Astronomía - Mecánica celeste

La ecuación de tiempo es la diferencia entre el tiempo solar medio (medido generalmente por un reloj) y el tiempo solar aparente (tiempo medido por un reloj de sol). Esta diferencia varía a lo largo del año y alcanza una mayor diferencia a principios de noviembre, cuando el tiempo solar medio está a más de 16 minutos por detrás del tiempo solar aparente (en concreto a 16 minutos 33 segundos cerca del 3 de noviembre), y a mediados de febrero, cuando el tiempo solar medio va más de 14 minutos por delante del aparente.

Son iguales el tiempo solar medio y el tiempo solar aparente en cuatro instantes del año: el 15 de abril, 14 de junio, 1 de septiembre y el 25 de diciembre (coinciden aproximadamente con los equinocios y solsticios). La ecuación del tiempo se representa gráficamente con un diagrama denominado analema, que suele indicarse a veces a manera de leyenda en los globos o esferas terrestres y que tiene forma de un 8 algo asimétrico. El analema indica la misma información que la expresada a través del gráfico adjunto, por lo que también a este gráfico se le podría considerar como un analema abierto.

La ecuación de tiempo: en el eje de las abcisas se tiene los días del año contados a partir de enero, en el de las ordenadas se tiene la diferencia entre los tiempos verdadero y medio (v-m).

Etimología

En la antigua astronomía la palabra 'ecuación' ('equatio' en latín) significaba 'corrección',¹ y con ello se indicaba que había que sumar algebraicamente un valor para corregirlo. De esta forma, la ecuación de tiempo es el valor que hay que añadir al valor del tiempo solar aparente para 'corregirlo' (hacerlo 'regular'). Otro ejemplo es la ecuación de centro de Copérnico, muy empleada en los cálculos de mecánica celeste para 'corregir' la anomalía verdadera.

Fundamentación

Observación reiterada del Sol en periodos de 24 horas de tiempo solar medio; se puede ver dibujada el analema y el concepto de ecuación del tiempo.

El origen de este concepto se deriva de la distinta velocidad del movimiento de traslación terrestre alrededor del Sol, y también de la inclinación del eje de rotación de la Tierra con respecto al plano de su órbita. (En otras palabras, aun cuando la órbita terrestre fuera perfectamente circular y la Tierra se desplazara sin variar su distancia al Sol, habría igualmente una diferencia entre el tiempo solar y el tiempo de reloj.) La órbita terrestre se denomina eclíptica (porque es en ella donde se producen los eclipses cuando la órbita de la Luna coincide en un punto con la de la Tierra y con la del Sol) y no es circular sino elíptica, ocupando el Sol uno de los focos de la elipse. De acuerdo con las leyes de movimiento orbital formuladas por Kepler sobre los movimientos de traslación, "tiempos iguales barren áreas iguales", lo cual significa que la Tierra disminuye la velocidad de traslación cuando se encuentra más alejada del Sol (porque la atracción del mismo es menor al encontrarse más lejos) y lo acelera al acercarse.

Si no existiera esta diferencia de velocidad, la Tierra se escaparía del Sistema Solar cuando se encontrara más lejos o chocaría con el Sol al acercarse. Así pues, el movimiento de traslación terrestre es un movimiento uniformemente variado. Con la Luna sucede lo mismo: cuando el Sol se encuentra más lejos de la Tierra y la Luna está más cerca, el disco lunar puede tapar por completo el disco solar (en este caso podría producirse un eclipse total de Sol) mientras que cuando sucede lo contrario (el sol más cerca y la Luna más lejos), puede producirse un eclipse anular de Sol, en el que queda un anillo luminoso del Sol alrededor de la sombra de la Luna.

Valores de la ecuación de tiempo

Los valores de la ecuación del tiempo se suelen publicar para cada año en los almanaque náuticos, en los anuarios de los observatorios, en revistas especializadas, etc. Generalmente en el apartado de efemérides solares. El motivo de esta publicación previa es proporcionar a los astrónomos la posibilidad de planificar sus observaciones. Suele representarse en forma de tabla en la que una de las entradas es el día del año y la salida es la diferencia entre tiempo medio y el verdadero (m-v), o viceversa (v-m). En algunas fórmulas empíricas dadas por los observatorios se puede averiguar de forma analítica la ecuación del tiempo. Un ejemplo es:²

${\displaystyle E\left(d\right)=595\sin \left(198^{o}+1^{o}.9713d\right)+442\sin \left(175^{o}+0^{o}.9856d\right)}$

Donde el valor obtenido por esta fórmula semiempírica es en segundos (v-m), siendo d el día del año (del año 2016). Esta ecuación es bastante ajustada: su precisión llega a errores de medio minuto como máximo, y los coeficientes 595 y 442 varian muy poco de año en año.

La ecuación del tiempo

En la página titulada El problema de Kepler vimos la dificultad para calcular la posición angular θ de un satélite artificial o de un planeta en el instante t. Véase Equation of Time. Problem in Astronomy. M. Muller.

El movimiento aparente del Sol no es uniforme y la duración del día solar no es constante a lo largo del año. La diferencia entre el movimiento aparente del Sol y el movimiento medio se denomina ecuación del tiempo. La expresión tomada de General Solar Position calculations (NOAA) nos da la ecuación del tiempo en minutos

Δt=229.18·(0.00075+0.001868·cos(x)-0.032077·sin(x)-0.014615·cos(2x)-0.040849·sin(2x))

Donde x se define en función del número de día N y la hora h

x=2π365(N−1+h−1224)${\displaystyle x=\frac{2\pi }{365}\left(N-1+\frac{h-12}{24}\right)}$

Mediante el siguiente script representamos la ecuación del tiempo en minutos en función de N (1-365) el día del año. Tómese h=12. Cambiar las divisiones del eje X por defecto, sustituyéndolas por los días 15 de cada mes.

h=12;
N=1:365;
x=2*pi*(N-1-(h-12)/24)/365;
y=229.18*(0.00075+0.001868*cos(x)-0.032077*sin(x)-0.014615*cos(2*x)
-0.040849*sin(2*x));
plot(N,y,'r')
xlim([0 365])
set(gca,'XTick',[15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349])
mes = ['Ene';'Feb';'Mar';'Abr';'May';'Jun';'Jul';'Ago';'Sep';'Oct';
'Nov';'Dec'];
set(gca,'XTickLabel',mes)
grid on
ylabel('minutos')
title('Ecuación del tiempo')

efecto Oberth o sobrevuelo propulsado (powered flyby) es una característica de la astronáutica donde se usa un motor de cohete cerca de un cuerpo gravitatorio que, para una misma órbita inicial, puede dar un cambio de velocidad final mucho más grande que si este es encendido lejos del cuerpo. Recibe su nombre de Hermann Oberth, el físico alemán nacido en Rumanía y uno de los fundadores de la cohetería moderna.

Descripción

Los motores cohete producen la misma fuerza independientemente de su velocidad. Un cohete funcionando contra un objeto fijo, como durante una prueba estática, no es útil en absoluto; la energía del cohete se va completamente en acelerar su propelente a velocidad hipersónica. Pero cuando el cohete se mueve, la fuerza aplicada a la carga del cohete durante un intervalo de tiempo actúa durante la distancia que el cohete y la carga recorren durante ese tiempo. La cantidad de fuerza que actúa durante cierta distancia es la definición de energía mecánica o trabajo, por lo que cuanto más distancia recorra el cohete durante cierto tiempo (es decir, cuanto más rápido vaya), mayor será la energía cinética impartida a la carga por el cohete.

En particular, cuando un vehículo se dirige al periapsis de su órbita la velocidad relativa con respecto del cuerpo central se incrementa. Al encender el motor en sentido progrado en el periapsis se aumenta la velocidad en la misma cantidad que en cualquier otro intervalo de tiempo igual, determinado por el delta V. Sin embargo, dado que la energía cinética del vehículo está relacionada con el cuadrado de su velocidad, este incremento en velocidad tiene un efecto desproporcionado sobre la energía cinética del vehículo, dejándolo con más energía que si el encendido se hubiese realizado en cualquier otro momento.¹

Podría parecer que la energía del cohete no sale de ningún sitio, lo que violaría la conservación de la energía, pero cualquier ganancia de energía por parte del cohete se equilibra con una disminución equivalente en la energía del escape que queda atrás: cuando se expulsa en un punto más bajo de un campo gravitatorio, el escape se queda con menos energía total.

Ejemplo

Si la nave viaja a una velocidad ${\displaystyle v}$ al principio de un encendido que cambia la velocidad en ${\displaystyle \Delta v}$, el cambio en la energía específica orbital es:

${\displaystyle \Delta E=E_{f}-E_{i}={\frac {1}{2}}(v+\Delta v)^{2}-{\frac {1}{2}}(v)^{2}=v\Delta v+{\frac {(\Delta v)^{2}}{2}}}$

Una vez la nave está de nuevo lejos del planeta la energía específica orbital está formada completamente por energía cinética, dado que la energía potencial gravitatoria tiende a cero. Por tanto, cuanto mayor sea ${\displaystyle v}$ en el momento del encendido, mayor será la energía cinética al final y por tanto mayor será la velocidad final.

El efecto se hace más pronunciado cuanto más cerca se esté del cuerpo central ó, más generalmente, cuando más profundo se esté en el campo gravitatorio en el momento de hacer el encendido, dado que allí la velocidad será mayor.

Por ejemplo, una órbita de transferencia de Hohmann desde la Tierra a Júpiter llevaría a una nave a un sobrevuelo hiperbólico de Júpiter con una velocidad en el periapsis de 60 km/s y una velocidad final (residuo asintótico de la velocidad) de 5,6 km/s, un valor 10,7 veces inferior. Eso significa que un encendido que añada un julio de energía cinética cuando el cohete está lejos de Júpiter, añadirá 10,7 julios en el periapsis. Cada m/s ganado en el periapsis añadirá ${\displaystyle {\sqrt {10,7}}=3,27}$ m/s a la velocidad final de la nave. Por tanto, el intenso campo gravitatorio de Júpiter habrá triplicado la efectividad del propelente del cohete.

Comprobación detallada

Si se lleva a cabo en la periapsis un encendido impulsivo de ${\displaystyle \Delta V\;}$ en una órbita parabólica donde la velocidad de escape es ${\displaystyle V_{esc}\;}$, entonces la energía cinética específica después del encendido es:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\Delta V+V_{esc})^{2}}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\Delta V^{2}+\Delta V\cdot V_{esc}+{\tfrac {1}{2}}V_{esc}^{2}}$

Cuando el vehículo deje el campo gravitatorio, la pérdida de energía cinética específica es:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}V_{esc}^{2}}$

Así que se conserva la energía:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta V^{2}+\Delta V\cdot V_{esc}}$

la cual es mayor que la energía de un encendido fuera del campo gravitacional por ${\displaystyle \Delta V\cdot V_{esc}}$

el impulso es así multiplicado por un factor de:

${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2V_{esc}}{\Delta V}}}}}$

Un efecto similar ocurre en órbitas cerradas.

¿Qué es exactamente el efecto de honda gravitatoria? ¿Cómo puede funcionar, dada la conservación de la energía mecánica? ¿De qué modos diferentes puede emplearse?

Un aviso: aunque, como siempre, trataremos de exponer la cuestión desde un punto de vista “antes simplista que incomprensible”, hablaremos de algunos principios físicos, como la conservación de la energía, y de magnitudes como el trabajo mecánico, que son inevitables al hablar de algo como el asunto que nos ocupa. Trataré de explicar brevemente esos conceptos cuando sea posible, y daré enlaces a los artículos correspondientes en Wikipedia, pero estás avisado de que, si no tienes una cierta base en Física, puede que tengas que pararte de vez en cuando antes de seguir, o que tengas que aceptar mis palabras sin más para tener una idea básica de cómo funciona el efecto.

Antes de nada, la descripción básica de la honda gravitatoria, que es similar a la que dimos al hablar de Júpiter, ya que este gigante es utilizado muy a menudo con este propósito en la exploración de las regiones exteriores del Sistema Solar. Este efecto, también llamado asistencia gravitatoria, consiste en utilizar un cuerpo estelar (que suele ser un planeta, pero también podría ser un satélite, una estrella o incluso un agujero negro) y su atracción gravitatoria para modificar la velocidad de una nave espacial o una sonda sin necesidad de gastar combustible en ello.

La razón de la enorme utilidad de este efecto es precisamente ésa: sin usar un gramo de combustible, es posible acelerar de forma neta una nave espacial a su paso por Júpiter, y así alcanzar lugares más alejados del Sol con un consumo energético más pequeño. Y, como hemos dicho ya varias veces a lo largo de esta serie, el consumo energético es un factor esencial en el coste de las misiones espaciales, con lo que la asistencia gravitatoria es una herramienta muy importante en nuestra exploración del Sistema Solar. De hecho, como veremos más adelante en este mismo artículo, su importancia será aún mayor cuando nuestros viajes por el Sistema no sean simples exploraciones con poca masa, sino transportes masivos de materias primas o personas, ya que entonces el coste energético será aún más crucial. Pero vamos por partes.

La reacción más frecuente cuando se oye hablar por primera vez de este efecto –sé que me pasó a mí, y por vuestros comentarios, también os ha sucedido a algunos de vosotros– es la siguiente: “Pero vamos a ver; no se puede sacar energía de la nada. Si mi nave se acerca a Júpiter, acelera, claro… ¡pero cuando se aleja por el otro lado, frena otra vez, con lo que su velocidad al final es la misma que al principio, o estaríamos sacando energía de la nada!” Una pega razonable, pero errónea: sí es posible acelerar de forma neta la nave tras su paso cerca de un planeta, y no se viola la conservación de la energía en el proceso. Pero la explicación es sutil, de modo que a ver si puedo expresarme claramente y no liar las cosas. Como tantas veces, te pido que tengas paciencia según me acerco al quid de la cuestión poco a poco. Para no liar las cosas con cálculo vectorial, haremos todo con ejemplos muy sencillos, por cierto.

Es evidente que, debido a la atracción gravitatoria, cuando una nave espacial se acerca a un planeta, su velocidad aumenta. Cuanto mayor sea la masa del planeta en cuestión y más se acerque nuestra nave, mayor será la velocidad. Y es evidente también que, según la nave se aleja, la gravedad la frena, con lo que su velocidad desciende de nuevo. Consideremos, como un primer ejemplo, un planeta y nuestra nave, que se acerca a él. En la primera parte de su trayectoria, según se acerca al planeta, la gravedad modifica su trayectoria y acelera la nave, de modo que cuando está en su periapsis ((Del mismo modo que perigeo es la posición más cercana a la Tierra y perihelio la posición más cercana al Sol, periapsis es genérica para cualquier planeta. Apoapsis, en una órbita alrededor de un planeta, es la posición más alejada, análoga a apogeo y afelio.)) –su posición más cercana al planeta–, la velocidad de la nave es máxima. La situación sería algo parecido a esto:

En la segunda parte de la trayectoria, según la nave se aleja de nuevo tras su encuentro con el planeta, su velocidad va disminuyendo, hasta que, cuando esté de nuevo a la misma distancia que estaba cuando empezamos a mirarla, su velocidad será exactamente la misma que al principio, sólo que “hacia arriba” en vez de “hacia abajo” en el dibujo que estamos haciendo aquí. Antes de seguir, espero que veas ya una utilidad inmediata de la asistencia gravitatoria, sin considerar la parte sutil de la explicación, a la que no hemos llegado aún. Dependiendo del ángulo de aproximación al planeta y la velocidad que tenga la nave al hacerlo, es posible lograr distintos grados de desviación de la trayectoria original.

Y esto nos permite modificar la trayectoria de la nave sin gastar combustible, de modo que llegue a lugares a los que no podría llegar sin encender motores que alterarsen la dirección de su velocidad. Pero, evidentemente, ésta no es la utilidad más grande de la honda gravitatoria. Mi afirmación de arriba se mantiene: utilizando la asistencia gravitacional es posible acelerar la nave, no sólo modificar la dirección de su trayectoria. Pero, ¡en nuestro ejemplo, la velocidad final de la nave es exactamente la misma que la inicial! Pero, y si eres tamicero añejo tal vez ya estés cayendo en la cuenta de la “sutileza” con la que voy a golpearte en los morros: la velocidad de la nave es la misma que la inicial respecto al planeta. Pero, ¡ah!, el planeta no está quieto, sino que se mueve respecto al Sol, al igual que la nave. Y, en nuestros viajes en el Sistema Solar, la velocidad respecto al Sol es esencial.

De modo que volvamos a analizar nuestro ejemplo de arriba, pero ahora en el sistema de referencia del Sol, teniendo en cuenta que el planeta se mueve respecto a la estrella, y que nosotros elegimos el momento y la dirección del encuentro de nuestra nave con el planeta. Por ejemplo, supongamos que, en nuestros dibujos de dos dimensiones, queremos que nuestra nave acelere “hacia arriba (norte)”, porque nuestro destino último en el Sistema Solar está en esa dirección. Entonces procederíamos del siguiente modo:

En primer lugar, haríamos que el encuentro de nuestra nave con el planeta se produjese cuando el planeta se estuviera moviendo alrededor del Sol justo en la dirección y sentido en la que queremos viajar con nuestra nave. Pongamos que el planeta se mueve hacia arriba con velocidad V:

Nuestra nave se aproximará entonces al planeta con una velocidad inicial v, justo en sentido contrario al de nuestro viaje último, aunque parezca extraño, con la trayectoria adecuada, desde luego, para que no se estrelle contra él ni pase tan lejos que no se produzca el resto de efecto como debe producirse, aunque aquí simplifiquemos mucho las cosas. Todo es muy parecido al caso inicial que empleamos sin tener en cuenta el movimiento del planeta:

Como digo, la velocidad de nuestra nave respecto al Sol es v, y la del planeta es V, pero ¿cuál es la velocidad de nuestra nave respecto al planeta? Dado que ambos van en sentidos contrarios, el planeta ve a nuestra nave acercarse a una velocidad v + V, la suya propia respecto al Sol más la de la nave respecto al Sol, como las velocidades de dos coches que viajan en sentidos opuestos respecto a una autopista.

Según nuestra nave se acerca al planeta, como antes, va acelerando, y su velocidad será máxima respecto a él cuando esté en la periapsis. Y después, según se aleje de él de nuevo, nuestra nave irá frenando de nuevo respecto al planeta, ya que su gravedad tira de ella “hacia atrás”. Y, cuando la nave esté tras el encuentro a la misma distancia del planeta que al principio, su velocidad será exactamente la misma que la que tenía cuando empezó nuestro ejemplo respecto al planeta. Llamemos a la velocidad de la nave respecto al Sol v’:

Dado que la velocidad inicial respecto al planeta era v + V, ahora la velocidad de la nave respecto al planeta es también v + V. Pero ¿cuál es la velocidad de la nave respecto al Sol, que es quien nos importa de verdad al viajar por el Sistema Solar? Fíjate en el dibujo sobre este párrafo: ahora, nave y planeta se mueven ambos en el mismo sentido. Si la nave se mueve ahora respecto al Sol a una velocidad v’, ¿cuál ha de ser el valor de v’ para que la velocidad nave-planeta siga siendo v + V? Piensa un momento –si es posible, mirando al dibujo y con un lápiz y papel– antes de seguir leyendo.

Cuando nave y planeta se acercaban uno al otro, uno con velocidad v y otro con V, para hallar la velocidad relativa entre ambos –como la de coches en una carretera que viajan en sentidos contrarios– sumábamos sus velocidades, v + V. Como ahora ambos se mueven en la misma dirección y sentido, sucede justo lo contrario, y debemos restarlas: la velocidad con la que el planeta ve alejarse la nave de él es v’ - V. Pero hemos dicho antes que, como en nuestro ejemplo del principio, la velocidad de la nave respecto al planeta, por la conservación de la energía, debe ser exactamente la misma que al principio: v + V.

De manera que, si la velocidad relativa entre ellos es v’ - V, y ese valor debe ser necesariamente v + V, ya tenemos el valor de la velocidad final de la nave respecto al Sol, que no es igual que la velocidad que tenía al principio: v ‘ = v + 2V. La nave se mueve ahora más deprisa respecto al Sol que antes… de hecho, el aumento de velocidad es precisamente 2V, es decir, hemos acelerado la nave un valor doble de la velocidad orbital del planeta alrededor del Sol en ese momento.

Si las ecuaciones hacen que tu cabeza dé vueltas, puedes pensarlo de este otro modo, cualitativamente: el planeta no está quieto según nuestra nave se acerca a él, sino que se mueve alrededor del Sol en una dirección determinada. Según la nave pasa cerca del planeta, éste tira de ella hacia sí mismo mediante la gravedad, pero como se está moviendo, proporciona un empuje “extra” a la nave en la dirección de movimiento del planeta. De forma neta, la nave, tras su encuentro con el planeta, tiene una mayor velocidad en la dirección de movimiento de éste que la que tenía al principio.

“Un momento”, puedes estar pensando. “Sí, todo eso tiene sentido y no veo ningún error en ello; en el sistema de referencia del planeta, la energía se conserva, porque la nave se mueve a la misma velocidad respecto a él que al principio, pero ¿qué hay de lo que pasa respecto al Sol? ¡La nave va ahora más deprisa que antes! ¿De dónde demonios ha salido la energía? ¿O ahí no se conserva la energía, y la sacamos de la nada?”

No, la energía se conserva, desde luego. Es evidente que la nave, al moverse más rápido tras el encuentro que al principio, tiene más energía que antes… pero el planeta tiene menos. Igual que si viajas en bicicleta por una carretera y, según pasa un coche junto a ti, te agarras al coche durante unos metros de modo que, al soltarte, tienes más velocidad –y más energía– que antes de agarrarte, el coche tiene menos energía que antes. La cuestión está, desde luego, en que la masa de nuestra nave es una mota de polvo comparada con la del planeta, de modo que la velocidad del planeta es prácticamente constante en todo el proceso. Pero, estrictamente hablando, el planeta se mueve una infinitésima más despacio tras el paso de la nave que al principio.

De modo que ahí lo tienes: en la honda gravitatoria aprovechamos el movimiento de un cuerpo estelar en la dirección y sentido de nuestro viaje para “robar” parte de su velocidad e impulsarnos así en la dirección correcta. Hace falta, desde luego, que sea un objeto muy masivo, y que se esté moviendo en la dirección correcta en el momento preciso, o esta asistencia gravitaroria no serviría de nada. En la práctica, la cosa funciona justo al revés: esperamos a lanzar las misiones espaciales cuando los planetas que usamos como “impulsores” se estén moviendo hacia donde nos interesa. Y, de este modo, obtenemos una velocidad “extra” sin usar un gramo de combustible.

Es posible además utilizar combustible en el momento justo para obtener un beneficio aún mayor de la asistencia gravitatoria, aunque para entender esto debes conocer el concepto de trabajo mecánico. Cuando una nave espacial enciende sus motores, éstos impulsan parte del combustible hacia atrás, de modo que la nave sufre una fuerza hacia delante en su movimiento, acelerando. Esta fuerza proporciona una energía adicional a la nave, y esa energía que gana la nave –el trabajo mecánico realizado por la fuerza de los motores– depende de la velocidad de la nave en ese momento.

La razón es la propia definición de trabajo mecánico: el trabajo que realiza el motor es igual a la fuerza que ejerce sobre la nave por la distancia recorrida por la nave durante el proceso. Si la nave se mueve despacio, entonces el trabajo será pequeño, ya que mientras los motores están encendidos, la nave habrá recorrido una distancia pequeña; si, por el contrario, la nave se mueve muy deprisa, recorrerá una gran distancia mientras los motores funcionan y ganará una mayor cantidad de energía… siempre, desde luego, respecto a un sistema de referencia concreto.

Puedes pensarlo de este otro modo: cuando la nave se impulsa, expulsa algo hacia atrás para moverse hacia delante. Cuanto menor es la velocidad de la nave, más cantidad de energía se gasta en impulsar el combustible hacia atrás, y menos energía se la queda la nave para moverse hacia delante; cuanto más rápido va la nave, menos energía se la queda el combustible “hacia atrás”, y más energía se la queda la nave para impulsarse hacia delante. La energía, desde luego, es la misma al final en todos los casos, pero como lo que nos importa de verdad es la velocidad de la nave respecto al Sol –y no la del chorro combustible respecto al Sol–, lo ideal es encender los motores cuando la nave se mueve muy rápido.

De manera que imagina de nuevo nuestra nave aprovechando la asistencia gravitatoria del planeta, pero con una diferencia… cuando estamos en la periapsis, encendemos los motores de la nave durante un rato, aprovechando el momento de velocidad máxima, y ganando así la máxima energía posible de ese chorro de combustible:

Una vez más, una manera alternativa de verlo que tal vez sea más intuitiva: al encender los motores cuando la nave está muy cerca del planeta, abandonamos allí el combustible, muy profundamente en el pozo gravitatorio del planeta, como un saltador de altura que lleva piedras en los bolsillos y las suelta hacia el suelo en el momento del salto. Al hacer eso, consigue llegar más alto de lo que llegaría sin piedras en los bolsillos. Como nuestra nave se desprende de parte de su carga –el combustible– cerca del planeta, es capaz de alejarse más rápido de él que si no lo hubiera hecho.

Este gasto de combustible en la periapsis, como efecto adicional al de honda gravitatoria, recibe el nombre de efecto Oberth, en honor al rumano-alemán Hermann Oberth, y sólo es útil, desde luego, cuando la velocidad es muy grande y una cantidad razonablemente grande de combustible es expulsada hacia atrás por la nave.