GEOMETRÍA DINÁMICA

REEDITADA POR LA WEB : http://users.math.uoc.gr

Círculo de similitud de dos círculos.

Dados dos círculos {c (O, r), c '(O', r ')} y un punto A (posiciones relativas como en la siguiente figura), construye el triángulo de tangentes ABC. Esto es similar a OO'A si y solo si BC pasa a través de la proyección D de A en OO '. 

Si los triángulos {ABC, OO'A} son similares, entonces CO'DA es cíclica, siendo D el punto de intersección de {OO ', BC}. 
Pero O'CA es un ángulo recto, por lo tanto, O'DA también es un ángulo recto. 
A la inversa de la configuración anterior, el CO'DA vuelve a ser cíclico. Esta vez porque en C, D son ángulos rectos. Esto implica que los ángulos en O ', C son iguales. 
Pero ABOD también es cíclico, por lo tanto, el ángulo BAO es igual a BDO que es igual a CAO '. Esto implica que los ángulos en A de ABO 'y AOO' son iguales. 

Observación-1Esto restringe los puntos A que pueden servir como centros de similitud para el mapeo de similitudes (c) a (c '). Tienen que estar en un círculo apolín (d) para el segmento OO '. De hecho, si A es un centro de similitud para los dos círculos {c, c '}, entonces los triángulos ABO, siendo ACO' similar, significa AO / AO '= r / r'. Así, A está en un círculo apolíneo. 
Observación-2 Los dos centros de homotecnia de los círculos H ₁ , H ₂ son puntos diametral del círculo (d). 
Nota-3 Las propiedades análogas se mantienen en el caso de otras configuraciones para las cuales los dos círculos no son externos entre sí. 
El círculo en el diámetro H ₁ H ₂ se llama el círculo de similitud de los dos círculos.

 2. Condición necesaria y suficiente.

Un punto A pertenece al círculo de similitud de dos círculos si y solo si, al dibujar dos tangentes {AC, AD} de A que no separan los centros, la línea de contactos corta de los círculos a segmentos iguales (DD '= CC').

La igualdad de los dos segmentos es equivalente a la igualdad de potencias de {C, D} con respecto a los círculos {k ₂ , k ₁ } correspondientemente. La necesidad está implícita por un cálculo fácil. Si s = r ₂ / r ₁ denota la relación de similitud, entonces:

Esto implica que las proyecciones {B ', E'} de {B, E} en {AD, AC} respectivamente, junto con {D, C} construyen un cuadrilátero cíclico. Por lo tanto, los triángulos CAB 'y DAE' son similares y, por los cuadrángulos cíclicos {DAE'E, BB'AC}, también los triángulos rectángulos AEE 'y ABB' son similares. Esto implica que AE / AB = r ₂ / r ₁ por lo tanto, demostrando que A está en el círculo de similitud de {k ₁ , k ₂ }.

 3. Viendo bajo ángulos iguales

El círculo de similitud de dos círculos que se encuentran uno al lado del otro es el lugar de los puntos A que ve los dos círculos bajo ángulos iguales (es decir, las tangentes de los dos círculos forman ángulos iguales en A).

Esto se sigue trivialmente dibujando las líneas {AE, AB} y calculando su relación en términos de los radios de los dos círculos. 

Comentario Las propiedades enumeradas aquí son importantes para probar el teorema de Malfatti, después de una idea de Steiner, quien dejó su argumento sin probar hasta que Hart lo completó. Una exposición de esta historia (siguiendo de cerca a Coolidge) se puede encontrar en Malfatti.html ).

Circulo-fractal

Fractal circular conduciendo la aplicación a sus límites. El marco muestra un aumento de 12 veces de la pequeña región amarilla. El fractal resulta aplicando repetidamente la herramienta [Fractal-Socket] al esquema B. (Enchufe B en sus hojas repetidamente).