GEOMETRÍA DINÁMICA

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Cúbicos circulares

Estos son cúbicos creados por puntos de intersección de dos familias de círculos (líneas de círculos o haces de círculos). Los cúbicos circulares anteriores se crean como loci geométricos de dichos puntos de intersección. Hay dos paquetes: 
(I) Círculos ortogonales a los dos círculos (EF) y (CD), cuyo eje radical es la línea (KL). 
(II) Círculos ortogonales a los dos círculos (AB) y (GH), cuyo eje radical es la línea (NO). 
También está la línea auxiliar (IJ) y un punto M que se mueve sobre ella. 
Los puntos del lugar (en dependencia de M) se construyen de la siguiente manera: 
M se proyecta en los dos ejes radicales, en los puntos Q y P respectivamente. Luego, con centros en estos puntos, se construyen dos círculos, pertenecientes, cada uno, a la familia respectiva: 
Círculo (QR) con centro en Q, ortogonal a (EF) y (CD), por lo tanto, pertenece a la familia (I), 
Círculo (PS) con centro en P, ortogonal a (GH) y (AB), por lo tanto, pertenece a la familia (II). 
Los dos círculos (QR) y (PS) se intersecan en los puntos T y U. T y U describen el locus, a medida que el punto M se mueve en la línea auxiliar (IJ). 
El locus depende de 5 objetos (maestros). Primero los cuatro círculos que definen las familias (I) y (II). Luego la línea auxiliar (IJ) realiza una relación lineal entre los miembros (círculos) de las dos familias. De este modo, modificando estos 5 objetos, obtenemos una variedad de formas (cúbicos circulares). Algunos de ellos necesitan aumentar los puntos de interpolación para poder dibujarse correctamente (sin grandes huecos). Esto se puede hacer haciendo clic derecho en el componente correspondiente, seleccionando [Datos] y luego [InterPts]. Luego, presione continuamente la flecha derecha en la parte superior del [Diálogo de datos] para aumentar el número de puntos de interpolación. 

Jugando con el circuncentro

Dado el triángulo t = ABC, su circuncentro es el punto de intersección O de las líneas mediales OJ, OD, OF de sus lados BC, CA y AB respectivamente. Hay algunas relaciones interesantes entre las líneas mediales y los simmedianos, que conducen a un par de métodos de construcción de un simmedio de t. Esto se explica en las observaciones a continuación.

Dado el triángulo t = ABC, considere los puntos de intersección G, H de las líneas mediales FO, DO con lados AC, AB respectivamente. 
1) q = BCGH es un cuadrilátero cíclico (ángulo (HCG) = ángulo (HBG) = ángulo (A)). 
2) El circuncírculo c de q pasa a través del circuncentro O del triángulo t. 
3) El circuncírculo d de AFD yc se intersecan en O y E, de manera que A, E, I están en una línea. I es la intersección de la parte medial de BC y c, diametral a O (ortogonalidad de OE a la línea AE). 
4) ángulo (A) = ángulo (BGI) = ángulo (BHI) = ángulo (BEI) = ángulo (IEC) = ángulo (IGC) yp = AHIG es un paralelogramo. 
5) HG es bisecado por AI en M, por lo tanto, AI es el simmedio wr a A (ver Antiparallels.html ).
6) ángulo (FAE) = ángulo (FOE) = ángulo (GCE) y debido a que, debido a la simetría AI, ángulo (JAC) = ángulo (FAE), el triángulo ANC es isósceles y N está en la parte media de AC. 
7) De manera similar, APB es isósceles y P está en la línea media de AB. Por lo tanto, E es también el punto de intersección de los lados BP y CN del isosceli ABP, ACN, definido a través de la mediana AJ. 
8) el ángulo (IBC) = ángulo (ICB) = el ángulo (A) conduce a una construcción fácil de la inteligencia artificial del simmedio. 
9) ángulo (BAE) = ángulo (ECA), ángulo (ABE) = ángulo (EAC) muestra que ABE y CAE son triángulos similares. 

Locus de circuncentrantes

Dada la elipse (e) con los ejes a, b (a> b) y la ecuación x² / a² + y² / b² = 1 y el número real k> 1. Construya la elipse (f) homotética a (e) con respecto al origen y con la proporción de homotecnia k. Desde un punto A (f) dibuje las tangentes a (e) y defina los triángulos ABC, ADE cuyos lados opuestos a A son los acordes BC, DE de (e) y (f) respectivamente. Encuentra el lugar geométrico de los circuncéntricos P, resp. Q, de triángulos ABC y ADE. 

La imagen muestra los dos loci. De particular interés es el segundo locus (rojo) de circuncentrantes de ADE. Cuando el factor k = 2, el locus se convierte en una elipse. Esto se usa en la discusión acerca de los triángulos máximos inscritos en una elipse ( MaximalTrianglesProperties.html ). Los siguientes hechos son fáciles de probar: 
1) B resp. C son los medios de AE ​​resp. ANUNCIO. 
2) Las áreas de ABC, ADE son constantes e independientes de la ubicación del punto A en (f). 
3) La línea OA es la línea media de los dos triángulos. 
4) Para k = 2, ED se vuelve tangente a (e) y AED es de área máxima inscrita en la elipse (f). 
5) Escribe las coordenadas de los puntos usando sus ángulos excéntricos: X = (a * cos (u0), b * sin (u0)), A = k * X, B = (a * cos (u1), b * sin ( u1)), C = (a * cos (u2), b * sen (u2)). Entonces u1 = u0 + uk, u2 = u0-uk, donde cos (uk) = 1 / k.

El circuncentro de ABC se puede calcular utilizando la fórmula bien conocida que da la ecuación del círculo en términos de las coordenadas de los vértices A, B, C.

Las coordenadas (x0, y0) del centro están relacionadas con los coeficientes de xey, y están dadas por:

Estas ecuaciones proporcionan la descripción paramétrica del locus en términos del ángulo excéntrico u0 del punto A. En relación con la propiedad (5), consulte también el archivo PolarProperty.html .