el cuerpo principal (Foco) y el Apastro (A) de la órbita. El Semieje menor, se mide desde el Foco y el Periastro (P, P).

Excentricidad (e).

La trayectoria que traza el cuerpo satélite en torno al cuerpo principal, recibe el nombre de Elipse. La elipse posee un parámetro que determina cuan circular es. Ese parámetro se denomina Excentricidad (0 < e £ 1). Si la excentricidad es menor, la órbita es más parecida a un círculo. Cuando la excentricidad es 1, la órbita es una hipérbola y es una curva abierta, por lo tanto el cuerpo satélite no tendrá retorno al cuerpo principal que lo atrajo gravitatoriamente.

Inclinación (i).

Entre dos cuerpos (M: principal y C: satélite) se establecen dos planos:

Plano del Ecuador del cuerpo principal, que si es el Sol, recibe el nombre de Plano Eclíptico y Plano de la Orbita: recorrido que traza el cuerpo en torno al cuerpo principal. El ángulo que existe entre estos dos planos recibe el nombre de Inclinación (i) de la órbita del cuerpo .

Longitud del Nodo Ascendente (W).

Ángulo medido en sentido antihorario entre la dirección del punto Vernal y la dirección en donde se encuentra el Nodo Ascendente de la órbita.

Argumento del Periastro (w).

Ángulo medido entre el Nodo Ascendente de la órbita y el punto donde se encuentra el Periastro (Perihelio o Perigeo).

Paso por el Periastro (T).

Fecha, en Tiempo Universal (UT), cuando el cuerpo satélite se encontrará en el Periastro (Perihelio o Perigeo) de la órbita.

El epiciclo (del griego, epi, sobre, y kyklos, círculo, que significa sobre el círculo) fue la base de un modelo geométrico ideado por los antiguos griegos para explicar las variaciones en la velocidad y la dirección del movimiento aparente de la Luna, el Sol y los planetas. Fue propuesto por primera vez por Apolonio de Perga a finales del siglo II a. C. y usado ampliamente en el siglo II a. C. por Hiparco de Nicea. Casi tres siglos después, el también astrónomo griego Claudio Ptolomeo se basó en él para elaborar su versión de la teoría geocéntrica conocida ahora como sistema ptolemaico.

Con la mejora de las observaciones en los siglos siguientes, fue necesario ir añadiendo cada vez más círculos al modelo para adecuarlo a los hechos llegando a ser impracticable. Con el advenimiento de la teoría heliocéntrica de Nicolás Copérnico y la explicación del movimiento planetario en órbitas elípticas por Johannes Kepler, el modelo de los epiciclos quedó obsoleto.

Esquema de movimiento epicíclico simple (rotación 1:1).

El retroceso de un planeta en el epiciclo.

Introducción

Los elementos básicos de la astronomía de Ptolomeo, mostrando un planeta en un epiciclo (círculo de puntos más pequeño), un deferente (círculo de puntos más grande), el excéntrico (X) y un ecuante (punto negro agrandado).
* El centro del deferente es X, pero el movimiento angular del epiciclo es aparentemente acorde solo respecto al punto (·) que es el ecuante.
* El deferente es el recorrido circular que describe el centro del epiciclo.
* El ecuante es el punto en torno al cual se mueve el planeta en su trayectoria, aparentemente.

En ambos sistemas hiparquiano y ptolemaico, los planetas se supone que se mueven en un círculo pequeño llamado epiciclo que, a su vez, se mueve a lo largo de un círculo más grande llamado deferente. Ambos círculos giran en el sentido de las manecillas del reloj y son más o menos paralelos al plano de la órbita del Sol (eclíptica). A pesar de que el sistema se consideraba geocéntrico, el movimiento de los planetas no estaba centrado en la Tierra sino en lo que se llama el excéntrico. Las órbitas de los planetas en este sistema describen curvas epitrocoides.

El epiciclo gira y rota a lo largo del deferente con un movimiento uniforme. Sin embargo, Tolomeo encontró que la razón a la que el deferente giraba no era constante a menos que fuera medida desde otro punto localizado a la misma distancia de la excéntrica, al que llamó ecuante. Y lo que era constante era la razón angular a la que el deferente se movía alrededor del ecuante. Fue el uso de ese ecuante lo que distinguía al sistema ptolemaico.

Ptolomeo no predijo los tamaños relativos de los deferentes planetarios en el Almagesto. Todos sus cálculos se realizaron con respecto a un deferente normalizado. Esto no quiere decir que creyese que los planetas eran todos equidistantes. Hizo una conjetura y un ordenamiento de los planetas. Más tarde, calculó sus distancias en Planetary Hypotheses.

Para los planetas superiores, el planeta típicamente se mueve a través del cielo nocturno más lentamente que las estrellas. Cada noche, el planeta sería " lag " un poco detrás de la estrella, en lo que se llama Movimiento progrado. Occasionalmente, cerca de la oposición, el planeta parece moverse a través del cielo nocturno más rápido que las estrellas, llamado movimiento retrógrado. El modelo ptolemaico, en parte, buscó explicar este comportamiento.

Los planetas inferiores se observan siempre cerca del Sol, apareciendo poco antes del amanecer o poco después de la puesta del sol. Para solucionar esto, el modelo de Ptolomeo fijó el movimiento de Mercurio y de Venus para que la línea desde los puntos ecuantes al centro del epiciclo era siempre paralela a la línea Tierra-Sol.

Historia

Representación del movimiento aparente del sol y los planetas con la tierra como centro, una muestra de la complejidad que puede ser descrita por el modelo geocéntrico.

Cuando los antiguos astrónomos miraban el cielo, veían el Sol, la Luna y las estrellas moviéndose sobre ellos de una manera regular. También veían "vagabundos" o "planetai" (nuestros planetas). La regularidad en los movimientos de los cuerpos errantes sugería que sus posiciones podrían ser predecibles.

La aproximación más obvia para abordar el problema de la predicción de los movimientos de los cuerpos celestes fue simplemente delinear sus posiciones contra el campo de estrellas y luego encajar funciones matemáticas a las cambiantes posiciones.¹

Los antiguos trabajaban desde una perspectiva geocéntrica por el mero hecho de que percibían que la Tierra estaba quieta y que es el cielo el que parece moverse. Sin embargo, Aristarco de Samos especuló que los planetas orbitaban el Sol. Empero, le faltaban herramientas matemáticas y ópticas que llegarían recién en la Modernidad.

Por otra parte, la Física Aristotelica afirmaba con énfasis la tesis de que el mundo supralunar era perfecto y que, por ello, los cuerpos celestes sólo podían moverse con movimientos circulares y uniformes. Dicha tesis sería cuestionada por el heliocentrismo.

Pero no fue sino hasta que Galileo Galilei observó las lunas de Júpiter el 7 de enero de 1610, y las fases de Venus en septiembre de 1610, que el modelo heliocéntrico comenzó a recibir un amplio respaldo entre los astrónomos.

A continuación, Johannes Kepler, tomando las observaciones de Tycho Brahe, puedo formular sus famosas tres, las leyes del movimiento planetario, describiendo las órbitas de los planetas de nuestro sistema solar con una precisión increíble nunca antes vista. Las tres leyes de Kepler todavía se enseñan hoy en día en las clases de física universitaria y astronomía.

El movimiento aparente de los astros con respecto al tiempo es cíclico en la naturaleza. Apolonio de Perga se dio cuenta de que esta variación cíclica podría representarse visualmente por pequeñas órbitas circulares o epiciclos, que giraban en órbitas circulares más grandes, o deferentes. Hiparco de Nicea calculó las órbitas necesarias, añadiendo que el centro de los deferentes no coincidía con la Tierra, considerada el centro del universo, sino que eran excéntricos.

Claudio Ptolomeo refinó el concepto deferente/epiciclo y presentó el ecuante como un mecanismo para la contabilización de las variaciones de velocidad en los movimientos de los planetas. La metodología empírica desarrollada demostró ser extraordinariamente precisa para sus días y aún estaba en uso en la época de Copérnico y Kepler.

La simplicidad básica del universo de Copérnico, del libro de Thomas Digges.k

Owen Gingerich² describió una conjunción planetaria ocurrida en 1504 que aparentemente fue observada por Copérnico. En unas notas atadas con su copia de las Alfonsine Tables, Copérnico comentó que «Marte supera los números en más de dos grados. Saturno es superado por los números en un grado y medio». Usando modernos programas informáticos, Gingerich descubrió que, en el momento de la conjunción, Saturno en efecto iba rezagado según tablas en un grado y medio y Marte y fallaba en las predicciones en casi dos grados. Sin embargo, encontró que las predicciones de Ptolomeo para Júpiter eran al mismo tiempo bastante precisas. Por lo tanto, Copérnico y sus contemporáneos estaban utilizando los métodos de Ptolomeo y los encontraban confiables casi más de mil años después de la que la obra original de Ptolomeo fuese publicada.

Cuando Copérnico transformó las observaciones realizadas desde la Tierra a coordenadas heliocéntricas,³ se encontró con un problema totalmente nuevo. Las posiciones centradas en el Sol mostraban un movimiento cíclico con respecto al tiempo pero sin bucles retrógrados en el caso de los planetas exteriores. En principio, el movimiento heliocéntrico era el objetivo más fácil con nuevos matices debido a la forma elíptica todavía-a- ser - descubierto de las órbitas. Otra complicación fue causada por un problema que Copérnico nunca resolvió: correctamente que representa el movimiento de la Tierra en la transformación de coordenadas.⁴ Conservando las prácticas anteriores, Copérnico utilizó la teoría de los modelos deferente/epiciclo en su teoría pero sus epiciclos eran pequeños y fueron llamados "epicicletos".

En el sistema ptoloméico, los modelos para cada uno de los planetas eran diferentes y así eran los modelos iniciales de Copérnico. Mientras trabajaba con las matemáticas, sin embargo, Copérnico descubrió que sus modelos podía ser combinados en un sistema unificado. Por otra parte, si se tratara de manera que escaló la órbita de la Tierra era el mismo en todos ellos, el orden de los planetas que reconocer fácilmente hoy es consecuencia de la matemática. Mercurio orbitaba más cercano al Sol y el resto de los planetas cayó en el espacio con el fin hacia el exterior, dispuestas en la distancia por sus períodos de revolución.⁵

Aunque los modelos de Copérnico reducían considerablemente la magnitud de los epiciclos, si eran más simples que los de Ptolomeo es discutible. Copérnico logró eliminar la denostada ecuante de Ptolomeo, pero a un costo: agregando epiciclos adicionales. Varios libros del siglo XVI basados en Ptolomeo y Copérnico utilizan aproximadamente el mismo número de epiciclos.^6 7 8

La idea de que Copérnico utilizó sólo 34 círculos en su sistema proviene de su propia declaración en un boceto preliminar inédito llamado Commentariolus. Empero, cuando publicó De revolutionibus orbium coelestium, ya había añadido más círculos. Finalmente, su sistema resultó tan complejo que contar el número total de epiciclos resulta difícil. A fin de cuentas, su sistema no resultó ser más simple que el de Ptolomeo. ⁹ Koestler, en su Historia de la visión del hombre del universo, estima el número de epiciclos utilizados por Copérnico en 48.¹⁰La referencia popular de unos 80 círculos para el sistema ptolomeico parece haber surgido en 1898. Puede haber estado inspirado por el no-ptolemaico sistema de Girolamo Fracastoro, que usó 77 ó 79 órbitas en su sistema inspirado en Eudoxo de Cnido.¹¹ Copérnico en sus obras exageró el número de epiciclos utilizados en el sistema ptoleimico; aunque los recuentos originales variaron de 80 círculos.¹² Aunque los conteos iniciales aproximaban unos 80 círculos, para la época de Copérnico, el sistema ptolemaico había sido actualizado por Peurbach hasta llegar a unos 40. De ahí que Copérnico pudo reemplazar el problema de las retrogradaciones con más epiciclos.

Copérnico eliminó la infame ecuante de Ptolomeo, pero a costa de agregar epiciclos adicionales.

Contar el número final es difícil, pero las estimaciones señalan que el sistema de Copérnico era tanto o más complicado que el de Ptolomeo.

La teoría de Copérnico era tan precisa, al menos, como la de Ptolomeo, pero nunca alcanzó la estatura y el reconocimiento de ésta. Los trabajos de Copérnico proporcionaban explicaciones para fenómenos como el movimiento retrógrado, pero realmente no probaban que los planetas giraran alrededor del Sol.

Lo que hacía falta era la teoría elíptica de Kepler que no llegó hasta 1609.

El deferente (O) está desplazada de la tierra (T). P es el centro del epiciclo del sol S.

Las teorías de Ptolomeo y Copérnico probaron la durabilidad y la capacidad de adaptación del dispositivo deferente/epiciclo para representar el movimiento planetario. Este modelo funcionaba tan bien como lo hizo, debido a la extraordinaria estabilidad orbital del sistema solar. De hecho, se podría utilizar aún hoy con éxito.¹³

El primer modelo planetario sin ningún epiciclo fue el de Ibn Bajjah (Avempace) en el siglo XII en la España andaluza,¹⁴ pero los epiciclos no fueron eliminados en Europa hasta el siglo XVII, cuando el modelo de las órbitas elípticas de Johannes Kepler remplazó gradualmente al de Copérnico basándose en círculos perfectos.

La mecánica clásica o newtoniana eliminó la necesidad de métodos deferente/epiciclo y produjo teorías muchas más poderosas. Tratando el Sol y los planetas como masas puntuales y usando la ley de la gravitación universal, se derivaban las ecuaciones del movimiento que podían ser resueltas por diversos medios para calcular las predicciones de las velocidades y las posiciones orbitales planetarias. El simple problema de dos cuerpos, por ejemplo, podía ser resuelto analíticamente. El más complejo problema de n cuerpos requiere métodos numéricos para su solución.

El poder de la mecánica newtoniana para resolver problemas de mecánica orbital se ilustra por el descubrimiento de Neptuno. El análisis de las perturbaciones observadas en la órbita de Urano, llevo a realizar unas estimaciones sobre la posición de un supuesto planeta en un ámbito donde fue encontrado. Esto descubrimiento no podría haberse logrado con los métodos deferente/epiciclo. Aun así, en 1702 Newton publicó Theory of the Moon's Motion, en el que empleaba un epiciclo y permaneció en uso en China en el siglo XIX. Las tablas subsecuentes basadas en la Teoría de Newton podrían tener una exactitud del arco de minuto.¹⁵

Epiciclos

Según una escuela de pensamiento en la historia de la astronomía, se descubrieron mediante observaciones algunas imperfecciones menores en el sistema original de Ptolomeo que fueron acumulándose en el tiempo. Se creía erróneamente que fueron añadidos más niveles de epiciclos (círculos dentro de círculos) a los modelos para que coincidiesen con mayor precisión con los movimientos planetarios observados. La multiplicación de los epiciclos se creía que habría dado lugar a un sistema casi impracticable en el siglo XVI, y que Copérnico habría concebido su sistema heliocéntrico con el fin de simplificar la astronomía ptolemaica de su época, logrando así reducir drásticamente el número de círculos.

Con mejores observaciones, se utilizaron epiciclos adicionales y excéntricos para representar los fenómenos recién observados hasta fines de la Edad Media, el universo se hizo una 'Esfera /con céntrico y excéntrico garabateadas del o'er, /Ciclo y epiciclo, Orbe en Orbe'.

With better observations additional epicycles and eccentrics were used to represent the newly observed phenomena till in the later Middle Ages the universe became a 'Sphere/With Centric and Eccentric scribbled o'er,/Cycle and Epicycle, Orb in Orb' –

Dorothy Stimson¹⁶

Como medida de tal complejidad, el número de círculos dado por Ptolomeo era de 80, en comparación con los solo 34 de Copérnico.¹⁷ El número más alto aparece en la Encyclopaedia Britannica sobre astronomía durante la década de 1960, en un debate sobre el interés del rey Alfonso X de Castilla en la astronomía en el siglo XIII (a Alfonso se le atribuye el encargo de las Tablas alfonsinas.)

En ese momento cada planeta debía tener de 40 a 60 epiciclos para representar de manera efectiva su complejo movimiento entre las estrellas. Asombrado por la dificultad del proyecto, Alfonso se acredita con la observación de que había terminado el juego presente en la creación que podría - han dado buenos consejos.

By this time each planet had been provided with from 40 to 60 epicycles to represent after a fashion its complex movement among the stars. Amazed at the difficulty of the project, Alfonso is credited with the remark that had he been present at the Creation he might have given excellent advice.

Encyclopaedia Britannica¹⁸

Esto se identifica como el número más alto en Owen Gingerich, Alfonso X . Gingerich aussi expresó sus dudas acerca de la cita atribuida a Alfonso. En El libro Nadie Lee (p. 56), sin embargo, Gingerich relata que él desafió Encyclopaedia Britannica sobre el número de epiciclos. Su respuesta fue que el autor original de la entrada había muerto y su fuente no pudo ser verificada.

Como resultado, una de las principales dificultades de esta teoría de epiciclos en epiciclos es que los historiadores que han examinado los libros sobre astronomía ptolemaica de la Edad Media y del Renacimiento, no han encontrado absolutamente ningún rastro de que múltiples epiciclos hayan sido utilizados para cada planeta. Las Tablas alfonsinas, por ejemplo, se calcularon aparentemente utilizando los métodos originales de Ptolomeo sin adornos.¹⁹

Otro problema es que los modelos mismos desalentaban los retoques. En un modelo deferente/epiciclo, las partes y el todo están interrelacionadas. Un cambio en un parámetro para mejorar el ajuste en un lugar desajustan mucho en otro lugar. El modelo de Ptolomeo es probablemente óptimo en este sentido. En conjunto, dio buenos resultados pero falló un poco aquí y allá. Los astrónomos experimentados habrían conocido estas deficiencias y recurrido a atajos para resolverlos.

Argot de mala ciencia

En parte, debido a los malentendidos acerca de cómo trabajaban los modelos deferente/epiciclo, la expresión "añadiendo epiciclos" ha llegado a ser utilizada como un despectivo en la discusión científica moderna. Puede ser usada, por ejemplo, para describir el continuo ajuste de una teoría para hacer predicciones que coincidan con los hechos. De acuerdo con esta noción, los epiciclos han sido considerados por algunos como el ejemplo paradigmático de mala ciencia.²⁰ Parte del problema puede ser debido a la idea errónea del epiciclo como explicación del movimiento de un cuerpo en lugar de simplemente como una descripción. Toomer lo explica de la siguiente manera:

Mientras nosotros usamos "hipótesis" para denotar una teoría tentativa que aún se debe verificar, mediante clustering Ptolomeo normalmente ύπόθεσις algo más como "modelo", "sistema de explicación", a menudo hecho remitiéndose ' Todo lo que las hipótesis que - han demostrado

Whereas we use 'hypothesis' to denote a tentative theory which is still to be verified, Ptolemy usually means by ύπόθεσις something more like 'model', 'system of explanation', often indeed referring to 'the hypotheses which we have demonstrated'."21

Formalismo matemático

Según el historiador de la ciencia Norwood Russell Hanson:

No hay bilateralmente curva simétrica -, ni excéntricamente periódica utilizada en cualquier rama de la astrofísica o la astronomía observacional que no podría ser sin problemas representan como la movimiento resultante de un punto de inflexión dentro de una constelación de epiciclos, en número finito, que giran alrededor de un deferente fijo

There is no bilaterally-symmetrical, nor excentrically-periodic curve used in any branch of astrophysics or observational astronomy which could not be smoothly plotted as the resultant motion of a point turning within a constellation of epicycles, finite in number, revolving around a fixed deferent.

Norwood Russell Hanson²²

Cualquier trayectoria —periódica o no, cerrada o abierta— puede ser representada con un número infinito de epiciclos.

Esto es debido a que los epiciclos pueden ser representados como series de Fourier complejas; así que, con un amplio número de epiciclos, las trayectorias muy complicadas pueden ser representadas en el plano complejo.²³ Véase, por ejemplo, esta animación hizo Cristian Carman y Ramiro Serra, Todos los que utiliza 10.000 epiciclos para volver sobre el personaje de dibujos animados Homer Simpson ; cf. Carman Christián aussi " respetuoso, epiciclos Adaptaciones allí . " y " br / ~ principi/p142-3.pdf La refutabilidad del Sistema de Epiciclos sea respetuoso de Ptolomeo ".

Sea el número complejo:

${\displaystyle z_{0}=a_{0}e^{ik_{0}t}}$

donde:

• ${\displaystyle a_{0}}$ y ${\displaystyle k_{0}}$ son constantes,
• ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ es el número imaginario y
• ${\displaystyle t}$ es el tiempo, que corresponde a un deferente centrado en el origen del plano complejo y girando con un radio ${\displaystyle a_{0}}$ y velocidad angular

${\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{T}}}$

dónde ${\displaystyle T}$ es el periodo.

Si ${\displaystyle z_{1}}$ es la trayectoria de un epiciclo, entonces el deferente más el epiciclo es representado como la suma:

${\displaystyle z_{2}=z_{0}+z_{1}=a_{0}e^{ik_{0}t}+a_{1}e^{ik_{1}t}}$.

Generalizando a ${\displaystyle N}$ epiciclos:

${\displaystyle z_{N}=\sum _{j=0}^{N}a_{j}e^{ik_{j}t}}$,

que es un tipo particular de complejo de la serie de Fourier conocido como función casi periódica de Besicovitch. Encontrando los coeficientes ${\displaystyle a_{j}}$ para representar una trayectoria dependiente del tiempo en el plano complejo, ${\displaystyle z=f(t)}$, es el objetivo de reproducir una órbita con deferente y epiciclos, y esta es una manera de "salvando los fenómenos" (σώζειν τα φαινόμενα).²⁴

Este paralelismo fue observado por Giovanni Schiaparelli.