Torpedo a la caza de un submarino

Ecuación del movimiento del torpedo

En el triángulo rectángulo de la figura, la base es la diferencia entre el desplazamiento del submarino V·t y la del torpedo x. La altura es la diferencia H-y. Como la dirección de la velocidad del torpedo es la línea recta que pasa por la posición del torpedo y la del submarino en el instante t, tendremos que

o de forma alternativa

Diferenciando ambos miembros con respecto del tiempo

Teniendo en cuenta que dv_y/dt=dv_y/dy·dy/dt=v_y·dv_y/dy

Integramos ambos miembros, sabiendo que el torpedo parte del origen y=0, y su velocidad inicial es v_y=v, dirigida a lo largo del eje Y.

Para resolver la integral de la derecha, se hace el cambio de variable z=1/v_y

Deshaciendo el cambio de variable y evaluando ambas integrales en los límites inferior y superior, se obtiene.

Elevando ambos miembros al cuadrado y despejando v_y

Resolvemos la ecuación diferencial de primer orden

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, el torpedo parte del origen, y=0.

Alternativamente, integramos de nuevo para obtener la ordenada y del torpedo en función del tiempo t.

Para ello, hacemos el cambio de variable z=1-y/H.

Esta es una ecuación implícita de la ordenada y en función del tiempo t.

Una vez obtenida la ordenada y en función del tiempo t, se calcula la abscisa x, mediante la relación deducida al principio de esta página.

Sustituimos el tiempo t y obtenemos la ecuación de la trayectoria

Distintos casos

Cuando la velocidad del torpedo es mayor que la del submarino, v>V.

Cuando y=H ó z=0 se produce el impacto del torpedo y la posible destrucción del submarino.

La posición del punto de impacto es

que es positivo solamente si v>V. La velocidad v del torpedo tiene que ser necesariamente mayor que la velocidad V del submarino para que haya impacto.

El instante t en el que se produce es

Cuando la velocidad del torpedo es menor que la del submarino, v.

El torpedo y el submarino se aproximan hasta una distancia mínima y luego se alejan.

El mínimo se obtiene derivando L respecto de z e igualando a cero.

Haciendo algunas operaciones obtenemos

Cuando la velocidad del submarino y del torpedo es la misma, V=v.

La componente Y de la velocidad del torpedo vale

Hacemos el cambio de variable z=1-y/H para integrar

La ecuación de la trayectoria es

Cuando v→V, la distancia entre el submarino L_min y el torpedo tiende a H/2, como puede comprobarse fácilmente

Ejemplo.

Cuando la velocidad v del torpedo es menor que la del submarino V=1. Por ejemplo, v=0.8.

La distancia de máximo acercamiento es

En la posición

z=0.415, y=0.585

En el instante

La abscisa x se obtiene a partir de la ecuación de la trayectoria