GEOMETRÍA DINÁMICA

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Triangulo circunceviano

Dado un triángulo ABC y un punto P, el triángulo circunviano de P con respecto a ABC es el triángulo DEF formado por las intersecciones D, E, F de los cevianos AP, BP, CP de P con el circuncírculo. 
La propiedad principal de la circunvencia es que es similar al triángulo del pedal correspondiente de P con respecto a ABC. Debajo del pedal de P está GHI. La igualdad de ángulos indica la prueba de la propiedad. 

La cuestión de encontrar todos los triángulos circunvianos A'B'C 'con ABC (en otras palabras, perspectiva a ABC e inscrita en el circuncírculo de ABC) y similar a un triángulo fijo A ₀ B ₀ C ₀ puede reducirse a la cuestión de encontrar Todos los pivotes de A'B'C 'dentro de ABC. En general hay 12 soluciones. Esto se maneja en el archivo SixPivots.html .

 La cónica dual al circuncírculo.

Este es un caso particular de la dualidad estudiada en TriangleProjectivitiesPlay.html . La cónica que se está considerando es la doble inscrita en el triángulo ABC, cuando la cónica circunscrita coincide con el circuncírculo. Varios hechos están relacionados con esta cónica, que no es otra que la elipse de Brocard del triángulo. Algunos de estos hechos se enumeran a continuación. 

[1] Se puede obtener cónica como la imagen del incirculo del equilátero A ₀ B ₀ C _{0 a} través de la proyectividad H mapeando los vértices A ₀ , B ₀ , C ₀ a A, B, C correspondientemente y el centro M ₀ del equilátero al punto de Symmedian o Lemoine K del triángulo ABC. Estos requisitos determinan completamente H, que luego mapea el incircle del equilátero a una elipse inscrita en el triángulo conocida como elipse de Brocard del triángulo. El punto llamado x en la referencia citada es aquí el punto simmediano K y el polar trilineal correspondiente se indica aquí con L y coincide con el eje de Lemoinedel triángulo. 
[2] La cónica es siempre una elipse. Sus puntos focales Z ₁ , Z ₂ son los puntos de Brocard del triángulo. Su línea es paralela a L y su centro está en el eje Brocard f que une K con el circuncentro O de ABC. 
[3] La línea f es ortogonal a L. 
[4] La línea L lleva, entre otros, otro triángulo-centro notable , a saber, X (237), el punto donde la línea de Euler de ABC se encuentra con el eje de Lemoine. Los polares trilineales de puntos de L son tangentes a la elipse. 
[5] La línea f lleva varios centros de triángulos. Por ejemplo: los dos puntos isodinámicos X (15), X (16), el tercer punto de energía X (32), el punto medio de BrocardX (39), X (52), X (58), X (61), X (62), X (182), X (284), X (371), X (372), X (389). 
[6] Considere otro equilátero A ₁ B ₁ C ₁ resultante de rotar A ₀ B ₀ C ₀ sobre su centro. Luego aplica H para obtener el triángulo A'B'C '. Este triángulo comparte con ABC varias características geométricas, tales como: 
[6.1] Misma circunferencia y elipse de Brocard, mismo punto simmedio, circuncentador O, líneas f y L. 
[6.2] Los centros del triángulo de A'B'C 'que se encuentran en f siguen siendo igual o mover en la línea f. 
[6.3] Los centros triangulares de A'B'C 'que se encuentran en L permanecen fijos o se mueven en la línea L.
[7] Los incentivos de A'B'C 'describen otra c' cónica, que no pertenece a la familia generada por el incircle y su cónica conjugada, compartiendo aunque con un eje c.

Circunciclo en trilinears

Comience con un segmento AB e inviértalo a A'B 'wr al círculo c. Entonces | AB | / | A'B '| = d / d ', donde d y d' son las distancias del centro O de c de los segmentos. 
De hecho, los triángulos OBA y OB'A 'son similares, etc.

Considere ahora un triángulo ABC, su circunferencia f y la inversión en un círculo c 'con radio arbitrario y el centro O en F. f se transforma en una línea e y los puntos A, B, C respectivamente a los puntos A', B ', C' en esa linea Comience con la ecuación vectorial A'B '+ B'C' + C'A '= 0. Divida con la distancia d de O de e para obtener A'B' / d + B'C '/ d + C'D 'd = 0. Pero utilizando el ejercicio anterior | A'B' | / d = | AB | / z, | B'C '| / d = | BC | / x, | C'A' | / d = | CA | / y. Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos: 
a / x + b / y + c / z = 0. 
Donde a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |. Esta es la ecuación del circuncírculo f de ABC en coordenadas trilineales hacia ese triángulo. Ya que las coordenadas baricéntricas (x ', y', z ') son iguales a (x * a, y * b, z * c),
² / y '+ c ² / z' = 0. <==> a ² * y '* z' + b ² * z '* x' + c ² * x '* y' = 0.