domingo, 9 de diciembre de 2018

GEOMETRÍA DINÁMICA

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Chasles-Steiner cónica de generación.

La generación de cónicas de Chasles-Steiner crea la curva a partir de dos puntos {A, B} y una relación homográfica entre los lápices de líneas de estos dos puntos. Una forma sencilla de darse cuenta de esto es interceptar una línea fija L con cada línea A x desde el lápiz A en un punto de L con coordenada x y corresponde a x el punto de L con coordenada y = (ax + b) / (cx + d) y luego la línea B y unen este punto a B. El punto de intersección P de estas dos líneas describe una cónica (vea Chasles_Steiner.html ).

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[un logo] 2. Lo inverso.

Lo inverso también es cierto: tome dos puntos {A, B} en la cónica c y deje que un tercer punto P varíe en esta cónica. Luego considere los puntos de intersección {x, y} de las líneas {AP, BP} con una línea L arbitraria pero fija. Luego {x, y} están relacionados por una relación homográfica y = (ax + b) / (cx + d) . Aquí identifico los puntos de la línea L con sus coordenadas, con respecto a un sistema de coordenadas arbitrario de la línea. 
La prueba es un ejercicio fácil que se reduce a la discusión en Chasles_Steiner.html . 

La siguiente figura muestra cuán importante es la condición para que los puntos {A, B} estén en la cónicaEn esta figura, los puntos {A, B} no se encuentran en la cónica, y repetimos la misma construcción: Para variar P en la cónica, considere la coordenada x de la intersección de AP con la línea L y la intersección correspondiente y de BP con L. 
Luego, trazamos los puntos (x, y) para todas las posiciones posibles de P. La gráfica muestra que la curva no puede ser la gráfica de una función en general.

[0_0][0_1][0_2][0_3]

Problema
Encuentre la ecuación f (x, y) = 0 satisfecha por estos puntos (x, y) en función de los cuatro datos dados {c, L, A, B}. 













Chasles-Steiner inversa para cónicas degeneradas.

La siguiente figura muestra la gráfica de la relación f (x, y) = 0 que resulta del siguiente procedimiento: 
(i) Tome dos puntos arbitrarios {A, B} y una línea L. 
(ii) Considere una línea N arbitraria pero fija y un punto P que varía en esta línea. 
(iii) Dibuje las líneas {PA, PB} y sus intersecciones {A x , B y } con la línea L. 

Las coordenadas {x, y} de los puntos {A x , B y } a lo largo de la línea L satisfacen una relación homográfica y = ( ax + b) / (cx + d), por lo tanto, la gráfica es en general una hipérbola rectangular (rojo).

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Esto se deduce de la construcción inversa a la generación de cónicas de Chasles-Steiner (ver Chasles_Steiner.html ). De hecho, es suficiente considerar la cónica degenerada que consiste en el par de líneas (M, N), donde M es la línea que contiene {A, B} y aplicar este procedimiento inverso.














Sobre Chasles-Steiner

Considere una relación homográfica entre dos líneas [a] y [b]. Esto se puede realizar mediante una función z = (a * x + b) / (c * x + d) entre los puntos de las dos líneas. Aquí identificamos el punto X con el número real (indicado por x), de modo que la siguiente ecuación entre longitudes de segmento orientadas en la línea [a] es válida: [A 1 , X] = x [A 1 , A 2 ]. Análogamente en la línea [b]: [B 1 , Z] = z [B 1 , B 2 ]. La relación homográfica entre las dos líneas equivale a una relación entre las coordenadas de los puntos z y x: z = (a * x + b) / (c * x + d). El método de definición (doble) de Chasles-Steiner describe una forma cónica como el lugar geométrico de las envolventes de líneas [XZ]. Para la construcción geométrica de la homografía mira el archivo.Line_Homography.html .

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[1_0][1_1][1_2][1_3]

En la figura anterior, los elementos móviles libres (Ctrl + 1) son los puntos {A 1 , A 2 , B 1 , B 2 } que definen las líneas [a], [b]. X es un punto variable (Ctrl + 2) en la línea [a]. Z es un punto en la línea [b] cuya coordenada z depende de la coordenada x de X: z = (a * x + b) / (c * x + d). Esto define la línea [XZ] que, para variar X (y su coordenada x) envuelve una cónica. La construcción dual de cónicas a través de homografías entre lápices de líneas se ilustra en el documento Chasles_Steiner.html .














Ejemplo de Chasles-Steiner

Este es un ejemplo de una generación Chasles-Steiner de una cónica (consulte Chasles_Steiner.html ). 
Considere tres puntos fijos {A, B, C} y una línea fija AD a través de A. En la línea AD, elija los puntos {B ', C'} de modo que B'A / B'C '= k sea una constante fija. Los puntos de intersección P de las líneas variables {BB ', CC'} generan una hipérbola.



[0_0][0_1][0_2]

Que esto es una consecuencia cónica inmediatamente al tomar el origen de las coordenadas en AD para estar en A y establecer AB '= x, AC' = y, esto significa que -x / (yx) = k => y = ((k- 1) / k) x , que es una relación homográfica muy simple como lo requiere el método de Chasles-Steiner. 
Para ver que esto es una hipérbola basta con notar que intersecta la línea en el infinito en dos puntos distintos. El primero está determinado por la dirección de la línea AD, ya que B 'ir al infinito implica que C' hace lo mismo y las líneas {BB ', CC'} se vuelven paralelas a AD. 
El otro punto en el infinito que yace en la cónica se encuentra de la siguiente manera. En primer lugar, tenga en cuenta que dado que B'A / B'C 'es constante, el paralelo a BB' desde C 'se interseca con AB en un punto fijo A 0 .C intersecta AD en un punto C 1 y el paralelo a A 0 C desde B define en AD un punto B 1 y obviamente B 1 A / B 1 C 1 = k. Por lo tanto, el otro punto en el infinito en la cónica es el punto determinado por los paralelos {A 0 C 1 , BB 1 }.

[un logo] 2. Un caso especial.

Un caso especial ocurre cuando BC es paralelo a la línea AD. Luego, la línea AP se interseca con BC en un punto E tal que BE / BC = k, por lo tanto, E es fijo y P se mueve en la línea AE (vea la figura a continuación).

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[un logo] 3. Lo inverso: una propiedad hipérbola.

Sean {A, B, C} tres puntos en una hipérbola y consideremos el paralelo a una asíntota a través de la línea A AD. Luego, para cualquier punto P en las líneas de la hipérbola {PB, PC} intersecte la línea AD en los puntos {B ', C'} de tal manera que B'A / B'C 'sea constante. 

La prueba de la propiedad se puede basar en la sección-1. Después de eso, olvidando por el momento la hipérbola c dada, determinamos otra hipérbola c 'que describe el locus de un punto P como en la sección 1. Para ello, tome un punto arbitrario P 0 en c y determine la relación k = B'A / B'C. Construya luego c 'con los datos {A, B, C, D, k} como se indica arriba. Los dos hipérbolas {c, c '} coinciden entonces en los cuatro puntos {A, B, C, P 0 } y el punto en el infinito determinado por la línea AD. Por eso son idénticos.

[un logo] 4. Algunos cálculos en baricéntricos.

Deje como determinar la ecuación de la hipérbola en coordenadas baricéntricas en términos de los puntos dados {A, B, C}, la línea AD y la relación k (consulte BarycentricCoordinates.html ). 

En estas coordenadas, el punto D (fijo) en BC tiene la expresión D = B + pC. Los puntos variables B '= D + mA = mA + B + pC, C' = D + nA = nA + B + pC se relacionan al tener una relación constante B'A / B'C '= k. 
Según la teoría general, el lugar geométrico de los puntos P es un paso cónico a través de {A, B, C}, por lo que tiene la forma: 
Myz + Nzx + Pxy = 0 (*) . 
Además, la curva pasa por dos puntos en el infinito determinados por las condiciones dadas. El primero es el punto en el infinito determinado por la línea AD. Este punto se obtiene cuando B 'tiende a este punto en el infinito a lo largo de AD.
El segundo punto es el punto en el infinito de la línea A 0 C, donde A 0 es el punto en AB, tal que BA / BA 0 = k (figura y sección-1). 

[1] Línea AD: tiene coeficientes dados por el producto vectorial (1,0,0) x (0,1, p) = (0, -p, 1), con el punto en el infinito (0, -p, 1) x (1,1,1) = 
(-1-p, 1, p) . 
[2] El segundo punto en el infinito necesita el punto A 0, que debe ser A 0 = A + (k-1) B. 
Entonces la línea CA 0 tiene coeficientes (0,0,1) x (1, (k-1), 0) = (1-k, 1,0) y apunta al infinito (k, 1,0) x (1, 1,1) = (1, k-1, -k) . 
Introduciendo estos en (*) obtenemos las ecuaciones para {M, N, P}: 
(-p) M + p (1 + p) N + (1 + p) P = 0,
k (k-1) M + kN + (1-k) P = 0. 
Obviamente (M, N, P) es un múltiplo del producto vectorial (-p, p (1 + p), (1 + p) ) x (k (k-1), k, 1-k), que conduce fácilmente a la ecuación cónica: 
(1 + p) yz + (1-k) zx + (pk) xy = 0 . 

Las constantes de observación 1 {k, p} se pueden determinar fácilmente a partir de {M, N, P} y conducen a ecuaciones cuadráticas correspondientes a las dos opciones posibles de una u otra asíntota. 
Observación-2 Inversamente {k, p} determina los coeficientes {M, N, P} de la cónica y se ve fácilmente que satisfacen la ecuación P + (M-1) (N-1) = 0. 

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