GEOMETRÍA DINÁMICA

REEDITA POR LA GRAN WEB : http://users.math.uoc.gr

 Problema de carnot

Para encontrar un polígono cuyos lados tengan puntos medios, algunos puntos dados arbitrarios A, B, C, ... (en nuestro caso A, B, C, ... son vértices de un hexágono no simétrico).

La idea clave es que una simetría es producto de dos reflexiones cuyos ejes son ortogonales y se intersectan en el centro de la simetría. Además de estos ejes, que representan la simetría, se pueden girar alrededor de su punto de intersección, de modo que uno de ellos es paralelo a cualquier dirección dada (el otro eje asume el ortogonal en esa dirección). Esto implica fácilmente que el producto de dos simetrías es una traducción. Así, al dividir el producto de simetrías 2N en pares (f1 * f2) * (f3 * f4) * ... etc., obtenemos un producto de N traducciones (segmentos azules en nuestra imagen), que es una traducción. La afirmación es que esta traducción (GM en nuestro caso) es, en general, no cero (consulte SymmetriesOnVerticesEven.html ).

Representado en un diagrama p-v se obtiene la siguente figura:

Imagen 14. periodni. Copyright

El ciclo se divide en cuatro etapas, cada una de las cuales se corresponde con una transformación termodinámica básica:

• Etapa A) Expansión isotérmica

En el gráfico es el paso del estado 1 al estado 2. Es un proceso isotermo y por ser un gas perfecto eso hace que la temperatura se mantenga constante T₁.

El gas se encuentra en un estado de equilibrio inicial representado por p₁, V₁, T₁, en el interior del cilindro. Se produce una expansión isotérmica entre 1 y 2, hasta alcanzar los valores p₂, V₂, T₁, el sistema realiza un trabajo W₁ positivo (aumenta el volumen, luego es un trabajo hecho por el sistema, trabajo positivo), comunicando energía al entorno, por otro lado como la variación de energía interna ha de ser cero, toma un calor del entorno equivalente Q₁:

• Etapa B) Expansión adiabática

Se parte del punto 2 y se llega al estado 3.

Por ser un proceso adiabático no hay transferencia de calor, el gas debe realizar un trabajo, elevando el émbolo, para lo que el cilindro debe estar aislado térmicamente, alcanzándose los valores p₃, V₃, T₂.

• Etapa C) Compresión isotérmica

Entre los estados 3 y 4, hasta alcanzar los valores p₄, V₄, T₂, siendo el trabajo realizado por el pistón. En este caso es un trabajo de compresión (negativo), se recibe energía del entorno en forma de trabajo y se cede una energía equivalente en forma de calor:

• Etapa D) Compresión adiabática

Entre los estados 4 y 1 cerrándose el ciclo.

Se alcanzan de nuevo los valores p₁, V₁, T₁ sin transferencia de calor con el exterior.

Consideramos ahora el efecto global del ciclo.

• El trabajo neto W realizado durante el ciclo por el sistema será el representado por la superficie encerrada en el trayecto 1-2-3-4-1.
• La cantidad neta de energía calorífica recibida por el sistema será la diferencia entre Q₂ y Q₁.

Para calcular el rendimiento de un ciclo de Carnot se emplea la misma expresión mencionada anteriormente:

En la práctica es mucho más difícil obtener los valores de los calores trasegados que los valores de la temperatura (en grados Kelvin) de los dos focos, que se conocen por la lectura de un termómetro, y se puede considerar que la transmisión de calor es proporcional a las temperaturas de ambos focos sin que se cometa un error apreciable (recuerda que son gases perfectos y que la variación de energía interna es fución exclusiva de la variación de temperatura) por lo que se puede escribir:

 

Y por lo tanto se puede expresar el rendimiento como:

El rendimiento de este tipo de máquinas será mayor cuanto mayor sea la diferencia entre las temperaturas del foco caliente T₁ y el foco frío T₂.

Existen otros ciclos termodinámicos que también poseen el rendimiento máximo aunque se utilizan mucho menos que el de Carnot.

El teorema de Carnot.

Deje que los lados {AB, BC, CD} del triángulo ABC intersecten la cónica en los puntos respectivamente P, P ', Q, Q', R, R '. Entonces la siguiente relación es válida. 
                                                  AP * AP '* BQ * BQ' * CR * CR '= AR' * AR * CQ '* CQ * BP' * BP. 
La relación también es suficiente, es decir, si se satisface, entonces hay un paso cónico a través de los seis puntos {P, P ', Q, Q', R, R '}.

La relación se sigue notando que las relaciones del tipo: 
                                                                  (AP * AP ') / (AR * AR') = I (AC) / I (AB) (*). 
Donde I (AB) es una forma cuadrática que depende solo de la dirección de la línea AB:

Aquí se supone que la cónica está representada por una ecuación de la forma:

También se supone que la línea AB está parametrizada por la ecuación (variable r):

Estas relaciones se establecieron en la discusión de la generalización del poder de un punto con respecto a una cónica (Ver PowerGeneral.html ). Se pueden usar aquí aplicando (*) sucesivamente tres veces para las líneas a través de {A, B, C} respectivamente: 
        (AP * AP ') / (AR * AR') = I (AC) / I (AB), 
        (BQ * BQ ') / (BP * BP') = I (AB) / I (BC), 
        (CR * CR ') / (CQ * CQ') = I (BC) / I (AC). 
El resultado se obtiene al multiplicar las tres igualdades y observar que el lado derecho resultante es igual a 1. 
Para probar lo contrario, considere el paso cónico a través de cinco de los seis puntos y use la parte probada y la relación válida para demostrar que el sexto punto también es en esa cónica.

 2. Algunas consecuencias del teorema de Carnot.

Sigo aquí las observaciones de Poncelet (tratado vol.1 p. 18). El teorema de Carnot tiene muchas consecuencias. Primero considere el caso límite en el que el triángulo se circunscribe a la cónica. Entonces la imagen se convierte en:

y la relación se hace (simplificando cuadrados y teniendo en cuenta la orientación). 
                                                                                   AP * BQ * CR = - AR * CQ * BP. 
Este es el teorema de Ceva ( Ceva.html ) e implica que   las líneas que unen los puntos de contacto con los vértices opuestos son concurrentes . 
Supongamos ahora que el acorde de los contactos PR es paralelo a BC. Entonces AP / BP = AR / CR implica que Q es la mitad de BC . 
Por lo tanto, por la paralelismo AQ pasa a través de la mitad de PR. Al dibujar una tangente B'C 'paralela a BC, vemos que su Q media está también en la línea AQ. 
El resultado es la propiedad bien conocida de los diámetros conjugados de las cónicas.
Los acordes paralelos a una dirección dada (BC) tienen sus medios en otro acorde (QQ ') que pasa a través de los puntos de contacto de BC y su B'C' paralelo. Además de las tangentes en los puntos de contacto (P, R) de las cuerdas paralelas, se intersecan en los puntos (A) que se encuentran en el "Q" del diámetro "conjugado" de la cónica.

 3. Extensión del teorema de Carnot.

El razonamiento adoptado en 1. se puede extender a polígonos arbitrarios (con n lados) que intersectan una cónica. Por ejemplo, un cuadrilátero ABCD que interseca la cónica en los puntos P, P ', Q, Q', ... etc. produciría la relación. 
            (AP * AP ') * (BQ * BQ') * (CR * CR ') * (DS * DS') = (AS * AS ') * (DR * DR') * (CQ * CQ ') * ( BP * BP ').

El problema de castillon

Dados los puntos A, B, C, ..., c, "c" y N (= 4 aquí), inscriba un polígono en "c" cuyos lados A'B ', B'C', ... pasen respectivamente por el Puntos dados A, B, ....

Una solución simple [Berger: Geometry II, p. 181], se puede obtener considerando las homografías involutivas, conservando "c", cuyos puntos Fregier son los puntos A, B, C, ... dados. 
En el ejemplo anterior (N = 4), hay cuatro homografías de este tipo f1, f2, f3, f4, correspondientes a A, B, C y D. Su composición f = f4 * f3 * f2 * f1 es nuevamente una definición bien definida homografía y tiene A 'como punto fijo (f (A') = A '). Por lo tanto, la ubicación de A 'se puede determinar encontrando los puntos fijos de f (e intersectando su conjunto con "c"). Una vez que A 'es sabido, los otros puntos se determinan mediante la unión con A, encontrando entonces B' como intersección de 'c' con AA' etc.