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CIR de una bicicleta

1 Enunciado

Los radios de las ruedas delantera (sólido "2") y trasera (sólido "0") de un velocípedo son

R

r

, respectivamente (

R > r

); y los puntos de contacto de aquéllas con el suelo (sólido "1") están separados una distancia

d

. Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {20}, sabiendo que las dos ruedas del velocípedo ruedan sin deslizar sobre el suelo.

2 Solución

Vamos a usar el teorema de los tres centros para encontrar el punto

I 20

. Para ello buscamos el CIR de cada uno de los movimientos del sistema

2.1 Movimiento {21}

La rueda gira sin deslizar, por tanto el punto de contacto es el punto

I 21

2.2 Movimiento {01}

La rueda gira sin deslizar, por tanto el punto de contacto es el punto

I 01

2.3 Movimiento {23}

Respecto al velocípedo, la rueda gira alrededor de su centro, que resulta ser el punto

I 23

2.4 Movimiento {03}

Respecto al velocípedo, la rueda gira alrededor de su centro, que resulta ser el punto

I 03

2.5 Movimiento {20}

De la composición {20}={21}+{10}, el CIR

I 20

debe estar en la línea que une

I 21

I 01

. Y de la composición {20}={23}+{30}, el CIR

I 20

debe estar en la línea que une

I 23

I 03

. El punto de corte de estas dos líneas determina la posición de

I 20

. De la figura vemos que

$\tan\alpha=\dfrac{R-r}{d}=\dfrac{R}{L}\Rightarrow L=\dfrac{R}{\tan\alpha}=\dfrac{R\,d}{R-r}$

Si consideramos el origen del triedro "1" en

I 21

, el vector de posición de

I 20

$\overrightarrow{I_{21}I_{20}}=\dfrac{R\,d}{R-r}\,\vec{\imath}_1$

Observemos que al generalizar el concepto de CIR a una traslación colocando el CIR en el infinito, podemos incluir las traslaciones en el teorema de los tres centros. En la figura puede observarse como

I 01

I 03

I 31

están alineados, así como

I 21

I 23

I 31

Cable soportando su propio peso

1 Enunciado

El cable en la figura tiene una densidad lineal de peso $w = 10.0\,\mathrm{N/m}$ . La tensión en su punto más bajo es $T_0=50.0\,\mathrm{N}$ . Calcula la distancia

h

y la tensión máxima en el cable.

2 Solución

La curva que describe la forma de un cable que sostiene únicamente su propio peso recibe el nombre de catenaria. Si el cable sólo tiene una fecha (los dos puntos de anclaje están a la misma altura) la función que describe la curva es

$y(x) = \dfrac{1}{A}\,\left(\cosh(Ax)-1\right)$

El origen de coordenadas se toma en el punto más bajo del cable. La constante

A

es el cociente entre el peso por unidad de longitud del cable y la tensión en el punto más bajo,

T 0

. De los datos del enunciado

$A = \dfrac{w}{T_0} = 0.200\,\mathrm{m^{-1}}$

Para calcular la flecha usamos la expresión de la catenaria. Como los puntos de anclaje están a la misma altura, el punto más bajo del cable esta en el punto medio entre los dos anclajes. Es decir

$h = \dfrac{1}{A}\,\left(\cosh(A\,d/2)-1\right) = 2.72 \,\mathrm{m}$

La tensión varía con la distancia al punto más bajo del cable

$T(x) = T_0\,\cosh(A\,x)$

Es máxima en el punto más alejado del punto más bajo. En este caso, son los puntos de anclaje. La tensión máxima es

$T_{max} = T_0\,\cosh(A\,d/2) = 188\,\mathrm{N}$

Cable soportando una tubería sobre un río

1 Enunciado

Unos ingenieros utilizan un cable para suspender una tubería sobre un río. La distancia entre las torres es de 120 m y la flecha del cable es de 10.0 m. El peso total de la tubería suspendida es de 6000 kg. El peso del propio cable es despreciable.

Calcula la tensión máxima en el cable suspendido.
Calcula la longitud del cable suspendido

2 Solución

2.1 Tensión máxima

Un cable sometido a una carga distribuida uniformemente a lo largo de una horizontal adopta la forma de una parábola. En este caso los anclajes están a la misma altura, por lo que sólo hay una flecha.

La parábola viene descrita por la expresión

$y(x) = \dfrac{1}{2}\,A\,x^2$

donde se toma como origen el punto más bajo del cable. La constante

A

$A = \dfrac{w}{T_0}$

donde

w

es el peso por unidad de longitud de la carga y

T 0

es la tensión del cable en el punto más bajo.

En este caso los dos anclajes están a la misma altura, es decir, sólo hay una flecha

h

. Entonces el punto más bajo es equidistante de los anclajes. Si la cuerda es

d

, en el anclaje de la derecha tenemos

$x_R = d/2 \Longrightarrow y_R = h = \dfrac{1}{2}\,A\,\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \Longrightarrow A = \dfrac{8\,h}{d^2} = 5.55\times10^{-3}\,\mathrm{m^{-1}}$

Si el tablero tiene una masa

M

, el peso por unidad de longitud es

$w = \dfrac{M\,g}{d} = 491\,\mathrm{N/m}$

Entonces la tensión en el punto más bajo del cable es

$T_0 = \dfrac{w}{A} = 88.5\,\mathrm{kN}$

La tensión varía con la distancia horizontal al punto más bajo según la expresión

$T(x) = T_0\,\sqrt{1+A^2\,x^2}$

La tensión es máxima en el punto más alejado del punto más bajo. Cuando hay una sola flecha, la tensión es la misma en los dos anclajes y vale

$T_{max} = T_0\,\sqrt{1+A^2\,\left(\dfrac{d}{2}\right)^2} = 93.3\,\mathrm{kN}$

2.2 Longitud del cable

La longitud de un elemento de cable es

$\mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2} = \mathrm{d}x\,\sqrt{1+\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} = \mathrm{d}x\,\sqrt{1+A^2x^2}$

Integrando esta expresión se obtiene la longitud del cable. Cuando sólo hay una flecha podemos integrar desde el centro hacia uno de loa anclajes y multiplicar el resultado por dos. Tenemos en este caso

$L = 2\,\int\limits_{0}^{d/2}\mathrm{d}x\,\sqrt{1+A^2x^2} = \dfrac{d}{2}\,\sqrt{1+\dfrac{A^2d^2}{4}} + \dfrac{1}{A}\ln\left(\dfrac{Ad}{2}+ \sqrt{1+\dfrac{A^2d^2}{4}}\right)= 122\,\mathrm{m}$

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lunes, 10 de diciembre de 2018

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CIR de una bicicleta

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Movimiento {21}

2.2 Movimiento {01}

2.3 Movimiento {23}

2.4 Movimiento {03}

2.5 Movimiento {20}

Cable soportando su propio peso

1 Enunciado

2 Solución

Cable soportando una tubería sobre un río

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Tensión máxima

2.2 Longitud del cable

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