GEOMETRÍA DINÁMICA

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Locus de círculo-paquete

Considere un círculo de miembros (c) del paquete (I) de círculos ortogonales a un círculo dado (b) y a, no intersecante (b), línea (a) (vea CircleBundles.html ). Entonces 
1) El acorde común KL de los dos círculos pasa por un punto fijo O, independiente de (c). 
2) La M media de KL describe un círculo d (N, | NM |), siendo N la mitad de OA, A el centro de (b). 
3) La J simétrica de P wr a M describe un círculo f (H, | HJ |) que pasa por B.

Las pruebas son fáciles: 
1) | OK || OL | = | OP || OB | = | OQ || OR | = const., Q y R son los puntos limitantes del paquete (I). 
2) el ángulo (AML) es derecho, etc. 
3) e es la homotética de d wr a P. Pasa a través de B, ya que JBH y MAN son isosceli homotéticos. 
Por cierto, J es el ortocentro del triángulo BKL, que es similar al BSC, cuyo ortocentro siempre es P. Consulte Polar.html para conocer toda la historia. 

Se puede arreglar el círculo c y variar el círculo b, solicitando el lugar del ortocentro P. Consulte el archivo Polar2.html para ver la imagen correspondiente.

Una transformación relacionada con los paquetes de círculo.

Dados dos puntos {A (r, 0), B (-r, 0)}, tomados en el eje x simétricamente al origen y una dirección e (cos (u), sin (u)) definen una transformación de la siguiente manera : 
- Para cada punto X que no se encuentra en el eje x, considere el miembro del círculo c _X (x, y) del paquete (de todos los círculos a través de los dos puntos) generado por el círculo (x ² + y ² ) -r ² = 0 y la recta y = 0. 
- Luego construya Y para que sea el otro punto de intersección de c _X con la línea {X + te} a través de X paralela a e. 
[1] La transformación Y = F (X) está bien definida para todos los puntos del plano excepto el eje x. 
[2] Es una satificación involutiva obviamente F ² = 1.
[3] Los puntos fijos de F están en una hipérbola rectangular o _{X que} pasa por {A, B}. 
[4] La hipérbola o _X pertenece a la familia de las cónicas (que son todas las hipérbolas rectangulares) generadas por la cónica c ₁ (x, y) = x ² -y ² -r ² = 0 y la cónica degenerada c ₂ (x , y) = xy = 0 (producto de los ejes). 
[5] o _X pasa por el punto C = r (Je), donde J denota la rotación positiva en un ángulo recto.

[6] F restringido en cada miembro c _X del haz del círculo lo deja invariante y coincide allí con la reflexión a lo largo de la línea L _{X que} pasa por el centro de c _X y es ortogonal a la dirección (e). 

Observación Última propiedad sugiere una manera de generar hipérbolas rectangulares utilizando haces de círculo: 
Fijar una dirección (Je) y para cada miembro de c _X del haz de círculo dibujar a ambos lados del centro I _x segmentos paralelos a la dirección seleccionada a una distancia r _X de el centro (r _X es el radio de c _X). Los puntos finales de estos segmentos describen una hipérbola rectangular. La hipérbola tiene el centro del origen O, pasa por {A, B} y sus ejes son paralelos a las bisectrices del ángulo entre el eje x y la dirección Je (consulte PowerGeneral.html ). 

Las pruebas siguen de algunos cálculos fáciles.

Esta es la transformación Y = F (X). Los puntos fijos se obtienen al igualar el numerador con cero: 
e ₂ (x ² -y ² -r ² ) - 2e ₁ (xy) = 0. 
Todas las afirmaciones se derivan de la forma de esta expresión y algunos cálculos más fáciles.

 2. Mapeo de líneas a hiperbolas.

La transformación Y = F (X), definida anteriormente, asigna líneas no horizontales del plano a hipérbolas. 

Esto se puede ver utilizando los cálculos anteriores. Sin pérdida de generalidad, para líneas no horizontales, asumo que están descritas por alguna ecuación paramétrica de la forma 
a + tb, 
donde a es un punto del eje x a = (s, 0) y b = (b ₁ , b ₂ ) es un vector unitario. 
Suponiendo que e sea un vector unitario y tomando productos internos, la última ecuación del párrafo anterior implica:

La última ecuación da el resultado deseado. De hecho, si Y = (x, y) entonces t = 0 define la línea: 
f (x, y) = (Y, Je) - (a, Je) = 0. 
El corchete representa otra línea g (x, y) = 0 y a la derecha es una constante c. Así, la última ecuación se puede escribir en la forma: 
f (x, y) * g (x, y) = c, 
donde f (x, y) = 0, g (x, y) = 0 son las ecuaciones de dos líneas . Al transformarnos en un sistema de coordenadas con estas líneas como ejes, reconocemos que la ecuación se transforma en x'y '= c', que representa una hipérbola (consulte HyperbolaWRAsymptotics.html ). 

La discusión continúa en el archivo CircleBundleTransformationHyperbola.html , donde examino algunas características geométricas de estos hipérbolas.

 3. Mapeo de líneas a parábolas.

La transformación Y = F (X), definida anteriormente, asigna líneas horizontales del plano a las parábolas. 

Este tiempo, las líneas horizontales se describen en la forma 
a + tb, 
donde a es un punto del eje y a = (0, a ₂ ) y b = (1,0). 
Suponiendo que e sea un vector unitario y tomando productos internos, uso nuevamente la última ecuación del primer párrafo. 
Esta vez, la línea se describe mediante X = (a ₂ , t) yt simplemente se ajusta a t = - [(Y, Je) -a ₂ e ₁ ] / e ₂ . La última ecuación del primer párrafo se convierte 
en ₂ (Y, e) = t ² e ₂ - ta ₂ e ₁ - e ₂r ² . 
Esto, para Y = (x, y) y cambiando los ejes de coordenadas a y '= (Y, e) y x' = (Y, Je) se transforma a una ecuación de la forma 
y '= ux' ² + vx ' + w, para los coeficientes apropiados {u, v, w}, que representan una parábola como se afirma. 
Observación De la forma de la ecuación se sigue que el eje de esta parábola está en la dirección (e). 

Algunas discusiones adicionales sobre las características geométricas de estas parábolas se encuentran en el archivo CircleBundleTransformationParabola.html .

 4. La hipérbola de punto fijo y las involuciones.

La transformación Y = F (X), definida anteriormente, mapea las líneas L paralelas a (e) entre sí y restringidas allí define una involución homográfica en L que coincide con la conjugación de Desargues inducida por el haz circular en la línea (ver DesarguesInvolution.html ). 
Los puntos fijos de esta involución son los puntos de intersección de la Línea L con la hipérbola rectangular del primer párrafo. 
Esta es una consecuencia inmediata de la definición de F y de los hechos sobre las involuciones en las líneas generadas por sus intersecciones con los paquetes de círculo que se analizan en Involution.html .

Transformando líneas en hiperbolas.

Dados dos puntos {A (r, 0), B (-r, 0)}, tomados en el eje x simétricamente al origen y una dirección e (cos (u), sin (u)) definen una transformación de la siguiente manera : 
- Para cada punto X que no se encuentra en el eje x, considere el miembro del círculo c _X (x, y) del paquete (de todos los círculos a través de los dos puntos) generado por el círculo (x ² + y ² ) -r ² = 0 y la recta y = 0. 
- Luego construya Y para que sea el otro punto de intersección de c _X con la línea {X + te} a través de X y paralela a e. 
La transformación Y = F (X) está bien definida para todos los puntos del plano excepto el eje x. Es involutivo (F ² = 1) y mapas no horizontales.Lineas del plano a hiperbolas. Esto se demostró en CircleBundleTransformation.html . 
Aquí hay algunas propiedades geométricas de las hipérbolas así definidas. 

[1] Deje que la línea (v) se describa mediante una ecuación vectorial X = a + tb, con (a = (a ₁ , 0)) en el eje x y (b) un vector unitario. Luego, la hipérbola h = F (v) pasa por {A, B} y tiene una asíntota que pasa por el punto C = a en la dirección (e). 
[2] La otra asíntota de la hipérbola (h) pasa a través de D (-a ₁ , 0) y está inclinada a la anterior en un ángulo igual al ángulo de la línea (v) con respecto al eje x.

Escribiendo Y = (x, y) vimos en la referencia mencionada que la imagen h = F (v) de una línea (v) bajo F puede representarse en la forma: 
f (x, y) * g (x, y ) = c, donde f (x, y) = 0 y g (x, y) = 0 representan líneas. 
Las reclamaciones siguen analizando estas ecuaciones de línea. De hecho, con las notaciones introducidas allí la ecuación de (h) era:

El coseno de la inclinación de esta línea a la línea t = 0, que tiene resultados normales (Je) al multiplicar las dos unidades normales, lo que da b ₁ . Esto prueba la segunda afirmación sobre el ángulo de las asíntotas. De la forma de la ecuación se sigue que t = f (x, y) = 0 y g (x, y) = 0 son las dos asíntotas. Obviamente el primero pasa a través de ( ₁ , 0). 
Que g (x, y) = 0 se satisface con (-a ₁ , 0) también es un cálculo simple. 
Para mostrar que la hipérbola también pasa por los puntos {A, B} también es fácil usar un argumento geométrico. Por ejemplo, para encontrar un miembro de un grupo circular de manera que la Y correspondiente coincida con B. 

Nota-1Corrigiendo la línea a + tb y variando la dirección de (e) se crean varias de estas hipérbolas, todas ellas pasan por {A, B}. El triángulo interceptado en las asíntotas por la línea AB tiene una base fija a lo largo de AB y el ángulo opuesto es constante. Por lo tanto, el centro E de la hipérbola se mueve en un círculo fijo (c) y uno de los ejes de la hipérbola pasa a través de un punto fijo H en este círculo. El círculo (c) es tangente a la línea (v) en (a ₁ , 0). 

Observación-2 Al cambiar el valor de a in (a ₁ , 0) se producen hipérbolas con el mismo ángulo de asintótica. Si se mueve (a ₁ , 0) para que obtenga una posición dentro de AB, cambia la forma de las hipérbolas y libera los conjugados de aquellos para los cuales (a ₁ , 0) está fuera de AB. 

Observación-3La ubicación de los puntos focales de la hipérbola también se puede determinar fácilmente a partir de los datos proporcionados, utilizando el producto CB * BD y los ángulos del triángulo CDE (consulte HyperbolaAsymptotics.html ). 

Todo esto funciona para las líneas (v) que intersecan el eje x. Para las líneas (v) paralelas al eje x, la imagen resultante F (v) es una parábola, consulte CircleBundleTransformationParabola.html .

 2. El mismo ángulo de asíntotas.

Cada hipérbola se puede representar en una variedad infinita de formas como imagen F (v) para una transformación F apropiada del tipo descrito anteriormente. Para esto basta con tomar un acorde AB de la hipérbola y definir el conjunto de círculos a través de {A, B}. De la discusión anterior se desprende que los puntos de intersección Y de los círculos del haz con la hipérbola definen una línea (v) a través del procedimiento inverso del utilizado anteriormente: desde Y, dibuje un paralelo a una asíntota y encuentre el otro punto de intersección X con el círculo. Para Y variando en la hipérbola, X describe una línea, etc. 
Como hay dos asíntotas, la selección de una u otra define dos líneas {v, v '} y dos direcciones correspondientes {e, e'} que, según el procedimiento descrito anteriormente generar la hipérbola.
Cuando los puntos {A, B} tienden a coincidir, entonces el CD se vuelve tangente a la hipérbola, el punto O es su punto de contacto y el haz de círculos se convierte en uno de los círculos tangentes al segmento CD en su centro. La figura correspondiente para las hipérbolas se encuentra a continuación en la sección 5. El caso de las parábolas se describe en CircleBundleTransformationParabola2.html . 
Tenga en cuenta que todos los hipérbolas que tienen las mismas asíntotas líneas {EC, ED} pertenecen a la misma familia de cónicas representadas por ecuaciones de la forma f (x, y) * g (x, y) -c = 0. Aquí {f (x, y) = 0, g (x, y) = 0} describe las dos líneas y c es un parámetro variable. Todas estas cónicas son hiperbolas similares entre sí y con la misma excentricidad.
Finalmente, la transformación análoga F generada por paquetes de círculo de tipo no intersecante tiene propiedades similares. Esto se trata en el archivo CircleBundleTransformationHyperbola2.html .

 3. La paralelismo de los acordes.

Cada miembro del paquete c _X intersecta la línea (v) en otro punto X ', que según la definición de F se asigna a Y' = F (X ') a un punto del mismo círculo c _X y, por lo tanto, XYY'X' es un trapecio inscrito en c _x . De ello se deduce que los acordes YY 'tienen una dirección fija que es la dirección reflejada de la línea (v) con respecto a la dirección Je del vector ortogonal al (e). 
Ver [5] de PowerGeneral.html para otra razón por la que esto sucede. Sin embargo, el razonamiento aquí se aplica a la F análoga construida con paquetes de círculos de tipo no intersecante estudiados en CircleBundleTransformationHyperbola2.html .
Una consecuencia de la paralelismo de los acordes YY 'y la observación anterior sobre el trapecio inscrito es que cuando {X, X'} coinciden en la línea (v), entonces también {Y, Y '} coinciden en la hipérbola. Esto significa que los miembros del haz del círculo c _X que son tangentes a la línea (v) también son tangentes a la hipérbola. Además de la dirección de la tangente en tal punto, Y es la misma que la de los acordes YY '. Esto conduce a una fácil construcción de los puntos focales de la hipérbola al determinar un primer círculo c _X tangente a la línea (v) y definir un triángulo asintótico de la hipérbola (ver Tripolar asintótico ).

 4. Los círculos tangentes.

Una consecuencia de la paralelismo de los acordes YY 'y la observación anterior sobre el trapecio inscrito es que cuando {X, X'} coinciden en la línea (v), entonces también {Y, Y '} coinciden en la hipérbola. Esto significa que los miembros del haz del círculo c _X que son tangentes a la línea (v) también son tangentes a la hipérbola. Además de la dirección de la tangente en tal punto, Y es la misma que la de los acordes YY '. 
Indique con {c ₀ , c ₁ } los dos miembros del grupo del círculo tangentes a la línea (v) y con {X ₀ , X ₁ } sus puntos de contacto con (v). De ello se deduce que los puntos correspondientes Y ₀ = F (X ₀ ), Y ₁ = F (X ₁₎) son puntos tangentes de la hipérbola con los círculos {c ₀ , c ₁ } correspondientemente y esa línea Y ₀ Y ₁ pasa por el centro E de la hipérbola y el punto de intersección de la línea de centros OH del haz y la línea ( v). Tenga en cuenta que por la igualdad de los ángulos en E y C, el círculo (c) también es tangente a la línea (v). La línea Y ₀ Y ₁ es la dirección conjugada a la dirección de los acordes paralelos XX '. 
Tenga en cuenta que los círculos {c ₀ , c ₁ } no dependen de la dirección (e). Cambiando así esta dirección pero dejando la misma línea (v) cambia los hipérbolas para que siempre estén tangentes a {c ₀ , c ₁}. 
Dado que las tangentes en {Y ₀ , Y ₁ } también están en direcciones conocidas, podemos construir fácilmente los puntos focales de la hipérbola a partir de un triángulo asintótico resultante de la hipérbola (ver AsymptoticTriangle.html ).

 5. El caso de los paquetes tangenciales.

El caso del haz tangencial de círculos tangentes a la línea AB en su O central se ilustra a continuación. La hipérbola resultante tiene un triángulo ABC como tangencial. Los círculos del haz son todos tangentes a AB en O e intersectan la hipérbola en acordes paralelos YY ', con {Y = F (X), Y' = F (X ')} y {X, X'} son puntos de intersección Del mismo círculo con la línea (v).