Astronomía - Mecánica celeste

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol.¹ Aunque él no las describió así, en la actualidad se enuncian como sigue:

• Primera ley (1609): "Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse".

• Segunda ley (1609): "El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales".

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular ${\displaystyle L}$ es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.

${\displaystyle L=m\cdot r_{1}\cdot v_{1}=m\cdot r_{2}\cdot v_{2}\,}$

• Tercera ley (1618): "Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica".

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}=C={\text{constante}}}$

Donde, T  es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), R  la distancia media del planeta con el Sol y C  la constante de proporcionalidad.

Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.

Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler

Antes de que se redactaran las leyes de Kepler hubo otros científicos como Claudio Ptolomeo, Nicolás Copérnico y Tycho Brahe cuyas principales contribuciones al avance de la ciencia estuvieron en haber conseguido medidas muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas. Kepler, que fue discípulo de Tycho Brahe, aprovechó todas estas mediciones para poder formular su tercera ley.

Kepler logró describir el movimiento de los planetas. Utilizó los conocimientos matemáticos de su época para encontrar relaciones entre los datos de las observaciones astronómicas obtenidas por Tycho Brahe y con ellos logró componer un modelo heliocéntrico del universo. Comenzó trabajando con el modelo tradicional del cosmos, planteando trayectorias excéntricas y movimientos en epiciclos, pero encontró que los datos de las observaciones lo situaban fuera del esquema que había establecido Copérnico, lo que lo llevó a concluir que los planetas no describían una órbita circular alrededor del Sol. Ensayó otras formas para las órbitas y encontró que los planetas describen órbitas elípticas, las cuales tienen al Sol en uno de sus focos. Analizando los datos de Brahe, Kepler también descubrió que la velocidad de los planetas no es constante, sino que el radio vector que une al Sol (situado en uno de los focos de la trayectoria elíptica) con un planeta determinado, describe áreas iguales en tiempos iguales. En consecuencia, la velocidad de los planetas es mayor cuando están próximos al Sol (perihelio) que cuando se mueven por las zonas más alejadas (afelio). Esto da origen a las tres Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

Las leyes de Kepler representan una descripción cinemática del sistema solar.

• Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse. (a y b con semejantes a la elipse)

• Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, el vector posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Se puede demostrar que el momento angular es constante lo que nos lleva a las siguientes conclusiones:

Las órbitas son planas y estables.

Se recorren siempre en el mismo sentido.

La fuerza que mueve los planetas es central.

• Tercera Ley de Kepler: Se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de revolución al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene constante. Esto es:

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}=C}$

El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley de la gravitación universal.

La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler para órbitas circulares es:

La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular:

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=mw^{2}r}$

el cuadrado del tiempo de una órbita completa o periodo es:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}r^{3}}$,

y despejando:

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}=C}$,

valor donde ${\displaystyle C}$ es la constante de Kepler.

Donde, T  es el periodo orbital, r  el semieje mayor de la órbita, M es la masa del cuerpo central y G  una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.

En realidad ${\displaystyle C}$ no es constante, pues esta última expresión es solo una aproximación de la expresión más general que se deduce con todo rigor de las Leyes de Newton y que es:

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}\ (M+m)={\frac {4\pi ^{2}}{G}}}$

En donde ${\displaystyle M}$ es la masa del cuerpo central y ${\displaystyle m}$ la del astro que gira en torno a él. Como en el Sistema Solar la masa del Sol es muy superior a la de cualquier planeta, ${\displaystyle m\ll M}$ y la expresión simplificada se obtiene de la más general haciendo ${\displaystyle M+m\simeq M}$.

Representación gráfica de las leyes de Kepler. El Sol está situado en uno de los focos. En tiempos iguales, las áreas barridas por el planeta son iguales. Por lo tanto, el planeta se moverá más rápidamente cerca del Sol.

Las leyes de Kepler describen la cinemática del movimiento de los planetas en torno al Sol.

Primera ley

 Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos

r₁ es la distancia más cercana al foco (cuando q=0) y r₂ es la distancia más alejada del foco (cuando q=p).

Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características:

• Semieje mayor a=(r₂+r₁)/2
• Semieje menor b
• Semidistancia focal c=(r₂-r₁)/2
• La relación entre los semiejes es a²=b²+c²
• La excentricidad se define como el cociente e=c/a=(r₂-r₁)/(r₂+r₁)

Segunda ley 

El vector posición de cualquier planeta respecto del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.
La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular L es el producto de la masa del planeta, por su velocidad y por su distancia al centro del Sol.

L=mr₁·v₁=mr₂·v₂

Primera Ley de Kepler

(1) Los planetas se mueven alrededor del Sol en elipses, con el Sol en un foco

Primero explique lo que es una elipse: una de las formas de las "secciones cónicas," obtenidas mediante el cortar un cono con una superficie plana. Una linterna crea un cono de luz: diríjala a una pared plana y obtiene una sección cónica. Dirija el haz a la pared de forma perpendicular. La pared corta al cono de manera perpendicular al eje y así obtiene un círculo de luz.Ponga el cono en ángulo relativo a la pared: una elipse. Entre mayor sea el ángulo, más lejos se cierra la elipse.   las curvas generadas como  "secciones cónicas" cuando planos rectos son cortados a lo largo de un cono. Finalmente, si el eje del cono está paralelo a la pared, la curva nunca se cierra: se obtiene una parábola. Las leyes de Kepler (así las conocemos ahora) forman todas secciones cónicas, y las parábolas son muy parecidas a las órbitas de los cometas no periódicos, los cuales comienzan sus movimientos muy lejos. (Incline aún más y obtendrá hipérbolas--no solo las trayectorias no se cierran, sino la direcciones de ir y venir forman un ángulo definido). Las elipses tienen otras propiedades--tienen dos puntos especiales "foco", y si toma cualesquiera de dos puntos sobre la elipse, la suma de las distancias (r1+ r2) desde los dos focos es siempre la misma (para esa elipse). Al final de la sección #11 hay también una agradable historia "susurros en el Capitolio de los EU", respecto a cómo una elipsoide--la superficie creada al torcer una elipse alrededor de su eje--puede enfocar ondas de sonido. --------------------------------------    Hay más, mucho más... pero tan solo déjeme traer a colación dos puntos. Son buenos puntos para participar en clase, porque unen el trabajo de Kepler de alrededor de 1610 con los últimos descubrimientos científicos del siglo 21.      Primero que nada, una elipse muy famosa se muestra abajo. Su historia es narrada en al sección #S7-a http://www.phy6.org/stargaze/Mblkhole.htm    Probablemente todos sepan que nuestro Sol es parte de una inmensa colección de estrellas en forma de disco--aproximadamente 100,000 millones de acuerdo al último conteo--llamada galaxia. Es un disco plano, una tortilla como el sistema solar--y en este caso también, vemos a esa tortilla de lado, de manera que también reduce nuestro campo de visión a una pequeña tira. En esa tira vemos una banda de estrellas débiles corriendo alrededor de la esfera celestial, la "Vía Láctea".     ¿Qué mantiene unida a nuestra galaxia (y a las más distantes)? Se creyó por mucho tiempo que había un inmenso agujero negro en el centro, pero ese centro estaba oscurecido por nubes de polvo y por lo tanto no era fácil de observar. Recientemente fueron construídos telescopios de alta resolución, sensibles a la luz infraroja, los cuales pueden ver a través del polvo, y han mostrado una gran concentración de estrellas moviéndose rápidamente cerca del centro de la galaxia, en órbitas que obedecen las leyes de Kepler. Este sitio de la red muestra la elipse de una estrella orbitando al centro una vez cada 15.2 años, y los cálculos deducen una masa de aproximadamente 3.7 millones de soles, más menos 1.5 millones.     [Solo para astrónomos: la masa central ayuda a mantener la galaxia unida, pero hay algo más que masa involucrada, porque la rotación de las partes más retiradas de las galaxias no obedecen la tercera ley de kepler. De hecho, sus partes principales parecen rotar como discos sólidos, lo cual es difícil de explicar a menos que asumamos que las galaxias contienen, además de estrellas brillantes, mucha "materia oscura", que afecta la gravedad pero es invisible. Vea la nota al final del artículo #20]     En segundo lugar, dijimos que la Tierra orbita al Sol (y por cierto, las mismas leyes también aplican para los satélites artificiales que orbitan la Tierra). Pero imagine que pudiera hacer gradualmente que la Tierra fuera cada vez más pesada, y al mismo tiempo el Sol fuera cada vez más ligero. ¿Entonces qué? Al llegar al punto en donde la Tierra y el Sol pesaran lo mismo--¿quién orbita a quién?     Aproximadamente 50 años después de Kepler, Isaac Newton explicó las leyes de Kepler (y al hacerlo, estableció con firmeza la "revolución científica" a partir de ese momento). Esto es lo que él hizo:

--- Primero obtuvo las leyes del movimiento--conocidas a partir de entonces como las "3 leyes de Newton del movimiento", y es problable que usted las imparta en clase, también.---Segundo, nos dió la ley de la gravitación universal--mostrando que la misma fuerza que ocasiona que las manzanas y las piedras caigan, también mantiene a la Luna en su órbita-- y por lo tanto, probablemente, creó todas las órbitas del sistema solar.    (Para ver más relativo a esto (inclusive de esa manzana), vea la sección #20 http://www.phy6.org/stargaze/Mgravity.htm) --Y tercero, él probó que si los dos puntos anteriores eran válidos, la leyes de Kepler podían ser derivadas matemáticamente...

... pero con un pequeño cambio: los planetas no orbitan alrededor del Sol, sino alrededor de un centro común de gravedad. Mientras que la Tierra recorre un gran circuito cada año, el Sol también realiza uno, uno muy pequeño, alrededor del centro de gravedad del Sol-tierra. (En realidad, el Sol también es movido por Júpiter, Saturno, etc, y el patrón resultante es complicado).    ¿Porqué es esto importante? Porque nos ayuda a descubrir ¡si otras estrellas tienen planetas!. No podemos ver aquellos planetas--demasiado tenues--pero si la estrella presenta un vaivén de una forma complicada, puede ser que sea un planeta el que la mueva así.    ¿Funciona esto? Sí y no (vea el fin del artículo #11a). Muchos planetas han sido descubiertos de esta forma, pero la mayoría de ellos están demasiado cerca a las estrellas (se mueven en una escala de tiempo de semanas) y son muy grandes. El descubrir planetas similares a la Tierra es difícil--el vaivén es más pequeño y necesitamos observarlo durante muchos años para obtener una periodicidad del orden de un año. Pero manténgase conectado, los astrónomos están trabajando en ello. ------------------ Segunda Ley de Kepler

(2) La línea que conecta el Sol con un planeta barre         áreas iguales en tiempos iguales.

(Esa línea a veces es llamada "radio vector").  Ilustrando la 2da. ley de Kepler:  A los segmentos AB y CD les lleva el  mismo tiempo el recorrerlo.     Una elipse es un óvalo elongado simétrico, con dos focos localizados simétricamente hacia las orillas más "agudas"--un foco contiene al Sol, y el otro está vacío. (Dibuje dicha elipse). Si acercamos los focos cada vez más, la elipse se parece cada vez más a un círculo, y cuando se traslapan, finalmente tenemos un círculo.     [La órbita de la Tierra, así como la mayoría de las órbitas planetarias, se aproximan mucho a un círculo. Si le mostrara la órbita de la Tierra sin el Sol en un foco, es probable que no pudiera distinguirla de un círculo. Con el Sol incluído, sin embargo, podrá notar que está ligeramente fuera de centro].     La clave de la 2da. ley de Kepler es que, aunque la órbita es simétrica, el movimiento no lo es. Un planeta se acelera al acercarse al Sol, obtiene su máxima velocidad al pasar en su máxima aproximación, y luego se desacelera. (La estrella S2 se acelera hasta un 2% de la velocidad de la luz al acercarse al agujero negro que está en el centro de nuestra galaxia).    Lo que ocurre se entiende mejor en términos de energía. Conforme se retira el planeta del Sol (o el satélite de la Tierra), este pierde energía al sobreponerse de la atracción gravitacional, y se desacelera, como una piedra tirada hacia arriba. Y al igual que la piedra, vuelve a ganar su energía (completamente--no hay resistencia al aire en el espacio) al regresar.    Hay un ejercicio fácil aquí, el cual está también en la sección #12A . http://www.phy6.org/stargaze/Mkepl2A.htm     Suponga que tiene un planeta cuyas distancias más pequeña/grande desde el centro son (r1, r2)--son llamados perihelio y efelio si el centro es el Sol, o (perigeo, apogeo) si el centro es la Tierra. (Las distancias siempre se miden desde el centrode los cuerpos, o desde los centros de gravedad).     Digamos que es un planeta que está orbitando el Sol. Entonces--la velocidad V1en perihelio es la más rápida de la órbita. Es por lo tanto, la distancia cubierta en un segundo en perihelio. La velocidad V2 en afelio es la más lenta de la órbita. Es por lo tanto la distancia cubierta en un segundo en afelio. El área barrida por el "radio vector" r durante un segundo después del perihelio es un triángulo rectángulo de base V1, de manera que su área es 0.5 r1 V1 El área barrida por el "radio vecto" r durante un segundo después del afelio es un triángulo rectángulo de base V2, de manera que su área es 0.5 r2 V2 De acuerdo a la ley de la áreas, ambas áreas son iguales, de manera que r1 V1   =   r2 V2 Divida ambos lados entre r1V2 y obtenga V1:V2   =   r2:r1     Si el afelio r2 es 3 veces la distancia del perihelio, la velocidad V2 en ese lugar es 3 veces más lenta. (Note: esta relación solo es válida en estos dos puntos de la órbita. En cualquier otro punto, la velocidad y el radio no son perpendiculares). ----------------     ¿Estamos lo más cerca del Sol? Aproximadamente el 4 de Enero, en un 1.5%, no lo suficiente como para que el Sol se aprecie distinto.      Esta es una forma rápida para demostrar esta asimetría (aunque probablemente no tenga tiempo para cubrirla en clase). Dibuje una elipse, con el eje largo y una línea perpendicular a dicho eje a través del Sol)     .Entonces ocurre (pura casualidad) que el equinoccio de primavera y el de otoño, cuando el día y la noche son iguales, típicamente el 21 de Marzo, Septiembre 22 ó 23, caen muy cercanos a esta línea perpendicular.    Observe la vista esquemática de la órbita de la Tierra en la sección #3. El eje largo (como se definió arriba) es la línea conectando Diciembre-Junio en ese dibujo, y la línea perpendicular es la que conecta Marzo-Septiembre.     ¿Si la órbita fuera exactamente un círculo? (en cuyo caso, lo que llamamos "eje largo", sería completamente arbitrario, un diámetro igual que cualquier otro), entonces, de acuerdo a la segunda ley de Kepler, la Tierra se movería a una velocidad constante y pasaría el mismo tiempo en el verano que en el otoño. ¡De hecho, pasa aproximadamente dos días menos en la parte del invierno! (Tome un calendario y cuente los días de un equinoccio al otro). Eso puede significar que     La parte del invierno es más corta, o La Tierra se mueve más rápido en la parte del invierno En realidad, ambas condiciones son ciertas, si la Tierra está lo más cercana a Sol alrededor de Enero 4. La "mitad" de la elipse (determinada por la línea perpendicular definida arriba) que está más cercana al Sol es más pequeña (demuéstrelo con un dibujo de una elipse que sea notoriamente ovalada), y de acuerdo a la segunda ley de Kepler, la Tierra se mueve más rápida al estar más cerca del Sol. -------------------------     El hecho de que el hemisferio norte esté más cerca del Sol a mediados de invierno y lo más retirado a mediados del verano, hace que se moderen las estaciones, haciéndolas más suaves.      En el hemisferio sur, los haría más crudos, aunque los grandes océanos ayudan a moderar su efecto.     Pero el eje de la Tierra se mueva alrededor de un cono, con un ciclo de 26000 años. En 13000 años, estaremos lo más cerca del Sol a mediados del verano, y el clima se hará más extremo. De acuerdo a lo descrito en la sección 7, esto puede ser un efecto ligado a los orígenes de la edad de hielo, pero no tenemos tiempo para los detalles. Tercera ley de Kepler

(3) El cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de la distancia media desde el Sol.(O en otras palabras--del "eje semimayor" de la elipse, la mitad de la suma de la distancia más grande y la más pequeña desde el Sol).

Esta es una ley matemática, y sus estudiantes necesitan calculadoras con raíces cuadradas, también potencias a la 3/2 y 2/3 (y tal vez también raíces cúbicas o potencias a la 1/3 que es lo mismo)...     Si dos planetas (o dos satélites de la Tierra---funciona igual) tienen períodos orbitales T1 y T1 de días o años, y distancias medias desde el Sol (o ejes semimayores) A1 y A2, entonces la fórmula expresando la tercera ley es (T1 / T2)2   =   (A1 / A2)3     Los estudiantes preguntarán de inmediato--podemos contar días para obtener el período orbital T (aunque puede ser complicado, necesitamos restar el movimiento de la Tierra alrededor del Sol)--pero ¿Cómo conocemos las distancia A?     En realidad, no la conocemos, pero observamos que solo se necesitan las proporciones de las distancias, y las unidades no afectan a las proporciones. Por ejemplo, suponga que "Planeta 2" es la Tierra, y todos los tiempos están en años. Entonces T2=1 (año) y podemos medir todas las distancias en unidades astronómicas (UA), la distancia media Sol-Tierra, de manera que A2 =1 (UA). La ley entonces aplica, para cualquier planeta, (T1)2   =   (A1)3 Esto puede ser verificado, y en la sección 10 encontrará los resultados en una tabla:

3ra Ley de Kepler T en años, a en unidades astronómicas; entonces T2 = a3 Las discrepancias son debido a la exactitud limitada
Planeta	Periodo T	Dist. a del Sol	T2	a3
Mercurio	0.241	0.387	0.05808	0.05796
Venus	0.616	0.723	0.37946	0.37793
Tierra	1	1	1	1
Marte	1.88	1.524	3.5344	3.5396
Júpiter	11.9	5.203	141.61	140.85
Saturno	29.5	9.539	870.25	867.98
Urano	84.0	19.191	7056	7068
Neptuno	165.0	30.071	27225	27192
Plutón	248.0	39.457	61504	61429

Usted puede observar que, aún con nuestra limitada exactitud, la ley se mantiene muy bien. También muestra que, entre más grande la distancia, el movimiento es más lento, lo que conduce a rebasar a los planetas exteriores por la Tierra, haciendo (por un tiempo) que se muevan hacia atrás de una manera relativa a las estrellas fijas en el cielo. Puede verificar todo esto matemáticamente para las órbitas circulares utilizando la leyes de Newton (vea la sección #21), pero, de nuevo, me voy a saltar eso.    En kilómetros, la unidad astronómica es de aproximadamente 150,000,000 km, 400 veces la distancia a la Luna. Todo tipo de intentos fueron realizados para obetener este valor, comenzando con el Griego Aristarco (sección #9a) y dichos intentos son discutidos en la sección 10a. Fue realizado por porimerz vez con alguna precisión en 1672, y la emoción sobre el reciente "Tránsito de Venus" frente al Sol fue motivado por una propuesta hecha entonces por Halley (del famoso cometa) para utilizar dichos tránsitos escasos (el último fue en 2004, el siguiente en 2012, y después hay que esparar más de un siglo) para medir la UA. El cálculo, que no es pequeño, están en la secciones 12c a 12e de "Astrónomos". (Algunos otros "métodos" fueron expuestos en la red, involucrando el tránsito de Venus pero no su duración, y ellos son falsos).     Se puede resolver todo tipo de problemas con la tercera ley de Kepler. Aquí están unos cuantos: ¿Cuánto tiempo toma llegar a Marte, con la órbita más eficiente? Esto se llama la "Órbita de Transferencia de hohmann" (Wolfgang Hohmann, 1925). La nave espacial primero debe liberarse de la Tierra (aún así orbitará el Sol junto con la Tierra, a 30 km/s, a una distancia de 1 UA), entonces se agrega velocidad de manera que su afelio (en su órbita alrededor del Sol) tan solo se acerque a la órbita de Marte, A=1.524 UA (ignorando elipcicidad). La órbita de Transferencia de Hohmann     Para la órbita de Hohmann, la distancia más pequeña es 1.00 UA (Tierra), la mayor es 1.524 UA (Marte), de manera que el eje semimayor es A = 0.5(1.00 + 1.524) = 1.262 UA A3 = 2.00992 = T2 El período es la raíz cuadrada de T = 1.412 años Para llegar a Marte, se requiere tan solo la mitad de la órbita, o T/2 = 0.7088 años Esto equivale aproximadamente a 8.5 meses; más detalles se encuentran en la sección #21b.. ¿Cuánto tiempo le tomaría a una nave llegar de la Tierra al Sol? ¡El Sol es el objeto más difícil de alcanzar del sistema solar! Es más fácil de escapar al espacio interestelar (sí, aquella gente que habla de enviar los desperdicios nucleares al Sol necesita estudiar astronomía).    Para llegar al Sol directamente desde la Tierra, necesitamos impulsar la nave espacial para liberarla de la Tierra. Aún orbita al Sol con la Tierra, a 30 km/s (la órbita baja de la Tierra es a solo 8km/s), de manera que necesitamos darle un impulso opuesto, agregándole (-30km/s) a su velocidad. Entonces, así caería directamente hacia el Sol.     Esa órbita también es una elipse, aunque una muy delgada. Su longitud total es de 1 (UA), de manera que el eje semimayor es A = 0.5 UA. De acuerdo a la tercera ley, A3 = 0.125 = T2, y obteniendo la raíz cuadrada, T=0.35355 años. Necesitamos dividir esto entre 2 (es un viaje sencillo) y multiplicarlo por 365.25 para obtener días. Multiplicando: T/2 = (0.5) 0.35355 (365.25) = 64.6 días ¿Qué tan lejos (del centro de la Tierra) orbitan los satélites síncronos? Estos son (en su mayoría) satélites de comunicación y tienen un período de 24 horas, lo cual favorece a que se mantengan sobre el mismo punto. La Luna se encuentra a 60 RT (Radios de la Tierra) y tiene un período de T = 27.3217 días (vea la sección 20 relativa a la gravedad). La órbita síncrona es circular, de manera que A es también su radio R. Obtenemos (R/ 60)3   =   R3 / 216,000   =   (1 / 27.3217 días)2              =   1/ (27.3217 días)2   =   1 / 746.5753 de manera que R3   =   216,00/746.5753   =   289.32 Este número está entre 63 = 216 y 73 = 343, de manera que la calculadora nos da un valor de R = 6.614 RT. Ahora sabe que obtuvo ese valor de manera correcta. ¿Qué tan lejos se va el cometa Halley?Su período es de aproximadamente 75 años, y 752 = 5625. Sáquele la raíz cúbica: A = 17.784 UA. Eso, sin embargo, es el eje semimayor. La longitud de la elipse orbital es 2A = 35.57 UA. El perihelio está dentro de la órbita de la Tierra, a menos de 1 UA del Sol, de manera que el afelio es de aprox35 UA del Sol--como lo muestra la tabla, en algún punto entre las órbita de Neptuno y Plutón.