GEOMETRÍA DINÁMICA

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Transformando líneas en hiperbolas.

Dados dos puntos {A (0, r), B (0, -r)}, tomados en el eje y simétricamente al origen y una dirección e (cos (u), sin (u)) definen una transformación de la siguiente manera : 
- Para cada punto X que no se encuentra en el eje x, considere el miembro del círculo c _X (x, y) del haz de círculos de todos los círculos ortogonales al círculo (x ² + y ² ) -r ² = 0 y la línea x = 0 (es decir, el paquete de tipo no intersecante con puntos límite {A (0, r), B (0, -r)}). 
- Luego construya Y para que sea el otro punto de intersección de c _X con la línea {X + te} a través de X y paralela a e. 
La transformación Y = F (X) está bien definida para todos los puntos del plano excepto el eje x. Es involutivo (F ²= 1) y también tiene las propiedades: 

[1] F asigna líneas no horizontales del plano a hipérbolas. 
[2] Deje que la línea (v) se describa mediante una ecuación vectorial X = a + tb, con (a = (a ₁ , 0)) en el eje x y (b) un vector unitario. Luego, la hipérbola h = F (v) tiene asíntotas que pasan por {C (a ₁ , 0), D (-a ₁ , 0)}, una de ellas paralela a la dirección de (e). 
[3] La otra asíntota de la hipérbola (h) pasa a través de D (-a ₁ , 0) y está inclinada a la anterior en un ángulo igual al ángulo de la línea (v) con respecto al eje x. Si E es el centro de la hipérbola, el circuncírculo del triángulo CDE es tangente a (v).
[4] Para cada dirección fija (e), cada círculo de la línea de intersección del haz (v) en los puntos {X, X '} tiene imágenes correspondientes {Y = F (X), Y' = F (X ')} de modo que Los acordes YY 'de la hipérbola son paralelos. La dirección de YY 'y la línea horizontal CD son igual inclinadas a un eje de la hipérbola. 
[5] Las hipérbolas resultantes de la fijación (v) y la variación de la dirección (e) son tangentes a dos círculos fijos {c ₀ , c ₁ } del paquete en los puntos {Y ₀ , Y ₁ }. La dirección Y ₀ Y ₁ está conjugada con la dirección de YY '. 
[6] Círculos {c ₀ , c ₁} y el circuncírculo de CDE son todos tangentes a la línea (v) y, por dos, definen el mismo centro de homotety en (v). La línea Y ₀ Y ₁ pasa por este centro de homotecnia.

Los cálculos del archivo CircleBundleTransformation.html , que trata el caso de los paquetes de círculos de tipo de intersección, se aplican casi textualmente a este caso de tipo de no intersección. La única diferencia es la representación de la transformación Y = F (X), que ahora se convierte en:

Esto se debe a que el haz circular se puede describir mediante la ecuación x ² + y ² + r ² + ky = 0, para la variable k. Esto implica la fórmula anterior y también las fórmulas (y resultados formales) de la referencia mencionada anteriormente. En esas fórmulas tenemos que reemplazar solo r ² con -r ² . 
La discusión puede continuar como en CircleBundleTransformationHyperbola.html con el mismo cambio en las fórmulas y los mismos resultados formales sobre las asíntotas.

Transformando líneas a parábolas.

Dados dos puntos {A (r, 0), B (-r, 0)}, tomados en el eje x simétricamente al origen y una dirección e (cos (u), sin (u)) definen una transformación de la siguiente manera : 
- Para cada punto X que no se encuentra en el eje x, considere el miembro del círculo c _X (x, y) del paquete (de todos los círculos a través de los dos puntos) generado por el círculo (x ² + y ² ) -r ² = 0 y la recta y = 0. 
- Luego construya Y para que sea el otro punto de intersección de c _X con la línea {X + te} a través de X y paralela a e. 
La transformación Y = F (X) está bien definida para todos los puntos del plano excepto el eje x. Es involutivo (F ² = 1) y mapas horizontales.Líneas del plano a las parábolas. Esto se demostró en CircleBundleTransformation.html . 
Aquí hay algunas propiedades geométricas de las parábolas así definidas. 

[1] Deje que la línea (v) se describa mediante una ecuación vectorial X = a + tb, con (a = (0, a ₂ )) en el eje y y (b) el vector unitario (1,0). Luego la parábola h = F (v) pasa por {A, B} y tiene su eje paralelo a la dirección (e). 
[2] Los acordes YY 'interceptados por los círculos del haz en la parábola son paralelos y su dirección conjugada (que contiene sus medios) es la línea CD (paralela a e).
[3] El círculo (c) del paquete que pasa por los puntos {A, B, C} que es tangente a la línea v también es tangente a la parábola y su tangente común (g) es la reflexión de (v) con respecto a la línea (h) que pasa por el centro de este círculo y paralela a la dirección ortogonal Je de e (J denota la rotación positiva en un ángulo recto).

La primera propiedad, sobre el eje, fue probada en la referencia mencionada. La segunda es una consecuencia de la paralelismo de los acordes YY 'interceptados por los círculos del paquete (ver [5] de PowerGeneral.html ) se ve fácilmente al considerar los puntos de intersección {X, X'} de la línea (v) con una Círculo del paquete. Las imágenes correspondientes {Y = F (X), Y '= F (X')} definen un trapecio inscrito en el círculo. El círculo (c) es el círculo más pequeño entre todos los círculos del haz que pasa por {A, B, X} para X que se mueve en v. El punto de contacto D es la simétrica de C con respecto al diámetro de c que es ortogonal a e . Los medios de las líneas YY 'se mueven en el CD de la línea, ya que X varía en (v). La línea CD es el diámetro conjugado de la dirección común a todos YY '(igual a la dirección de la línea (g)).
Por lo tanto, D se puede encontrar geométricamente y la hipérbola se puede construir como el paso cónico a través de los cinco puntos {A, B, D, A ', B'}, donde AA ', BB' son paralelos a (g) y tienen su centro. en CD 
Tenga en cuenta que dado que el círculo (c) no depende de la dirección (e), las parábolas resultantes al variar esta dirección son todas tangentes a (c) en un punto D fácilmente construido desde (e). 
Consulte el archivo CircleBundleTransformationParabola2.html para ver la figura de la parábola en el caso de que coincida {A, B}.

 Transformando líneas a parábolas II.

Para cada punto X que no se encuentra en el eje x, considere el miembro del círculo c _X (x, y) del haz tangencial de todos los círculos tangentes a la línea y = 0 en el origen O. 
Luego, construya Y como el otro punto de intersección de c _X con la línea {X + te} a través de X y paralela a e. 
La transformación Y = F (X) está bien definida para todos los puntos del plano excepto el eje x. Es involutivo (F ² = 1) y asigna líneas horizontales del plano a las parábolas. Esto fue discutido en CircleBundleTransformationParabola.html para el caso más general del paquete de tipo de intersección con dos puntos base en el eje x y simétrico con respecto a O. El presente caso es un caso límite en el que los dos puntos base coinciden. Aquí hay algunas propiedades geométricas de las parábolas así definidas. 

[1] Deje que la línea (v) se describa mediante una ecuación vectorial X = a + tb, con (a = (0, a ₂ )) en el eje y y (b) el vector unitario (1,0). Entonces la parábola h = F (v) es tangente al eje x y tiene su eje paralelo a la dirección (e).
[2] El círculo (c) del haz que es tangente a la línea v también es tangente a la parábola y su tangente común (g) es la reflexión de (v) con respecto a la línea (h) que pasa por el centro de este círculo y paralelo a la dirección ortogonal Je de e (J denota la rotación positiva en un ángulo recto). 
[3] Las cuerdas YY 'interceptadas por los círculos del haz en la parábola son paralelas y tienen un diámetro conjugado de la línea Aa (paralela a (e)). 
[4] El foco de la parábola se determina fácilmente por el circuncírculo del triángulo isósceles BCD, siendo C la mitad de OD y BC paralela a OA (o a Je). 
Las pruebas son muy similares a las contenidas en la referencia mencionada anteriormente.
Existe un caso análogo para las parábolas generadas a través de paquetes de círculos de tipo no intersecante estudiados en CircleBundleTransformationParabola3.html .

Transformando líneas a parábolas-III.

Dados dos puntos {A (0, r), B (0, -r)}, tomados en el eje y simétricamente al origen y una dirección e (cos (u), sin (u)) definen una transformación de la siguiente manera : 
- Para cada punto X que no se encuentra en el eje x, considere el miembro del círculo c _X (x, y) del haz de círculos de todos los círculos ortogonales al círculo (x ² + y ² ) -r ² = 0 y la línea x = 0 (es decir, el paquete de tipo no intersecante con puntos límite {A (0, r), B (0, -r)}). 
- Luego construya Y para que sea el otro punto de intersección de c _X con la línea {X + te} a través de X y paralela a e. 
La transformación Y = F (X) está bien definida para todos los puntos del plano excepto el eje x. Es involutivo (F ²= 1) y tiene también las propiedades: 

[1] F asigna líneas horizontales del plano a las parábolas. 
[2] Deje que la línea (v) se describa mediante una ecuación vectorial X = a + tb, con (a = (0, a ₂ )) en el eje y y (b) el vector unitario (1,0). Entonces la parábola h = F (v) tiene un eje paralelo a (e). 
[3] Sea (c) el círculo de la tangente del haz en C a la línea v. Entonces c es tangente a la hipérbola en su punto K, que es el reflejo de C con respecto al diámetro de c ortogonal paralelo a (e) .
[4] Para cada dirección fija (e), cada círculo de la línea de intersección del haz (v) en los puntos {X, X '} tiene imágenes correspondientes {Y = F (X), Y' = F (X ')} de modo que Los acordes YY 'de la parábola son paralelos. La dirección de YY 'y el eje x horizontal son iguales inclinados al eje de la parábola. 
[5] La línea KC es la línea de los medios y la dirección conjugada de la de los acordes paralelos YY '. 
[6] El enfoque de la parábola se puede determinar geométricamente a partir de un triángulo tangencial cuyo lado es la tangente en K.

Todas las afirmaciones siguen un razonamiento análogo al que se encuentra en CircleBundleTransformationHyperbola2.html . Analicemos aquí solo con cierto detalle [6]. 
Del trapecio XYX'Y 'sigue que el acorde YY' es igual a la dirección de la directriz con el eje x. Por lo tanto, la tangente horizontal a la hipérbola y la tangente a K se intersecan en M en el eje de la hipérbola y el triángulo MKL es isósceles, L está en la línea KD ortogonal al eje de la hipérbola. Sea c 'el miembro del haz circular que pasa por L, luego dibujando el paralelo a e desde L encuentra R en (v). El cuadrángulo LDCR es cíclico, lo que implica que el punto de intersección O 'de LR y DC satisface a O'D * O'C = O'L * O'R. Así, O 'está en el eje radical de los círculos {c, c'
Por lo tanto, tener K, L se construye fácilmente y desde este triángulo MNP también es fácil de construir y encontrar su circunferencia. El foco de la parábola está en el circuncírculo de MNP y la línea media de KL. El vértice se encuentra en la mitad del paralelo al lado KL de MKL desde la mitad de MK. 
Vea también CircleBundleTransformationParabola.html y CircleBundleTransformationParabola2.html para los otros casos de paquetes de círculos (tipo de intersectina y tangencial respectivamente).