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La circunferencia más sencilla.

La circunferencia más simple es el circuncírculo c ₀ de un triángulo equilátero A ₀ B ₀ C ₀ . El polar trilineal del centro O del equilátero es la línea en el infinito. El circuncírculo c ₀ es el incircle del triángulo anticomplementario A ₁ B ₁ C ₁ del equilátero. Los polares trilineales tr ₁ (P ₀ ) de los puntos P ₀ en el infinito con respecto a A ₁ B ₁ C ₁ sobre c ₀ .
Esto se discute en InconicsTangents.html. También se muestra cómo esto generaliza a cónicas arbitrarias inscritas en un triángulo arbitrario.

2. La circunconia general.

Si c es una circunferencia (es decir, circunscrita) del triángulo ABC, entonces el teorema de Pascal para triángulos (ver PascalOnTriangles.html ) implica que las líneas que unen los vértices del triángulo tangencial A''B''C '' de la cónica (formada por las tangentes de la cónica en los vértices de ABC) con vértices opuestos del triángulo pasan a través de un punto P. Esto implica que la circunferencia (c) se puede obtener del circuncírculo c ₀ del equilátero mediante una proyectividad apropiada F.
De hecho , defina F según los requisitos para asignar los vértices del equilátero {A ₀ , B ₀ , C ₀ } a {A, B, C} y su centro (o centroide) O al punto P. Habiendo definido F, se puede aplicar a (c ₀) y obtenga su imagen c '= F (c ₀ ) que es un triángulo circunscrito cónico ABC. Como F conserva las líneas y los contactos y las relaciones cruzadas, el triángulo anticomplementario A ₁ B ₁ C ₁ de ABC se asigna al triángulo A''B''C '' de los asociados armónicos de P con respecto a ABC. Conic c '= F (c ₀ ) pasa a través de los vértices de ABC y tiene allí las mismas tangentes con c. De ahí que coincidan las dos cónicas.
La línea en el infinito L ₀ se asigna por F a la polar trilineal tr (P) y los polares trilineales con respecto a A ₁ B ₁ C de los puntos P ₀ en L ₀se asignan a polares trilineales con respecto a A''B''C '' de puntos Q = F (P ₀ ) en tr (P). Como todas las líneas tr ₁ (P ₀ ) sobre c ₀ (ver IncircleTangents.html ), los polares trilineales tr '' (Q) de los puntos Q en tr (P) también envolverán la cónica c.

Los símbolos tr, tr ₁ y tr '' utilizados anteriormente indican la operación de tomar el tripolar de un punto con respecto a los triángulos ABC y A ₁ B ₁ C ₁ y A''B''C '' respectivamente.

3. Generación por tripoles.

Circumconic c también es el lugar de los tripolares tr (L) de las líneas L a través del punto P. Esto se observa en IsogonalGeneralized.html para el caso del equilátero. El caso general resulta al tomar la imagen por F (o usando coordenadas). La figura indica la relación entre el tripol tr (PQ) de la línea PQ y el punto de contacto Q 'de la tangente tr' '(Q). Los dos puntos junto con P son colineales. Vea el archivo TriangleConics.html para una discusión alternativa utilizando coordenadas.

Circumónica tangente a una recta.

Considere un triángulo ABC y una línea L. El conjunto de circunfones de ABC que son tangentes a la línea L tiene la siguiente estructura.
[1] Construya como de costumbre el polo trilineal (tripolo) de L con respecto al triángulo:
- Sean {A ', B', C '} los puntos de intersección de L con las líneas laterales del triángulo.
- Unir {A ', B', C '} con los vértices {A, B, C} respectivamente para definir las líneas laterales del triángulo preceviano A ₀ B ₀ C ₀ .
- Líneas {AA ₀ , BB ₀ , CC ₀ } cortan en un punto P _L . El polar trilineal de P _Lcon respecto a cualquiera de los triángulos ABC y A ₀ B ₀ C ₀ es la línea L.
[2] Considere un punto arbitrario Q en L y las líneas {QA ₀ , QB ₀ , QC ₀ } uniendo Q a los vértices de A ₀ B ₀ C ₀ . Los puntos de intersección {A '', B '', C ''} de estas líneas con los lados opuestos del triángulo y los puntos {A, B, C} están en una cónica (Q).
[3] c (Q) pasa a través de Q y también es tangente a L en Q. Por lo tanto, es el único paso cónico a través de los vértices de ABC y tangente a L en su punto Q.
[4] El tripolo de L con respecto al triángulo A''B''C '' es un punto Q '
[5] El triángulo tangencial A ₁ B ₁ C ₁ de ABC en relación con la cónica (Q) es una perspectiva de línea a A''B''C '', la perspectiva es la línea L.
[6] El locus de los perspectores de cónicas c (Q) es la cónica inscrita del triángulo con perspector P _L .

El hecho clave es la relación del triángulo ABC con la línea L, expresada a través del tripolo P _L de L con respecto al triángulo. Esta configuración básica depende de los cuatro puntos {A, B, C, P _L }. Podemos reiniciar toda la construcción seleccionando otra ubicación para P _L . Dado que existe una proyectividad única que asigna cuatro puntos en una posición general a otros cuatro puntos en una posición general, podemos usar dicho dispositivo para transferir la prueba a un caso particular.
El caso particular de elección es aquel para el que P _L es el centroide G del triángulo ABC. En este caso la línea L, que es la tripolar de P _L.coincide con la línea en el infinito y el punto Q en esa línea corresponde a una dirección de las líneas. Además el triángulo preceviano correspondiente se convierte en el triángulo antiparalelo A ₀ B ₀ C ₀ de ABC.
Este caso particular se estudia en AnticomplementaryAndCircumparabola.html . Allí se muestra que para cada punto Q en L (es decir, en cada dirección de las líneas) hay una parábola que pasa a través de los vértices de los triángulos ABC y A''B''C ''. El triángulo posterior tiene como vértices las intersecciones de las líneas {QA ₀ , QB ₀ , QC ₀ } con los lados opuestos correspondientemente {B ₀ C ₀ , C ₀ A ₀, A ₀B ₀ } del triángulo A ₀ B ₀ C ₀ .
Todas las propiedades indicadas se verifican trivialmente en este caso particular y transfieren al caso general a través de la projecivity fijación de los vértices de ABC y mapear el centroide G sobre P _L .

Observación Si sigue una construcción fácil de un paso cónico a través de tres puntos no colineales {A, B, C} y tangente a una línea L en un punto Q de la misma.
Sólo hay que dibujar el triángulo preceviano A ₀ B ₀ C ₀(dependiendo de L), cuyos vértices resultan a través de las intersecciones de línea y luego encuentran los puntos {A '', B '', C ''} en sus lados, que resultan también a través de intersecciones de línea simples. Luego, se puede usar la herramienta que construye la única forma cónica hasta cinco de los seis puntos {A, B, C, A '', B '', C ''}.

Circumónica de un trapecio.

La figura de abajo muestra el lápiz de circunferencias de trapecio ABCD. Hay varias propiedades para notar
aquí. Primero el lápiz consta de dos partes. Hiperbolas y elipsis. También hay tres
miembros singulares o degenerados y una parábola. La cónica está determinada por la ubicación del punto P [SteinerVor, II, p. 231].

La parábola (azul) se produce cuando P está en la T media de EF o en cualquier otro punto que no sea {A, B, C, D} de la parábola.

Todos los puntos P en el mismo semiplano de DC con E y fuera de la parábola definen los hipérbolas. Lo mismo sucede
cuando P está dentro de la parábola (su región convexa) y entre los paralelos AB, CD. Lo mismo ocurre también cuando
P está fuera de la parábola y debajo de la línea AB.

Las elipses se obtienen cuando P está en el plano superior de DC y dentro de la parábola. También cuando P está en
la región paralela y fuera de la parábola y también en la región inferior de AB y dentro de la parábola.

Los centros de todas las cónicas del lápiz están en la línea GG ', ya que obviamente este es un diámetro para todos ellos.

Las cónicas singulares son tres en número y están representadas por la unión de las líneas a) {AD, BC}, b) {BD, AC} y
los paralelos {AB, CD}.