GEOMETRÍA DINÁMICA

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Segundo triángulo de Brocard

Considere un triángulo ABC y su punto de Symmedian K. El círculo con diámetro OK, siendo O el circuncentro de ABC se llama círculo de Brocard del triángulo. Los segundos puntos de intersección de los simmedios AK, BK, CK construyen un triángulo HEG llamado segundo triángulo de Brocard de ABC. Aquí hay algunas propiedades elementales de estos vértices: 
[1] El simmediano a través de B pasa a través del punto común D de tangentes en A y C hacia el circuncírculo (c). 
[2] E es el punto común del simmedio AK, círculo de Brocard con diámetro OK y círculo (ADC). 
[3] E es la mitad del acorde AF del circuncírculo definido por el simmediano. 
[4] ángulo (AEC) = 2 * ángulo (B) y el BE simmedio es bisectriz de ángulo (AEC).
[5] Los triángulos BEA y CEB son similares.

Sea (d) el círculo a través de A, C, D. Proyectando en los lados y midiendo la relación DD _C / DD _B , encontramos que es igual a AB / BC, por lo tanto, D en el AK del simmedio. El circuncírculo (d) de ACD pasa a través de O e intersecta el círculo de Brocard en un punto que ve KO bajo un ángulo recto, por lo que coincide con E. Dado que OE es ortogonal a la cuerda BF, E es su centro. Estos argumentos proove [1, 2, 3]. [4] es una consecuencia fácil en vista del cuadrángulo cíclico AECD. 
Para demostrar [5], observe la igualdad de ángulos en E y ese ángulo (BAE) = ángulo (A) -angle (EAC). Pero a partir del triángulo BCD ángulo (EBC) = ángulo (DCD _B ) -angle (EDC) = ángulo (A) - ángulo (EAC). 
Los vértices del segundo triángulo de Brocard son los puntos focales de las parábolas Artzt.(Ambos tipos, primero y segundo también) del triángulo ABC. Para probar esto, se utiliza la propiedad característica de E: (i) para estar en el simmedio y (ii) para bisecar el ángulo AEC (ver Artzt.html ).

Teorema de la mariposa

Considere un círculo, un CD de acordes cuyo centro sea G. Dibuje otros dos acordes a través de G: FH y EI. Luego las líneas FI, EH intersectan el acorde CD en los puntos J, K respectivamente, que son simétricos con respecto a G.

El teorema es una consecuencia del hecho de que la línea LM es la polar de G con respecto al círculo. Luego las líneas LF, LE, LG y LM crean un paquete armónico y cada línea que intersecta estas líneas se divide armónicamente por ellas. Por lo tanto, JK es paralelo a LM y es dividido por LG. Observe que LG, MG son respectivamente los polares de M y L. Las propiedades relevantes de los polares se describen en el archivo CyclicProjective.html .

Diagrama del teorema de la mariposa

Demostración del teorema

El teorema de la mariposa es un teorema de geometría euclídea. Establece que:

Si M es el punto medio de la cuerda PQ de un círculo y AB y CD son cuerdas que pasan por M, entonces M es el punto medio de XY.

Historia[editar]

Probar el teorema de la mariposa fue planteado como un problema por William Wallace en The Gentlemen's Mathematical Companion (1803). Tres soluciones fueron publicadas en 1804, y en 1805 sir William Herschel planteó de nuevo la pregunta en una carta a Wallace. El reverendo Thomas Scurr hizo la misma pregunta otra vez en 1814 en el Gentlemen's Diary or Mathematical Repository.

Cuadriláteros del paquete

Considere un grupo de círculos de tipo no intersecante y dos acordes de un círculo miembro que pasa por el punto límite del grupo. Los acordes definen un cuadrilátero q = ABCD teniendo estos como diagonales. Extienda dos lados opuestos AD, BC hasta que intersecten un segundo miembro del círculo del haz. Los puntos de intersección construyen un cuadrilátero r = HIJK. Muestre que el punto de intersección de los lados HI, JK se encuentra en el MN polar de E wr a un círculo del haz (todos los círculos c del haz tienen el mismo polar con respecto a E). 

Corolario: Las diagonales de todos los cuadriláteros HIJK se intersecan en E.

De hecho, N, M pueden tomarse como puntos de intersección de lados opuestos de q. Entonces N está en el polar de E, por lo tanto el polar p (N) de N contiene E. Considere los puntos de intersección O, P de este polar con lados HK, IJ respectivamente. Supongamos también que L es el punto de intersección de HI, DC. Entonces a) estos lados se intersecan en un punto L que se encuentra en p (N). b) L está en la línea MN. a) se desprende del teorema estándar sobre cuadriláteros cíclicos (consulte CyclicProjective.html ). b) se deduce del hecho de que la cuadruppleja de líneas en N (NL, NH, NE, NI) es armónica. Pero (NM, NH, NE, NI) también es armónico, por lo tanto, L está contenido en la línea MN. 
El corolario se deriva también del hecho de que para los cuadriláteros cíclicos q = ABCD, las diagonales se intersecan en el polo E de MN (consulte la referencia anterior).