GEOMETRÍA DINÁMICA

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Polar Común

Dada la elipse con los ejes a = HE, b = HI (a> b) y la ecuación x² / a² + y² / b² = 1. Los A * en el eje x (línea del eje mayor de la elipse) tienen el mismo polar con respecto a la elipse y con respecto al círculo auxiliar de la elipse (consulte Auxiliary.html para este círculo).

De hecho, considere un punto A en la elipse y el punto F correspondiente en el círculo auxiliar, que tiene la misma ordenada x con A. Las tangentes de la elipse en A y el círculo auxiliar en F respectivamente se intersecan en el mismo punto A * de El eje mayor. Esto se discute en Ellipse.html . Esto implica fácilmente que los polares de los puntos A * en el eje x son los mismos con respecto a la elipse y su círculo auxiliar. Esto tiene una consecuencia interesante. Considere dos puntos X, Y de la elipse que definen un acorde, que pasa por el punto A * del eje x. Considere también los puntos correspondientes X *, Y * del círculo auxiliar, que tienen las mismas abscisas que estos puntos. Luego, el acorde del círculo a través de X *, Y * pasa también a través de A *.
Para la relación de los polares para los puntos A * distintos de los puntos del eje x, consulte el archivo CommonPolar2.html .

 Relación polar

Dada la elipse (e) con los ejes a, b, considere también su círculo auxiliar (c). Las líneas polares f, g de un punto A wr a (e) y (c) se intersecan en un punto A * en el gran eje de (e). 

De hecho, considere el punto de intersección A * de la polar f de A wr a la elipse (e). Por la discusión en CommonPolar.html La polar h de A * es la misma wr a (e) así como wr a (c) y pasa a través de A. Por la dualidad de polo-polar, la polar g de A wr a (c ) pasará también por A *. Observe en la figura anterior las diversas coincidencias de las líneas CF, DE, etc. con los puntos de la polar h de A *. Son consecuencias de la propiedad anterior.

 Relación cruzada compleja

La relación cruzada compleja de cuatro puntos en el plano (complejo) se define como: 
(ABCD) = ((AC) / (BC)) / ((AD) / (BD)) , 
donde los puntos se identifican con números complejos. 

[1] (ABCD) es real si y solo si los puntos son los cuatro en un círculo o línea. 
[2] Suponiendo que los puntos están en un círculo, proyectalos en una línea (e), desde un punto X del círculo. Sean A ', B', C ', D' las proyecciones correspondientes. Entonces (ABCD) = (A'B'C'D ').

Donde (ACB), (ADB) denota las medidas de ángulo orientado. Este cociente es real si y solo si estos ángulos son iguales o complementarios y están orientados inversamente, lo que muestra la primera afirmación. 
La segunda afirmación se demuestra en [3] de CrossRatio0.html .

Relación cruzada compleja (ABCD) = ((AC) / (BC)) / ((AD) / (BD))

La relación cruzada compleja de cuatro puntos en el plano (complejo) se define como: 
(ABCD) = ((AC) / (BC)) / ((AD) / (BD)), donde los puntos se identifican con números complejos. 
1) (ABCD) es real si todos los puntos están en un círculo o línea. 
2) Suponiendo los puntos en una cónica (elipse), proyectelos en una línea e, desde un punto P de la cónica. Deje A *, B *, C *, D * las proyecciones correspondientes. Luego configure cx = (ABCD) y cr = (A * B * C * D *). 

A continuación, las dos relaciones cruzadas se calculan utilizando la herramienta de usuario [ComplexCrossRatio] encontrada y compilada en el archivo [EUC_Scripts \ EUC_User_Tools \ ComplexCrossRatio.txt]. Las dos relaciones cruzadas son puntos del plano complejo. El segundo es real y está tendido sobre el eje real. 

cx y cr permanecen invariantes en
a) modificando la línea (posición y / u orientación), 
b) modificando el punto P en la elipse (interruptor de selección de herramienta de contorno (CTRL + 2), captura y modifica los puntos P, A, B, C, RE).

El caso de constancia cr = (A * B * C * D *) en una línea variable e y / o la ubicación de P en la cónica depende de una propiedad básica de las relaciones homográficas: preservan la relación cruzada. Esto se discute en CrossRatio.html . 
La ración cruzada compleja cx permanece trivialmente, ya que la variación de P no afecta a su valor ((AC) / (BC)) / ((AD) / (BD)). 
Una imagen de otro caso interesante, relacionado con cuatro tangentes de una cónica, se encuentra en el archivo: FourTangentsCrossRatio.html .