GEOMETRÍA DINÁMICA

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Problema de castillon

Dado el círculo "c" y tres puntos A, B, C, construye el triángulo A'B'C ', inscrito en "c" para que sus lados pasen a través de los puntos dados: A'B' a través de A, B'C ' a través de B y C 'a través de C. 

Hay en general 2 soluciones que son triángulos A'B'C', A''B''C '' orientadas inversamente. 

Dados "c" y los puntos A, B, C, encontramos la composición f = f3 * f2 * f1 de las Involuciones Fregier con puntos fijos aislados (puntos Fregier) A, B, C, respectivamente. Esto se hace tomando tres puntos arbitrarios 1, 2, 3 en c y construyendo sus imágenes 1 ', 2', 3 'debajo de f1, luego las imágenes de estos debajo de f2, que son 1' ', 2' ', 3' ', luego las imágenes de estos debajo de f3, que son 1' '', 2 '' ', 3' '' debajo de f3. Finalmente, construimos f seleccionando la herramienta apropiada [Transforms \ Homogr. 1 cónica _] y haciendo clic en c y 1,1 '' ', 2,2' '' y 3,3 '' '(en ese orden). Al tener f (homografía C * B * A), hacemos clic derecho en su etiqueta y seleccionamos [TransAss], manteniendo presionada simultáneamente la tecla Ctrl hacia abajo. Esto define los puntos fijos de f, dos de ellos son F1 y F2. Aquí está la inestabilidad. En general, puede haber tres puntos distintos o uno distinto y una línea completa de puntos fijos. No hay tres de ellos en el círculo (de lo contrario, f sería constante). Los puntos variables A, B, C y / o el círculo causan el recálculo de los puntos fijos y F1, F2 puede tomar el lugar de otros puntos fijos, fuera de c.

De cadena

(También conocido como catenoide ). La curva creada por una catenaria (homogénea) cuelga libre y suspendida de sus puntos finales A, C. Su ecuación está dada por 
a * cosh (x / a) + c, c traduciendo el conjunto graficar hacia arriba y hacia abajo.

		Caracterización del centroide y observaciones relacionadas. Considere un punto D y sus cevians AE, BF, CG wr a triángulo ABC. Demuestre que el único punto para el cual las tres relaciones AD / AE = BD / BF = CD / CG = k (constante) es el centroide del triángulo. Utilice las coordenadas trilineales (x: y: z) del punto D para calcular todos los segmentos relevantes:  z '/ y' = EE B / EE C = z / y, z '/ sinB + y' / sinC = a => ( D = - (z * sinB + y * sinC)), z '= -z * a / D =>  z' = (a * z * sinB * sinC) / (z * sinC + y * sinB),  y ' = (a * y * sinB * sinC) / (z * sinC + y * sinB).  BE / EC = D B D / DD C = z * sinC / (y * sinB) = z * c / (y * b),  AD / AE = (z / sinB + y / sinC) / a,  AE 2 = [bc / (zc + yb) 2 ] [(b 2 + c 2 -a 2 ) yz + bc (y 2 + z 2 )]. Al establecer AD / AE = BD / BF = CD / CG = k, se obtiene un sistema lineal para los trilineales (que denota u = sinA, v = sinB, w = sinC):  R es el circunradio y usa el teorema del seno a = 2RsinA, ... etc. Por lo tanto, los trilineales de D son (1 / sinA: 1 / sinB: 1 / sinC) = (1 / a: 1 / b: 1 / c), es decir, los del centroide.  Se puede manejar de manera análoga la cuestión de determinar los puntos D de modo que las relaciones AD / AE, BD / BF, CD / CG, satisfagan una generalización de la relación anterior. Es decir, suponiendo que f (a, b, c) sea una función de las longitudes de los lados del triángulo, se puede pedir a esos D que las relaciones correspondientes satisfagan:  AD / AE = kf (a, b, c), BD / BF = kf (b, c, a), CD / CG = kf (c, a, b) (permuta cíclicamente a, b, c en f). El razonamiento anterior da: Dado que los trilineales se definen módulo a una constante multiplicativa, se puede considerar que la última columna representa los trilineales (g (a, b, c)) del punto D con la propiedad dada. Por ejemplo, tomando f (a, b, c) = 1 / bc, encontramos como solución los trilinears ((b + ca) / a: (c + ab) / b: (a + bc) / c), que caracterice el punto de Nagel del triángulo (consulte Nagel.html ). A continuación se muestra una pequeña lista de ejemplos con f y las g correspondientes:  f = 1 ---> g ​​= 1 / a (centroide)  f = a ---> g ​​= (b + ca) / a (Nagel)  f = 1 / a ---> g ​​= (a (b + c) -bc) / a (X (192))  f = b + c ---> g ​​= 1 (incentivo)  f = 1 / (b + c ) ---> g ​​= ((a + c) (b + c) + (ba) (b + a)) / a (???)  ..... Para algunas funciones simples f, la g correspondiente podría no estar contenida en la lista conocida de centros de triángulos.  Para encontrar la constante k, para la cual las relaciones AD / AE = kf (a, b, c), BD / BF = kf (b, c, a), CD / CG = kf (c, a, b) mantener, uno puede usar trilineros absolutos, satisfaciendo ax + by + cz = 2S (S es el área del triángulo). Así, en el último ejemplo, con f (a, b, c) = b + c, dando el incentivo, los trilineales absolutos son (r: r: r), siendo r el inradius. Sustituye esto en una de las tres ecuaciones lineales anteriores para obtener el k = 2Rr / (abc) correspondiente. Teniendo los trilinears (x: y: z) de un punto, es fácil encontrar la función correspondiente f (a, b, c). Basta con multiplicar con la primera matriz de arriba y factorizar los términos f (a, b, c), etc. Por lo tanto, denotando por {f (a, b, c)} los múltiplos resultantes de la permutación cíclica de a, b, c, el mapa invertible:  {f (a, b, c)} -> {g (a, b, c) = (-f (a, b, c) + f (b, c, a) + f (c, a, b)) / a}  establece una relación entre los distintos centros de triángulos y las triplicaciones de relaciones (AD / AE, BD / BF, CD / CG).