GEOMETRÍA DINÁMICA

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Bicornio

La siguiente curva es el lugar del punto X que resulta en la prueba clásica del teorema de Pythagora. 
Generalmente X se define como el punto de intersección de BL con el polar de L con respecto al círculo 
con diámetro AC, la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC. La siguiente figura indica las 
rutas descritas por varios puntos móviles relacionados con el triángulo, ya que el vértice B varía en el círculo 
con diámetro AC. El parámetro a que ingresa a la fórmula es a = AC / 2 y el origen está en la 
O central de AC (Ver Pythagoras.html , Polar.html ).

Bicornio                                  y ² (a ² -x ² ) = (x ² + 2ay-a ² ) ² , 
ecuaciones paramétricas: 
                                                  x = asin (t), 
                                                  y = (acos ² (t) / (2-cos (t)). 

Trayectorias de bolas de billar

Dado un polígono, el problema de encontrar trayectorias generales cerradas de la bola de billar parece ser difícil (no resuelto a mi entender). Sin embargo, se puede intentar encontrar trayectorias de bolas de billar cerradas en polígonos regulares y de la siguiente clase: 
el primer segmento AB, que comienza en un punto interno A y termina en el primer punto de reflexión B, debe ser paralelo a un lado del polígono.

Los elementos móviles que se muestran en la figura de arriba son: 
El polígono y el punto A (cambiar a la herramienta de selección (Ctrl + 1) para capturar y modificar) 
Movable-On-Contour es: 
El punto B (cambiar a la herramienta de selección de contorno ( Ctrl + 2) para capturar y modificar) 

La receta para la construcción de la trayectoria: 
1) Comience desde dos puntos A dentro del polígono, y B en su contorno. 
2) Dibuje la tangente t (B) en B y el A 'reflejado de A en t. 
3) Dibuje la línea s = [A ', B] y encuentre su segunda intersección C con el polígono. 
4) Tome A = B y B = C y repita los pasos 2 + 3 para encontrar el siguiente punto D ... 
5) Tome A = C y B = D y repita los pasos 2 + 3 para encontrar el siguiente punto E ... 
....... 
repite N veces 
....... 

En la construcción anterior se ocultan las tangentes al polígono y los puntos reflejados. 
El precedente se presta para la programación. 

Senderos de billar cerrados dentro de un triángulo

Dado un triángulo ABC y una línea L que no pasa a través de un vértice, se puede definir una cadena de reflexiones y producir a través de ellas una trayectoria de bola de billar dentro del triángulo, de la siguiente manera: 
[1] Tome un lado a ₀ intersecado por L y defina la reflexión F ₀ en ese lado. 
[2] Denote por t ₀ = ABC y por t ₁ = F ₀ (ABC) la imagen de t ₀ bajo la reflexión F ₀ . 
[3] Tome un lado a ₁ de t ₁ intersectado por L y defina la reflexión F ₁ en ese lado. 
[4] Repite los pasos [2], [3] tantas veces como sea necesario para crear una secuencia de triángulos {t ₀ , t₁ , t ₂ , ...}, una secuencia de lados {a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...} en estos triángulos y una secuencia de reflexiones {F ₀ , F ₁ , F ₂ , ...} en estos lados respectivamente.

La imagen de arriba muestra tal caso de reflexiones repetidas en las que la línea L comienza en un punto A de t ₀ y termina en un punto B de t _{1 0 que} tiene la misma posición relativa en t _1 0 que A tiene en t ₀ . La trayectoria de la bola de billar resultante está formada por los segmentos s ₀ , F ₀ (s ₁ ), F ₀ * F ₁ (s ₂ ), ... etc., donde s _i es el segmento interceptado por el triángulo t _i en la línea L y (*) denota la composición de los mapas.
En el caso particular anterior, la trayectoria de la bola de billar resultante está cerrada (el segmento d controla la distancia de A desde la esquina más cercana de t ₀ ). Sin embargo, la trayectoria no es periódica , lo que significa que el rayo que regresa a A no es igual al lado que contiene A como el rayo que sale de A