lunes, 10 de diciembre de 2018

ARTÍCULOS Y EJERCICIOS DE FÍSICA

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Circuito con cortocircuito móvil


Enunciado

Una espira plana rectangular de autoinducción despreciable está formada por dos raíles perfectamente conductores de longitud b, separados una distancia a. Los raíles están conectados por uno de sus extremos a una resistencia eléctrica de valor R (resistencia de carga) y por el otro a un generador real de fuerza electromotriz constante \mathcal{E}_0 y resistencia interna Rg, según se muestra en la figura. Además, una barra perfectamente conductora se mueve con velocidad constante \mathbf{v}, manteniéndose siempre en contacto con los raíles y perpendicular a ellos. La espira se encuentra sometida a un campo magnético constante y uniforme \mathbf{B}_0, perpendicular al plano que contiene a la espira.
  1. Obtenga las fuerzas electromotrices totales en cada malla del circuito y las intensidades de corriente eléctrica que recorren las diferentes ramas.
  2. Calcule la fuerza magnética ejercida sobre la barra móvil, así como la fuerza exterior que se le ha de aplicar para que se mueva según las condiciones del enunciado. Describa la dependencia del sentido de esta fuerza con la velocidad y el sentido de movimiento de la barra.
  3. Realice un balance energético en el sistema: calcule la potencia disipada por efecto Joule en la resistencia de carga, la potencia suministrada por el generador real al resto del sistema y el trabajo que por unidad de tiempo realiza la fuerza externa (potencia mecánica).
  4. La potencia eléctrica suministrada por el generador real y la potencia mecánica realizada por la fuerza exterior, ¿son siempre positivas? Analice cómo depende el signo de estas de la rapidez y sentido de movimiento de la barra y explique en cada caso donde se produce y donde se absorbe la energía en el sistema.










Coche impactando contra una pared

1 Enunciado

Un coche impacta contra una pared a una velocidad de 100 km/h. Estima el tiempo máximo que debe tardar el airbag en desplegarse para proteger al conductor.

2 Solución

Vamos a suponer que durante la colisión el coche sufre una desaceleración constante. Esto no es exactamente cierto, pero nos basta para hacer un cálculo que nos dará el orden de magnitud del tiempo que buscamos. Aplicamos entonces las expresiones del movimiento de una partícula uniformemente acelerada
\begin{array}{l} v(t) = v_0 - a_0t,\\ \\ s(t) = s_0 + v_0t - \dfrac{1}{2}a_0t^2. \end{array}
Si el coche tiene longitud L, consideramos en primera aproximación que su centro de masas, situado aproximadamente en el centro del coche, tiene que recorrer una distancia L / 2 antes de pararse. La colisión dura un tiempo td. Tenemos entonces
v(t_d) = 0 = v_0 - a_0t_d \Longrightarrow a_0 = v_0/t_d.
Usamos ahora la expresión que nos da la distancia recorrida (tomamos s0 = 0
\dfrac{L}{2} = v_0t_d - \dfrac{1}{2}\dfrac{v_0}{t_d}\,t_d^2 \Longrightarrow t_d = \dfrac{L}{v_0}.
La longitud típica de un coche es L\simeq 4\,\mathrm{m}. Si v_0=100\,\mathrm{km/h} tenemos
t_d = \dfrac{4}{100}\,\dfrac{\mathrm{m}\cdot\mathrm{h}}{\mathrm{km}} \,\dfrac{1\,\mathrm{km}}{10^3\,\mathrm{m}}\,\dfrac{3.6\times10^3\,\mathrm{s}}{1\,\mathrm{h}}\,\dfrac{10^3\,\mathrm{ms}}{1\,\mathrm{s}} \simeq 140\,\mathrm{ms}.
Nuestro modelo es muy basto. Una mejora evidente es que en una colisión el coche no queda completamente aplastado. Además el centro de masas no está en el centro del coche, sino mas hacia delante, debido a la posición del motor. El valor de L sería mas pequeño. Los airbags reales se despliegan en un tiempo típico de 15-30 ms.
Con nuestro modelo podemos estimar también la fuerza media que recibe un ocupante del vehículo durante la colisión. La aceleración es
a_0=\dfrac{v_0}{t_d} \simeq 190\,\mathrm{m/s^2}\simeq 20g.
Si escogemos m=80 \,\mathrm{kg} como la masa típica de una persona la fuerza que ha sufrido es
F=ma_0 \simeq 1.6\times10^4\,\mathrm{N}.
Esto es equivalente al peso de una masa de 16 Tm, aproximadamente.



Colisión de dos péndulos


1 Enunciado

Se tienen dos péndulos ideales con barras rígidas de la misma longitud L y masa nula, que cuelgan del mismo punto O. Las masas sujetas a los extremos de los hilos son respectivamente m1 y m2. La masa m1 es elevada a una altura h1 y se suelta desde el reposo, colisionando con la masa m2 que se encuentra en el punto más bajo.
Suponiendo que la colisión es elástica, determina la altura a la que sube cada masa tras la colisión. Distingue los casos m1 > m2, m1 = m2 y m1 < m2.
¿Qué condiciones deben cumplirse para conseguir que la masa m2 gire y llegue hasta arriba del todo?

2 Ecuaciones generales

La dinámica de este sistema es simple: la masa m1 desciende y golpea horizontalmente a la masa m2. Como resultado de la colisión, ambas adquieren una nueva velocidad, lo que las impulsa hacia arriba, ascendiendo hasta una cierta altura máxima. En ciertos casos, como veremos, una de ellas puede llegar a dar la vuelta completa.
En la colisión, por ser elástica, se conservan tanto la energía como el momento cinético. La conservación del momento cinético equivale en este caso, como en el del péndulo balístico, a la conservación de la cantidad de movimiento.
Al ser las velocidades inmediatamente antes y después de la colisión puramente horizontales, podemos escribir la conservación de la cantidad de movimiento en forma escalar, considerando solo la componente horizontal:
m_1 v_1 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2\,
La conservación de la energía cinética nos da
\frac{1}{2}m_1 v_1^2 = \frac{1}{2}m_1 {v'_1}^2 + \frac{1}{2}m_2 {v'_2}^2
Operando en estas ecuaciones, como en el problema de las colisiones de dos partículas obtenemos
m_1(v_1-v_1') = m_2v'_2\,        m_1(v_1^2-{v'_1}^2) = m_2 {v'_2}^2
Dividiendo la segunda por la primera llegamos al sistema lineal
m_1(v_1-v_1') = m_2v'_2\,        v_1 + v'_1 = v'_2\,
cuya solución es
v'_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1         v'_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1
¿Cómo se relacionan estas velocidades con las alturas que alcanzan los péndulos? Aplicamos la conservación de la energía mecánica a cada uno de ellos. Toda la energía cinética en el punto inferior se convierte en energía potencial en el punto más alto, por lo que
\frac{1}{2}mv^2 = mgh   \Rightarrow   h = \frac{v^2}{2g}    ,    v = \sqrt{2gh}
Con esto ya tenemos resuelto el problema. Ya solo queda analizar los diferentes casos

3 Caso m1 > m2

Cuando el proyectil tiene mayor masa que el blanco, m1 > m2, las velocidades resultantes tienen el mismo signo que la inicial
\frac{v'_1}{v_1} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}>0    ,    \frac{v'_2}{v_1}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}>0
Esto quiere decir que las dos masas ascienden hacia el mismo lado, subiendo la segunda más que la primera, ya que v'2 > v'1. La altura a la que sube cada una es
h'_1 = \frac{1}{2g}{v'_1}^2 = \left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2 \frac{v_1^2}{2g} = \left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2h_1
y del mismo modo
h'_2 = \left(\frac{2m_1}{m_1+m_2}\right)^2h_1

4 Caso m1 = m2

En el caso particular de que las dos masas sean iguales la solución anterior se simplifica, ya que en ese caso v'1 = 0 lo cual quiere decir que la masa m1 se queda “clavada” en el punto más bajo y la otra sube hasta exactamente la misma altura que la inicial
h'_1 = 0\,    ,    h'_2 = \left(\frac{2m_1}{m_1+m_1}\right)^2h_1 = h_1

5 Caso m1 < m2

En el caso de que el proyectil sea más ligero que el blanco, el proyectil retrocede tras la colisión, mientras que el blanco se mueve en el sentido original
\frac{v'_1}{v_1} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}<0    ,    \frac{v'_2}{v_1}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}>0
esto quiere decir que cada una de las partículas asciende a una cierta altura, una para cada lado. la fórmula para la altura es exactamente la misma que antes.
h'_1 = \frac{1}{2g}{v'_1}^2 = \left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2h_1    ,    h'_2 = \left(\frac{2m_1}{m_1+m_2}\right)^2h_1
En realidad, en los tres casos valen las mismas fórmulas. Con lo único que hay que tener cuidado es hacia qué lado ascienden tras la colisión.

6 Condición para llegar al extremo superior

Para que la masa m2 llegue al punto más alto, de altura 2L debe cumplirse en primer lugar que m2 < m1 si el blanco fuera más pesado que el proyectil nunca podría subir a mayor altura que la inicial (matemáticamente, porque 2m1 / (m1 + m2) < 1.
Suponiendo que m2 < m1 la condición es que
2L = h'_2 = \left(\frac{2m_1}{m_1+m_2}\right)^2h_1
lo que nos establece una altura mínima desde la cual debe lanzarse el proyectil
h_{1\mathrm{min}}= 2L\left(\frac{m_1+m_2}{2m_1}\right)^2 = \frac{L}{2}\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)^2
En el caso límite m_1\gg m_2 esta altura mínima tiende a L / 2, lo que quiere decir que el péndulo debe formar un ángulo inicial mínimo de 60° con la vertical. Por debajo de ese ángulo nunca conseguiremos que m2 llegue hasta arriba, por muy grande que sea m1. Por encima, dependerá de la relación entre las masas el que lo consigamos o no.
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