Astronomía - Mecánica celeste

gradiente gravitatorio se utiliza para hacer referencia a un fenómeno que afecta a cuerpos no puntuales, tales como planetas y satélites, y que tiene su origen en que la gravedad que actúa sobre ellos resulta no uniforme.

Un ejemplo de esto es la Tierra, sometida a la gravedad de la Luna, y su recíproco, la Luna sometida a la gravedad de la Tierra. En este caso, el fenómeno provoca la existencia de las mareas, hace que la Luna tenga siempre la misma cara orientada hacia la Tierra y explica por qué ésta no gira de manera caótica.

Imagen a escala que muestra la distancia entre la Luna y la Tierra. Se observa que los diámetros son pequeños comparados con la distancia pero apreciables en cierta medida.

Origen del fenómeno

Esquema de las fuerzas sobre la Luna.

De manera simplificada, entre la Luna y la Tierra existe una fuerza recíproca aplicada en el centro de masas de cada cuerpo celeste, cuyo módulo está definido en la Ley de la Gravitación Universal desarrollada por Isaac Newton:

${\displaystyle F=G{\frac {M_{T}\cdot M_{L}}{r^{2}}}}$

donde

• ${\displaystyle r}$ es la distancia entre los centros de masa
• ${\displaystyle G}$ es la Constante de gravitación universal
• ${\displaystyle M_{T}}$ es la masa de la Tierra
• ${\displaystyle M_{L}}$ es la masa de la Luna

Sin embargo, la acción real es que la fuerza de gravedad se distribuye en la masa de cada uno de estos objetos, cuyas dimensiones son del orden de miles de kilómetros, de modo que la intensidad de la gravedad en cada punto es levemente distinta. Esto hace que las porciones de masa de la Luna situadas en la cara opuesta a la Tierra estén sometidas a fuerzas de gravedad levemente inferiores a las que actúan en la cara orientada hacia la Tierra, de manera que en la cara más cercana a la Tierra existe una resultante de fuerzas levemente superior a la que existe en la cara opuesta. De esta forma, la cara más cercana a la Tierra tiende al equilibrio.

El fenómeno recíproco sucede en la Tierra donde, en la zona que se encuentra en oposición a la Luna, existe una acción de la gravedad levemente inferior a la que se observa en la zona más cercana. En este caso, la masa de la Luna es insuficiente para impedir la rotación de la Tierra, pero este fenómeno evita que la Tierra tenga una rotación de tipo caótico.

El gradiente gravitatorio sobre la Luna

Este es un caso particular de estabilización por gradiente gravitatorio. El fenómeno descrito, actuando durante millones de años, hace que la oscilación de la Luna en torno a un punto de equilibrio sea cada vez menor, fenómeno que fue descubierto por Euler en sus estudios del movimiento del sólido rígido. La mayoría de los satélites regulares presentan este fenómeno respecto a sus planetas.

El gradiente gravitatorio sobre la Tierra

Esquema de las fuerzas sobre la Tierra.

En realidad, la Luna no gira en torno a la Tierra, sino que la Tierra y la Luna giran en torno al centro de masas de ambos. Sin embargo, al ser la Tierra un cuerpo grande, la gravedad que ejerce sobre ella la Luna es distinta en cada punto. En el punto más próximo a la Luna, la intensidad de la gravedad es mayor que en el centro de masas de la Tierra, y también es mayor que en el punto más alejado de la Luna.

Así, mientras la Tierra gira en torno al centro de gravedad del sistema Tierra-Luna, aparece a la vez una fuerza que tiende a deformarla, dándole el aspecto de un elipsoide. Esta fuerza es la que produce las mareas. Al ser la Tierra sólida, la deformación afecta más a las aguas y es lo que produce el efecto de que suban y bajen dos veces al día: la marea sube en los puntos más cercanos y más alejados de la Luna.

Un efecto asociado es que las mareas frenan a la Tierra en su rotación y, dado que el sistema Tierra-Luna tiene que conservar el momento cinético, la Luna lo compensa alejándose 3 cm cada año, como han demostrado las mediciones láser de la distancia, posibles gracias a los retro-reflectores que los astronautas dejaron en la Luna.

La ley de Titius-Bode, a veces denominada solo ley de Bode, es una hipótesis que relaciona la distancia de un planeta al Sol con el número de orden del planeta mediante una regla simple. Matemáticamente, se trata de una sucesión que facilita la distancia de un planeta al Sol.

La ley original era:

${\displaystyle a={\frac {n+4}{10}}}$

donde n = 0, 3, 6, 12, 24, 48..., siendo n = 2n-1 (dos veces el valor anterior) y a representa el semieje mayor de la órbita.

Es decir; fórmese la sucesión:

0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384...,

Ahora añádase 4 a la sucesión anterior:

4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196, 388...

Divídase por 10 la sucesión anterior:

0,4; 0,7; 1,0; 1,6; 2,8; 5,2; 10,0; 19,6; 38,8 ...

En aquella época solo se conocían los planetas clásicos Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno que distan del Sol: 0,38; 0,72; 1; 1,52; 5,2; 9,54 unidades astronómicas

Descubrimiento e importancia histórica

Johann Daniel Titius.

Johann Elert Bode.

La ley la descubrió en 1766 Johann Daniel Titius y se la atribuyó en 1772 al director del Observatorio de Berlín, Johann Elert Bode; de ahí el nombre. Sin embargo, algunos dicen que el primero en proponerla fue Christian Wolff en 1724.

El descubrimiento de Urano por William Herschel en 1781, que estaba a 19,18 UA, no hizo más que confirmar la ley publicada solo tres años antes y llevó a que en el quinto lugar a 2,8 UA faltara un planeta. En el congreso astronómico que tuvo lugar en Gotha, Alemania, en 1796, el francés Joseph Lalande recomendó su búsqueda. Entre cinco astrónomos se repartieron el zodiaco en la búsqueda del quinto planeta y finalmente el 1 de enero de 1801, en el Observatorio de Palermo el monje Giuseppe Piazzi, que no pertenecía a la comisión de búsqueda, descubrió Ceres, el primero de los asteroides. El día 3 de enero el cuerpo se había desplazado un tercio de luna hacia el oeste. Hasta el 24 no publicó su descubrimiento, creyendo que era un cometa. Carl Friedrich Gauss, el gran matemático, inventó ex profeso para Ceres un procedimiento de cálculo de la órbita con tal de aprovechar los pocos datos de la órbita conseguidos por Piazzi. Calculada su órbita, resultó un cuerpo que orbitaba entre Marte y Júpiter; es decir, el cuerpo que faltaba según la ley de Bode.

La ley de Bode, aun pudiendo ser solo una curiosidad matemática, tuvo una gran importancia en el desarrollo de la Astronomía de finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX.

Ley de Titius-Bode. Su paradójico origen y curso posterior¹

Johann Daniel Titius (1729-1796), profesor de física de la antigua Universidad de Wittenberg (Sajonia) tradujo al alemán la obra Contemplation de la Nature, del autor suizo Charles Bonnet (1720-1793).

Sin decir nada a nadie, Titius intercaló dos parágrafos propios que se encuentran al final de la página 7 y al comienzo de la 8 en la edición alemana de 1766. En el prefacio, Bonnet advierte sin precisar que Titius ha intercalado algunas notas propias, lo cual hace suponer no solo su conocimiento, sino también su conformidad. Por supuesto, el parágrafo nuevo intercalado no se halla ni en el original ni en las traducciones de la obra de Bonnet al italiano y al inglés.

En el texto intercalado a que nos referimos hay dos partes, una a continuación de la otra. En la primera se expone la sucesión de las distancias planetarias al Sol de los planetas históricos, desde Mercurio a Saturno, redondeadas a números enteros y es como sigue: Si damos 100 puntos a Saturno y 4 a Mercurio, a Venus corresponderán 4+3 = 7 puntos; a la Tierra 4+6 = 10; a Marte, 4+12 = 16; al siguiente serían 4+24 = 28, pero no hay planeta; y serán 4+48 = 52 puntos y 4+96 = 100 puntos respectivamente, para Júpiter los primeros y para Saturno los segundos.

En la segunda parte intercalada se añade: Si al radio de la órbita de la Tierra le damos el valor de 10, los radios de las otras órbitas vendrán dados por la fórmula R_n = 4 + (3 * 2ⁿ), siendo n = -∞ para Mercurio y 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para los planetas que le siguen.    

Estos dos enunciados, por toda su particular tipología y los de los radios de las órbitas, parecen derivarse de una antigualla cosista² . De hecho, se han ido encontrando muchos precedentes de hasta el siglo XVII. Titius fue discípulo del filósofo alemán Christian Freiherr von Wolf (1679-1754), y la segunda parte del texto intercalado en la obra de Bonnet se encuentra también textualmente en una obra de von Wolf de 1723, Vernünftige Gedanken von den Wirkungen der Natur. Por esto, en la bibliografía del siglo XX sobre la ley de Titius-Bode, suele asignarse la autoría al filósofo alemán; de ser así, Titius lo hubiera podido aprender de él. Otra referencia más antigua es la de James Gregory de 1702, en sus Astronomiae physicae et geometricae elementa, donde la sucesión de distancias planetarias 4, 7, 10, 16, 52 y 100 se convierte en una progresión geométrica de razón 2. Es la fórmula newtoniana más cercana, que está también en Benjamin Martin y en el propio Tomás Cerdá muchos años antes de la publicación alemana del libro de Bonnet.

El texto intercalado por Titius en el libro de Bonnet sí que se transmitió exactamente en la obra de astronomía de Johann Elert Bode (1747-1826). En ninguna de sus ediciones se habla de Titius, sin asignarse claramente la autoría de la ley (Aleitung zur kenntnis des gestirnten Himmels, 1722). En una memoria póstuma de Bode sí que se ha encontrado una referencia a Titius con el reconocimiento claro de su prioridad.

Titius y Bode esperaban que la ley llevaría al descubrimiento de nuevos planetas. En realidad no fue así. El de Urano y Ceres más bien contribuyó a dar fama  a la Ley de Titius-Bode, pero no así al descubrimiento de Neptuno y Plutón, pues quedan excluidos. No obstante, se aplica a los satélites y ahora incluso a los planetas extrasolares.

La ley de Titius-Bode sigue sin una explicación teórica sólida y convincente de su significado físico, y también sin considerarse un artefacto numérico. Su historia siempre ha ido más ligada a ruido que a nueces. ¿Cómo puede compararse a la obra de Hiparco con respecto a las distancias planetarias, a la de Kepler con respecto a la órbita de Marte, al descubrimiento de Neptuno, al cálculo de una efeméride, al de una órbita partiendo solo de tres posiciones, o a la explicación de la desviación del perihelio de Mercurio? Sin embargo, suele ser más citada.

Una explicación que podría ser anterior a la ley de Titius-Bode

El jesuita Tomás Cerdá (1715-1791) dio un célebre curso de astronomía en Barcelona en 1760, en la Real Cátedra de Matemáticas del Colegio de San Jaime de Cordelles (Imperial y Real Seminario de Nobles de Cordellas). Del manuscrito original conservado en la Real Academia de la Historia de Madrid, Lluís Gasiot rehízo el Tratado de Astronomía de Cerdá, publicado en 1999, y el cual se basa en los Astronomiae physicae de James Gregory (1702) y en la Philosophia Britannica de Benjamin Martin (1747). En el Tratado de Cerdá podemos encontrar las distancias planetarias obtenidas a partir de los tiempos periódicos y aplicando la tercera ley de Kepler, con una precisión de 10^-3. Tomando de referencia la distancia de la Tierra como 10 y redondeando a enteros, puede establecerse la progresión geométrica [(D_n x 10) – 4] / [D_n-1 x 10) – 4] = 2, desde n=2 a n=8. Utilizando el movimiento circular uniforme ficticio equivalente de la Anomalía de Kepler, pueden obtenerse los valores R_n de los radios correspondientes a cada planeta, con los cuales pueden obtenerse las razones r_n = (R_n – R₁) / (R_n-1 – R₁) que resultan ser 1,82; 1,84; 1,86; 1,88 y 1,90, con lo cual r_n = 2 – 0,02 (12 – n) que es la relación entre la sucesión kepleriana y la Ley de Titus-Bode, la cual sería una coincidencia numérica casual. La razón es próxima a 2, pero en realidad va aumentando armónicamente desde 1,82.

La velocidad media de los planetas desde n=1 a n=8 disminuye al alejarse del Sol y difiere del descenso uniforme en n=2 para recuperarlo a partir de n=7 (resonancia orbital).

La ley de Bode en el Sistema Solar

Para el sistema solar la distancia de los planetas al Sol en UAs es, según la ley de Titius-Bode:

${\displaystyle a=0,4+(0,3\times k)}$

donde k = 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... = 0,2⁰, 2¹, 2², 2³...

Las distancias de los planetas calculados por la ley de Bode comparadas con las reales son:

Planeta	k	Distancia ley T-B	Distancia real	Error %
Mercurio	0	0,4	0,39	2,5%
Venus	1	0,7	0,72	2,78%
Tierra	2	1,0	1,00	0%
Marte	4	1,6	1,52	5,3%
Ceres1	8	2,8	2,77	1,1%
Júpiter	16	5,2	5,20	0%
Saturno	32	10,0	9,54	4.8%
Urano	64	19,6	19,2	2%
Neptuno	128	38.8	30,06	29.08%
Plutón3	256	77.2	39,44	95.75%

¹ Ceres es el mayor objeto perteneciente al Cinturón de Asteroides, y tiene que ser considerado un planeta para cubrir el hueco de k=8; por lo tanto, es el número tomado como referencia para la distancia al Sol (2,77 UA). Durante aproximadamente 70 años después de su descubrimiento fue considerado el quinto planeta del sistema solar, pero después del avistamiento de otros objetos de gran tamaño, pasó a ser denominado el asteroide más grande del Cinturón. En el año 2006 se le dio categoría de Planeta enano.

² Neptuno viola la ley, cayendo a medio camino entre el k=64 y k=128.

³ Plutón fue excluido de la categoría de planeta tras la Redefinición de planeta de 2006. Al igual que Ceres es considerado actualmente un Planeta enano .

Ley de Bode generalizada (Formulación tradicional)

Para generalizar la ley de Bode asignamos una letra a cada parámetro:

${\displaystyle D_{n}=a+b\times k}$

donde:

• ${\displaystyle D_{n}}$ es la distancia de la estrella al planeta ${\displaystyle n}$,
• ${\displaystyle a}$ sería la distancia del primer planeta a la estrella (como en el sistema solar),
• ${\displaystyle b}$ sería un parámetro ajustable, y
• ${\displaystyle k}$ es un valor que será diferente para cada planeta (estará en función de ${\displaystyle n}$).

En el caso del sistema solar ${\displaystyle k=0({\text{Mercurio}}),2^{0}({\text{Venus}}),2^{1}({\text{Tierra}})\dots }$ se podría generalizar k por tanto como:

${\displaystyle k=0,z^{n-2}}$

Hay que destacar que para ${\displaystyle n=1}$ (Es decir, para el primer planeta) el valor de ${\displaystyle k}$ es 0, lo que supone una excepción.

Otra forma de expresar la ley de Bode

${\displaystyle a=0,4+0,3\times k}$

${\displaystyle a=0,4+0,3\times 2^{n-2}}$

con n=2, 3, 4....

Para el caso n=2 a=0,4

Despreciando el 0,4 y colocando unos valores a ajustar:

${\displaystyle a=p\times q^{n-2}}$

Tomando logaritmos:

${\displaystyle \log a=\log p+(n-2)\times \log q}$

y operando:

${\displaystyle \log a=n\times r+s}$

Es decir, tomando logaritmos de las distancias, podemos ajustar por mínimos cuadrados a una recta.

Para los planetas exteriores, si los logaritmos de las distancias siguen una progresión aritmética es porque las distancias siguen una progresión geométrica. Bode pensaba que la razón de la progresión geométrica era 2, pero cuando se hace el ajuste resulta ser solamente 1,71.

El resultado es, considerando a Plutón y tomando como unidad de distancia el km:

${\displaystyle \log a=0,233058\times n+7,5119}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

y una correlación r=0,9971.

Para expresarlo en logaritmos neperianos hay que multiplicar por 1/M=2,30258 resulta:

${\displaystyle \ln a=0,53663\times n+17,2967}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

así que las distancias:

${\displaystyle a=e^{0,53663\times n+17,2967}}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Si usamos la unidad astronómica

${\displaystyle \log a=0,233058\times n-0,662989}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

El cambio, en la unidad no cambia la pendiente ni la correlación, pero la ordenada en el origen queda disminuida en:

${\displaystyle \log U.A.=\log 1,496\times 10^{8}=8,17493}$

así 7,5119-8,1749=-0,6630

Así:

${\displaystyle \ln a=0,53663\times n-1,52658}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

por lo que:

${\displaystyle a=e^{0,53663\times n-1,52658}}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

así que:

${\displaystyle a=0,21727\times (1,71023)^{n}}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

y comparado ley de Bode clásica:

${\displaystyle a=0,3\times (2)^{n-2}+0,4}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Queda claro que el error de Bode era pensar que cada planeta está al doble de la distancia, cuando en realidad es solo de 1,71 veces.

Ajuste lineal logarítmico a las distancias de los planetas del Sistema Solar.

Se pueden comparar ambas leyes con los valores reales:

Denominación	n	a (U.A.)	a Bode	a (log)
Mercurio	1	0,387	0,4	0,372
Venus	2	0,723	0,7	0,636
Tierra	3	1,000	1	1,087
Marte	4	1,523	1,6	1,859
Ceres1	5	2,767	2,8	3,179
Júpiter	6	5,203	5,2	5,437
Saturno	7	9,539	10	9,299
Urano	8	19,184	19,6	15,903
Neptuno	9	30,060	n/a2	27,198
Plutón	10	39,759	38,8	46,514
Sedna1	11	76,361	154	79.542

Esta nueva manera de ver las cosas tiene varias ventajas:

• El primer término de la sucesión (Mercurio) siempre era especial; ahora es uno más.
• El término 0,4 se coloca para ajustar los planetas interiores; aquí es inexistente.
• Para Neptuno no se cumplía; ahora sí.

Si se considera que Plutón no es planeta y se quita del ajuste y usamos la unidad astronómica:

${\displaystyle \ln a=0,5497\times n-1,5723}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9

así que:

${\displaystyle a=0,2075\times (1,7327)^{n}}$ con n=1,2,3,4,5,6,7,8,9

El problema de Plutón

Se puede considerar que Plutón no es un planeta, ya que pertenece al Cinturón de Kuiper. Es un plutino; es decir, pertenece a los asteroides transneptunianos que están en resonancia 3/2 con Neptuno, lo que significa que cada 3 vueltas de Neptuno al Sol el asteroide da 2 vueltas. Ello supone un periodo para el asteroide T=3/2 * 164,7900 años=247,185 años. Por la tercera ley de Kepler a= T^2/3=39,3865 U.A. y una relación de distancias: 39,386/30,06=1,31 por debajo de la media. ¹ Sedna no ha sido reconocido formalmente como planeta enano aunque cumple con esa definición. Su periastro cumple con la sucesión de la ley de Bode, evitando resolver el problema de plutón simplemente eliminándolo de la lista. Dicho problema podría reducirse tomando como referencia no el periastro de Plutón, sino el baricentro del sistema Plutón-Caronte, aunque esta definición tampoco ha sido aprobada.³

Cuando originalmente se publicó, la ley era satisfecha por todos los planetas conocidos -desde Mercurio hasta Saturno- con un hueco entre el cuarto y quinto planeta. Se consideró interesante, pero de ninguna gran importancia hasta el descubrimiento de Urano en 1781, qué encajó pulcramente en la serie. Basado en su nueva credibilidad, Bode inició la búsqueda del quinto planeta. Ceres, el más grande de los asteroides en el Cinturón de Asteroides, se encontró a 2,8 UA, ocupando la quinta posición de esta ley.

Aplicación a otros sistemas de satélites

Hay solamente un limitado número de sistemas en que la ley de Bode puede probarse. Júpiter, Saturno y Urano tienen varias lunas grandes que parecen haber sido creadas por un proceso similar al que creó los planetas. En la aplicación a los satélites debemos tener presente que deben descartarse todos aquellos que no han sido formados en las proximidades del planeta sino capturados por la gravedad de este. Estos cuerpos se caracterizan por ser pequeños, girar en un plano muy distinto de los satélites grandes o incluso tener un movimiento retrógrado.

Aplicación a los satélites de Júpiter

Los cuatro satélites galileanos de Júpiter más el satélite interno más grande, Amaltea, cumplen perfectamente la ley de Bode:

${\displaystyle \log a=0,2417\times n+5,0724}$ con n=1,2,3,4,5

y una correlación r=0,9925.

Amaltea hay que considerarlo porque a pesar de tener solo 200 km gira en la órbita de los satélites galileanos.

Ajuste lineal logarítmico a las distancias de los satélites de Júpiter.

Resulta que

${\displaystyle a=e^{0,55992\times n+11,6796}}$

${\displaystyle a=118137,8\times (1,75053)^{n}}$

En radios del planeta:

${\displaystyle a=1,6524\times (1,75053)^{n}}$

Obsérvese que de un planeta al siguiente en el Sistema Solar o en los satélites de Júpiter el valor es muy similar.

Para quien tenga dudas, podemos, al igual que Bode, crear una sucesión:

0,3,6,12,24 formada por el 0 y una progresión geométrica con primer término 3 y razón 2.

Ahora añadimos 3 a cada uno de los términos:

3,6,9,15,27

Las distancias de los cinco satélites a Júpiter en radios del planeta son:

2.5, 5.9, 9.4, 15.0, 26.3 el ajuste es perfecto.

Si se consideran solo los 4 satélites galileanos, el ajuste es todavía más perfecto:

${\displaystyle \log a=0,21423\times n+5,4024}$

con n=1,2,3,4 y una correlación r=0,99873.

En radios del planeta:

${\displaystyle a=3,53276\times (1,63768)^{n}}$

Aplicación a los satélites de Urano

Ajuste lineal logarítmico a las distancias de los satélites de Urano.

Las lunas grandes de Urano tienen una adaptación a la ley de Bode magnífica:

${\displaystyle \log a=0,169036\times n+4,9432}$ con n=1,2,3,4,5

y una correlación r=0,9943. Es decir:

${\displaystyle a=87738\times (1,47583)^{n}}$ en km

En radios del planeta:

${\displaystyle a=3,5505524\times (1,47583)^{n}}$

Mientras que los primeros satélites están a unos 3 radios del planeta, Mercurio está a 83,24 radios solares. No obstante, el crecimiento tiene una tasa bastante similar.

Aplicación a los satélites de Saturno

La aplicación a las lunas de Saturno presenta más problemas. Lo que se ha hecho es ajustar a los satélites grandes más internos (Jano, Mimas, Encelado, Tetis, Dione y Rea) con n=1 hasta 6. Ahora ajustamos los demás hasta que caigan sobre la recta. Hace falta dejar los huecos 7 y 8 hasta llegar a Titán e Hiperión, que serían n=9 y 10 respectivamente. Japeto sería el n=13 y Febe el n=18.

Ajuste lineal logarítmico a las distancias de los satélites de Saturno.

Con ello el ajuste sería:

${\displaystyle \log a=0,11564\times n+5,0305}$ con n=1,2,3,4,5,6,9,10,13,18

y una correlación de 0,9995.

Es decir:

${\displaystyle a=107272,6\times (1,30509)^{n}}$ en km

En radios del planeta:

${\displaystyle a=1,79157\times (1,30509)^{n}}$

Aplicación a planetas extrasolares

Con el avance en las técnicas de descubrimiento de planetas extrasolares ya se han descubierto varios sistemas planetarios sobre los que es posible aplicar la ley. Un reciente estudio de aficionado⁴ trata de aplicar la ley a algunos de estos sistemas, la conclusión es que Kepler 11 y HD 10180 cumplen perfectamente la ley, el estudio consigue aplicarla también a Gliese 876, Gliese 581 y 55Cnc suponiendo la existencia de algunos planetas que no conoceríamos.