Alcance máximo en un plano inclinado
Alcance
Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθ
vy=v0·senθ-g·t
vy=v0·senθ-g·t
La posición en función del tiempo es
x= v0·cosθ·ty= v0·senθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.
Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelo t, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es
Cambio de Sistema de Referencia
Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.
La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad g y de la velocidad inicial v0 se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son
x=v0·cos(θ-α)·t-g·senα·t2/2
y=v0·sen(θ-α)·t-g·cosα·t2/2
y=v0·sen(θ-α)·t-g·cosα·t2/2
El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.
Sustituimos el valor de t en la primera ecuación
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para θ>α
Alcance máximo
Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.
El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale
El alcance máximo sin cálculo de derivadas
Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:
Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)
Las coordenadas x0 e y0 del punto de impacto están relacionadas y0=x0·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.
Las raíces de la ecuación de segundo grado son
Tenemos dos ángulos de tiro θ1 y el ángulo θ2 que dan lugar al mismo alcance Rm
Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0
Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ1 y el ángulo θ2.
Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ1 y θ2 se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θm=θ1=θ2.
Sustituyendo θm por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página
Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,
Despejamos Rm y sustituimos θm por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para Rm.
El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θm vale
Simplificamos esta expresión hasta llegar a
Velocidad final y velocidad inicial
El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es
Para el ángulo de disparo θm=π/4+α/2
El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares.
Ejemplo
- La velocidad de disparo v0=60 m/s
- La pendiente del plano inclinado α=20º
- El ángulo de disparo θ1=60º
El alcance valeEl tiempo de vuelo vale
- El ángulo de disparo θ1=50º
El alcance valeEl tiempo de vuelo vale
- El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es
El alcance para este ángulo valeEl tiempo de vuelo es
- Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.
Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=200 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθx0=R·cosα, x0=200·cos20º=187.9 mθ1=37.7º, θ2=72.3º, Como vemos θ1+θ2=90+20=110º, y θ1<θm<θ2
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