domingo, 9 de diciembre de 2018

GEOMETRÍA DINÁMICA

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 Construcción de cuadriláteros circunscriptibles.

Para construir cuadrantes con longitudes laterales dadas a, b, c, d de manera que a + c = b + d = t. 

Construya primero un segmento t = (AB) y coloque los puntos C, D (presionando, mientras define la tecla Mayús) de manera que a = (AC), c = (CB), b = (AD), d = (DB). Defina tres nuevos puntos E, I, J (que se utilizarán para controlar la forma del cuadrángulo). Transfiera las longitudes como se muestra. Los modificables son A, B, E, I, H (después de presionar Ctrl + 1) y C, D más tarde dos después de presionar (Ctrl + 2).

[0_0][0_1][0_2][0_3]
[1_0][1_1][1_2][1_3]
[2_0][2_1][2_2][2_3]


Todos estos cuadriláteros son circunscriptibles. El incircle está definido por la ecuación 
r ^ 2 = (a * u * z + c * x * y) / (a ​​+ c), donde x, y, z, u se determinan resolviendo las ecuaciones: 
x + y = a, 
y + z = b, 
z + u = c, 
u + x = d. 
x se puede tomar (casi) gratis. Entonces y = ax, z = b-a + x, u = dx. La condición de compatibilidad para el sistema lineal es simplemente: a + c = b + d. Reemplazar y, z, u en la fórmula anterior da una función de x: 
r ^ 2 = (a * d * (2 * x + ba)) / (a ​​+ c) - x ^ 2. 
Busque en Circumscriptible.html una prueba geométrica de la suficiencia de la condición a + c = b + d.













 Cuadrilátero circunscriptible


[0_0][0_1]

Comience con la siguiente propiedad de dos triángulos t = (AEC) y t '= (CFG), que tienen dos ángulos iguales (en C) y otros dos ángulos (en E y F en consecuencia) complementarios. Colocándolos como en la figura anterior, tenemos: (AC / AE) = (CB / EB) = (CG / FG) => (AC / CG) = (AE / FG). Lo que parece si tuviéramos ángulos iguales en E y F. Esto demuestra la siguiente propiedad básica para cuadriláteros circunscriptibles (idea de prueba de A. Varverakis).


[0_0][0_1][0_2]

Las diagonales y las líneas que unen los puntos de contacto opuestos, en un cuadrilátero circunscriptible a un círculo, pasan a través de un punto común O. De hecho, los triángulos (COH) y (GOD) tienen ángulos iguales en O y complementarios en C y D respectivamente. Por lo tanto (CH / GD) = (OH / OG). Una ecuación análoga será válida para las relaciones de HE y FG. Por lo tanto, debido a que CH = HE y GD = GF, CD y EF se encontrarán en un punto en la diagonal HG. El mismo razonamiento implica que CD y EF se encontrarán en un punto en la diagonal IJ, por lo tanto, las cuatro líneas concuerdan en un punto O que se encuentra en ambas diagonales, es decir, su punto de intersección. La prueba también se puede dar especializando el teorema de Brianchon, demostrado en Brianchon2.html . 
El archivo CircumscriptibleQuadrilateral2.html Contiene algunos otros aspectos del mismo tema.




Cuadriláteros circunscriptibles

Un cuadrilátero es circunscriptible cuando las sumas de sus lados opuestos son iguales : AB+CD = AD+BC
Esta condición es muy fácil de comprobar, recordando que la circunferencia inscrita en un ángulo tiene los puntos de tangencia con los lados del ángulo equidistantes del vértice.
En la figura vemos que AT=AQ; BQ=BR; CR=CS y DT=DS.
Además: AB = AQ+BQ; CD = CS+DS; AD = AT+DT; BC = BR+CR;

Para verificar que AB+CD = AD+BC, se aplica lo anterior:
AB+CD = AQ+BQ +CS+DS;
AD+BC = AT+DT +BR+CR= AQ+BQ +CS+DS.

Imagen:DibujoTecnico_I-3_22.gif‎











Quandrilateral circunscriptible, propiedades de intersección.

Considere el cuadrángulo ABCD circunscriptible en el círculo c. Sean {K, L, M, N} los puntos de contacto de los lados con (c), E el punto de intersección de las líneas {KL, MN}. 
[1] Defina F = LN * MK (* denota intersección), J = ML * KN. La línea FJ es la polar de E (consulte la figura básica para la construcción polar en Polar2.html ). 
[2] Por la misma referencia, FE es el polar de J y JE es el polar de F. 
[3] La línea ML es el polar de A y pasa por J. Por la reciprocidad de los polares, el polar de J que es EF pase a través de A. Análogamente, pasará a través de C. Esto muestra la concurrencia de las cuatro líneas {MN, KL, AC, BD} en E (este es un caso especial del teorema de Brianchon, vea Brianchon2.html ).
[4] Según la definición de puntos de polaridad (K, N, J, J '), haga una división armónica en la línea NK que se proyecta desde C a (G, H, J, F). De ahí que estos puntos hacen también una división armónica. 
[5] Al leer la figura desde el punto de vista del cuadrángulo inscrito LMKN obtenemos la especialización del teorema de Pascal para cuadriláteros inscriptibles: los puntos de intersección {G, H} de los lados opuestos y {F, J} de las tangentes en los vértices opuestos están en una Línea y haz de ella una división armónica.

[0_0][0_1][0_2][0_3]
[1_0][1_1][1_2][1_3]
[2_0][2_1][2_2][2_3]

[un logo] 2. Las cónicas circunscriben un cuadrángulo.

[1] La figura está estrechamente conectada con los teoremas de Pascal y su dual de Brianchon, especializado para cuadriláteros. Los argumentos se transfieren literalmente para mostrar las propiedades correspondientes de los cuadrángulos inscritos / circunscritos en cónicas. 
[2] Hay inversos a los teoremas de Pascal y Brianchon para los cuadrángulos inscritos / circunscritos en cónicas. El inverso del teorema de Pascal para los cuadrángulos se muestra en Pascal2.htmlLas suposiciones para esta inversa son que los cuatro puntos {M, K, L, N} son tales que en la línea FJ se dan dos puntos {G, H} que son conjugados armónicos a {F, J}. Luego hay una MKNL cónica circunscrita y con tangentes opuestas que se intersecan en esas {G, H}. Obviamente, la cónica es un círculo cuando {G, H} coinciden con las intersecciones de FJ con las líneas mediales de {KL, MN} y, además, estos puntos son conjugados armónicos de {F, J}. De todos modos, hay condiciones más simples para probar la ciclicidad de MKNL, pero es interesante ver todas las cónicas que circunscriben el cuadrángulo. Están parametrizados por la posición del punto G en la línea FJ (ya que H se determina a partir de G). La siguiente figura muestra una familia de cónicas de este tipo que circunscribe el cuadrángulo MKNL. 
Para todas estas cónicas, el polo de la línea FJ es el mismo punto E = KL * MN.
[3] Dada la posición de G debajo de la construcción de la cónica del concreto, un miembro apropiado de la familia de cónicas (bitangente) generada por las líneas {CM, CL} se considera una cónica degenerada y la línea ML (considerada como una Doble linea degenerada cónica). El miembro es el que pasa a través de uno de los otros dos puntos {K, N}.
[0_0][0_1][0_2][0_3]
[1_0][1_1][1_2][1_3]
[2_0][2_1][2_2][2_3]

[un logo] 3. Cónicas inscritas en un cuadrilátero.

[1] Hay un punto de vista dual mediante el cual fijamos las tangentes en los vértices opuestos {K, L} y {M, N}, en consecuencia los puntos {G, H} y el cuadrilátero circunscrito ABCD. Entonces {F, J} también están determinados por las diagonales de ABCD y son conjugados fijos y armónicos a {G, H}. Los puntos de contacto {L, N} y {M, K} en los lados de ABCD de cada cónica inscrita en ABCD están determinados por pares arbitrarios de líneas {EL, EN} de manera que el conjunto de líneas E (F, J, L) , N) es una armónica. 
[2] La dualidad se encuentra entre los puntos de la línea FJ y el paquete de líneas (a menudo denotado por E *) en E, que es el polo de FJ. A cada par de puntos conjugados {G, H} a {F, J} corresponde una circuncona y a cada par de líneas conjugadas {EL, EN} a {EF, EJ} corresponde una incónica.
[0_0][0_1][0_2][0_3]
[1_0][1_1][1_2][1_3]
[2_0][2_1][2_2][2_3]

[3] La figura anterior ilustra el caso de todos los inconics al cuadrilátero ABCD al determinar cada uno de ellos a través de un conjugado armónico {M ', L'} de dos puntos con respecto a {F, J}. Estos puntos definen el conjunto armónico requerido en E, E (D, C, N, L) mediante el cual se determinan los puntos de contacto {L, N, K, M}. 
[4] La cónica concreta en la figura anterior se construye se define como un miembro apropiado de la familia de cónicas (bitangentes) generadas por las líneas {CM, CL} consideradas como cónicas degeneradas y la línea ML (considerada como una línea doble degenerada). cónico). El miembro es el que pasa a través de uno de los otros dos puntos {K, N}.

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