lunes, 10 de diciembre de 2018

ARTÍCULOS Y EJERCICIOS DE FÍSICA

Aplicación:Campo de fuerzas paralelas sobre una varilla


1 Enunciado

Una barra rígida \overline{OA} de longitud L se dispone horizontalmente. Cada punto de la barra tiene una masa infinitesimal \mathrm{d} m=\lambda\,\mathrm{d} l, y una aceleración cuyo módulo es proporcional a la distancia que lo separa de su extremo derecho (con constante de proporcionalidad C), y cuya dirección es perpendicular a la barra y con sentido hacia arriba. Calcula la resultante, el momento resultante respecto de O y el punto central G del sistema de vectores deslizantes paralelos que forman las fuerzas infinitesimales que actúan sobre los puntos de la barra.

2 Solución

2.1 Construcción del vector en cada punto de la barra

El sistema de vectores deslizantes está compuesto por cada uno de los vectores que se asigna a cada uno de los puntos de la barra. En cada punto el vector es \mathrm{d}\vec{F} , que se construye de la siguiente manera.
Escogemos un sistema de ejes de modo que el eje X coincide con la barra, el eje Y es perpendicular a ella apuntando hacia arriba, y el origen coincide con el punto O, el extremo izquierdo de la barra. En cada punto P de la barra el vector es la fuerza que actúa sobre el elemento de línea situado en ese punto. Utilizando la Segunda Ley de Newton, la fuerza sobre cada elemento de línea es el producto de su masa por su aceleración. Llamando \mathrm{d}\vec{F}  a esta fuerza, en cada elemento de línea se tiene
\mathrm{d}\vec{F} = \vec{a}\,\mathrm{d}m
Aquí, dm es la masa del elemento de línea y \vec{a}  es la aceleración del elemento.
Según el enunciado, la masa de cada elemento es \mathrm{d}m=\lambda\,\mathrm{d}l , donde dl es la longitud del elemento de línea y λ es una constante.
Por otro lado, el enunciado dice que la aceleración es perpendicular a la barra, apuntando hacia arriba y con un módulo proporcional a la distancia del punto de la barra a su extremo derecho (con constante de proporcionalidad C). Esto se puede resumir en la siguiente expresión
\vec{a}(l) = C|\overrightarrow{PA}|(l)\,\vec{\jmath}
El vector \overrightarrow{PA}  puede escribirse como
\overrightarrow{PA} = (L-l)\,\vec{\imath} \qquad \qquad \mathrm{con}\,0\leq l \leq L
Para cada valor de l entre 0 y L tenemos un punto distinto de la barra. Con esto, la aceleración en cada punto de la barra es
\vec{a}(l) = C\,(L-l)\,\vec{\jmath}
Y la fuerza en cada elemento de línea es
\mathrm{d}\vec{F} = \lambda\,C\,(L-l)\,\mathrm{d}l\,\vec{\jmath}
En un sistema de vectores deslizantes paralelos, cada vector se puede expresar como el producto de un número (con signo) por un vector de módulo unidad que indique la dirección de las rectas soporte de los vectores (vector \vec{u} ). En este caso, escogiendo como vector \vec{u}  el vector \vec{\jmath} , esta expresión queda
\mathrm{d}\vec{F} = \mathrm{d}c(l)\,\vec{\jmath} \qquad \mathrm{con}\qquad \mathrm{d}c(l) = \lambda\,C\,(L-l)\,\mathrm{d}l

2.2 Resultante

La resultante es suma vectorial de todos los vectores del sistema considerados como vectores libres. En este caso, hay infinitos elementos de línea, cada un de ellos un diferencial. Por tanto, el sumatorio se convierte en una integral. La resultante es
\vec{R} = \int\limits_{\mathrm{barra}}\mathrm{d}\vec{F} = \int\limits_0^L\vec{\jmath}\,\mathrm{d}c(l) = \int\limits_0^L\lambda\,C\,(L-l)\,\mathrm{d}l\,\vec{\jmath}
Al variar l, tanto λ como C y \vec{\jmath}  no cambian, por lo que pueden salir de la integral. Tenemos
\vec{R} = \vec{\jmath}\,\lambda\,C\, \int\limits_0^L(L-l)\,\mathrm{d} = \frac{1}{2}\lambda\,C\,L^2\,\vec{\jmath} = R\,\vec{\jmath}
donde
R = \int\limits_0^L\mathrm{d}c =\frac{1}{2}\lambda\,C\,L^2

2.3 Momento resultante respecto a O

Para cada uno de los vectores \mathrm{d}\vec{F}  del sistema, su momento respecto al extremo izquierdo de la barra es
\mathrm{d}\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\mathrm{d}\vec{F}
Como se ve en la figura el vector \overrightarrow{OP}  es
\overrightarrow{OP} = l\,\vec{\imath}
Por tanto, el momento de cada uno de los vectores es
\overrightarrow{OP}\times\mathrm{d}\vec{F} = \left[l\,\vec{\imath}\right]\times\left[\lambda\,C\,(L-l)\,\mathrm{d}l\,\vec{\jmath}\, \right] = \vec{k}\,\lambda\,C\,l(L-l)\mathrm{d}l
El momento resultante del sistema es la suma de estos momentos. De nuevo, al tratarse de diferenciales el sumatorio se transforma en integral. Tenemos
\vec{M}_O = \int\limits_{\mathrm{barra}}\mathrm{d}\vec{M}_O= \int\limits_0^L\vec{k}\,\lambda\,C\,l(L-l)\mathrm{d}l
De nuevo podemos sacar de la integral los elementos que no dependen de la posición del punto P, esto es, de l. El resultado es
\vec{M}_O = \vec{k}\,\lambda\,C\int\limits_0^Ll(L-l)\,\mathrm{d}l = \frac{1}{6}\lambda\,C\,L^3\,\vec{k}

2.4 Punto central del sistema

La posición del punto central del sistema respecto de un punto genérico O se calcula con la expresión
\overrightarrow{OG} = \frac{\displaystyle\int\limits_0^L\overrightarrow{OP}(l)\mathrm{d}c(l)}{\displaystyle\int\limits_0^L\mathrm{d}c(l)}
El denominador lo tenemos del cálculo de la resultante
\int\limits_0^L\mathrm{d}c(l) = R = \frac{1}{2}\lambda\,C\,L^2
El numerador es
\int\limits_0^L\overrightarrow{OP}(l)\mathrm{d}c(l) = \int\limits_0^L \vec{\imath}\,\lambda\,C\,l(L-l)\,\mathrm{d}l = \frac{1}{6}\,\lambda\,C\,L^3\,\vec{\imath}
Así pues, la posición del punto central viene dada por el vector
\overrightarrow{OG} = \frac{\frac{1}{6}\,\lambda\,C\,L^3\,\vec{\imath} }{\frac{1}{2}\lambda\,C\,L^2} = \frac{1}{3}L\,\vec{\imath}
El punto central está más cerca del extremo izquierdo que del derecho. Esto es lógico pues, como se ve en la figura, los vectores son mayores cuanto más cerca estamos del extremo izquierdo.

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Avión girando alrededor de un eje


1 Enunciado

(Primer Parcial, Enero 2009, P1)
El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio L y centro O. El módulo de la velocidad angular de este giro es |\vec{\omega}_{01}|=\Omega(cte). Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es R, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular de módulo |\vec{\omega}_{20}|=\omega(cte). Se pide
  1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
  2. Aplicando la composición de velocidades, calcular \vec{\omega}_{21} y \vec{\alpha}_{21}.
  3. La velocidad \vec{v}_{21}^P y aceleración \vec{a}_{21}^P del punto más alto de la hélice (punto P en la figura), así como la ecuación del E.I.R.M.D. de {21} ¿Qué tipo de movimiento es éste?
  4. Calcule numéricamente |\vec{v}_{21}^P| y |\vec{a}_{21}^P| para los valores R=1\,\mathrm{m}, L=100\,\mathrm{m}, \omega=100\,\mathrm{rad/s} y \Omega=1\,\mathrm{rad/s}.
Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido 0 para resolver el problema.

2 Solución

2.1 Reducción cinemática de {01}

El movimiento {01} es un rotación permanente cuyo eje es la recta OZ_1\equiv OZ_0. El punto O pertenece al eje de giro, por lo que \vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}. El enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es |\vec{\omega}_{01}|=\Omega. Según el giro que se indica en la figura apunta en el sentido positivo del eje Z0. Por tanto la reducción en el punto O es
\begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1&&\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv OZ_0\equiv OZ_1\\ &&\\\vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}&& \end{array}

2.2 Reducción cinemática de {20}

Este movimiento es un rotación instantánea alrededor de la línea que pasa por el centro de la hélice y es perpendicular a ella. Así pues, el punto C pertenece al eje de giro, por lo que \vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}. En el dibujo también se observa que el eje de giro es paralelo a OY0. Como el enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es |\vec{\omega}_{20}|=\omega, la reducción en el punto C es
\begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\jmath}_0&&\Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv CY_0\\ && \\ \vec{v}_{20}^{C}=\vec{0} && \end{array}

2.3 Movimiento {21}

Para encontrar las magnitudes que nos pide el problema vamos a usar la composición
{21} = {20} + {01}
La composición de velocidades angulares es
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}
Usando los movimientos {01} y {20} tenemos
\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\jmath}_0+\Omega\,\vec{k}_0
Para la aceleración angular usamos
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
El enunciado nos dice que tanto |\vec{\omega}_{01}| como |\vec{\omega}_{20}| son constantes. Por tanto se cumple
\vec{\alpha}_{01}=\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}
Calculando el producto vectorial \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\vec{\alpha}_{21}=-\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0
Calculamos ahora \vec{v}_{21}^P. Para ello usamos la composición de movimientos y, dentro de cada movimiento, la ecuación del campo de velocidades
\begin{array}{rl} \vec{v}_{21}^P=&\vec{v}_{20}^P+\vec{v}_{01}^P\\ &\vec{v}_{20}^P=\vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}=(\omega\,\vec{\jmath}_0)\times(R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 \\ &\vec{v}_{01}^P=\vec{v}_{01}^{O}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP}= (\Omega\,\vec{k}_0)\times(L\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 =L\Omega\,\vec{\jmath}_0 \end{array}
Por tanto
\vec{v}_{21}^P = R\omega\,\vec{\imath}_0 + L\Omega\,\vec{\jmath}_0
Para calcular \vec{a}_{21}^P necesitamos determinar la aceleración en un punto de los movimientos {01} y {20}. En ambos casos, los puntos de los ejes de rotación respectivos tienen aceleración nula. Entonces
\begin{array}{ccc} \vec{a}_{01}^{O}=\vec{0}&&\vec{a}_{20}^{C}=\vec{0} \end{array}
Ahora podemos calcular \vec{a}_{21}^P usando la composición y las ecuaciones del campo de velocidades de los correspondientes sólidos
\begin{array}{rl} \vec{a}_{21}^P =& \vec{a}_{20}^P+\vec{a}_{01}^P+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P\\ &\vec{a}_{20}^P = \vec{a}_{20}^C +\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})= -R \omega^2\,\vec{k}_0\\ &\vec{a}_{01}^P = \vec{a}_{01}^{O} +\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})= -L \Omega^2\,\vec{\imath}_0\\ &2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P = 2(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\omega\,\vec{\imath}_0)= 2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0 \end{array}
Resulta
\vec{a}_{21}^P=-L\Omega^2\,\vec{\imath}_0+2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0-R\omega^2\,\vec{k}_0
Para encontrar el eje Δ21, vamos a calcular \vec{v}_{21}^O, para hacer más sencilla la descripción de la posición del eje. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de {21} tenemos
\begin{array}{rl} \vec{v}_{21}^O =& \vec{v}_{21}^P+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} \\ & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\ 0&\omega&\Omega\\ -L&0&-R \end{array} \right|= -R\omega\,\vec{\imath}_0-L\Omega\,\vec{\jmath}_0+L\omega\,\vec{k}_0\\ \vec{v}_{21}^O =& L\omega\vec{k}_0 \end{array}
Podemos encontrar un punto de Δ21 usando la expresión
\overrightarrow{OC^*}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}= \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0
La ecuación vectorial de Δ21 es
\Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC^*}+\lambda\vec{\omega}_{21}= \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 +\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)
Como ω2 / (ω2 + Ω2) < 1, el punto C * está sobre el eje OX0 en un punto intermedio entre el punto O y el punto C. La figura muestra la posición aproximada del eje.
Para determinar el tipo de movimiento calculamos la velocidad mínima
v^{\text{mín}}=\dfrac{\vec{v}_{21}^P\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \dfrac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}} \neq 0
Como \vec{\omega}_{21}\neq0 y v^{\text{mín}}\neq0 el movimiento instantáneo es helicoidal tangente.

2.4 Aplicación numérica

Con los valores numéricos dados y usando las expresiones obtenidas en los apartados anteriores
\begin{array}{l} |\vec{v}_{21}^P| = \sqrt{R^2\omega^2+L^2\Omega^2} = 141 \,\mathrm{m/s}=509 \,\mathrm{km/h}\\ \\ |\vec{a}_{21}^P| = \sqrt{L^2\Omega^4+4R^2\omega^2\Omega^2+R^2\omega^4} = 1.00\times10^4\,\mathrm{m/s^2} \end{array}
Damos los valores numéricos con 3 cifras significativas.

2.5 Errores habituales detectados en la corrección

  1. Hay que explicar los pasos que se dan. No se puede poner una ristra de fórmulas sin incluir al menos una línea de texto que explique lo que se está haciendo.
  2. Al calcular un punto del eje central, mucha gente ha aplicado mal la fórmula. EL punto del eje se calcula respecto al punto en el que se considera la velocidad. Es decir, si se usa \vec{v}_{21}^P, la fórmula nos da el vector \overrightarrow{PI^*}, y la posición del punto del eje respecto al origen sería \overrightarrow{OI^*}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PI^*}.
  3. También ha sido frecuente decir que el movimiento es helicoidal tangente sin justificarlo. Hay que calcular la velocidad mínima del movimiento, es decir, la proyección de la velocidad en cualquier punto sobre la dirección del vector velocidad angular. Sólo si esta velocidad mínima es no nula se puede asegurar que es un movimiento helicoidal tangente.
  4. Otra variante de este mismo error es decir que es un movimiento helicoidal tangente porque \vec{v}_{21}^P o \vec{v}_{21}^C son no nulas. Esto no vale, porque esos puntos no están el eje instantáneo de rotación.


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