Apuntes de Cinemática

el movimiento rectilíneo

Regresión lineal

En esta página, se describe el procedimiento de ajuste de los datos experimentales a una línea recta denominado regresión lineal, que se usa en el laboratorio en varias situaciones:

• Para calcular la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo
• Para calcular la constante elástica de un muelle, colocando pesas en un platillo que cuelga de su extremo libre y midiendo la deformación del muelle
• etc.

El programa interactivo al final de esta página, está diseñado para que sea usado, en el Laboratorio de Física para cualquier experiencia que lo requiera. Nos proporciona los valores de:

• La pendiente a de la recta de regresión y el error cometido Δa
• La ordenada en el origen b
• El índice de correlación r. Este índice mide el grado de ajuste de los datos experimentales a la recta

Descripción

Supongamos que estamos midiendo la posición de un móvil en función del tiempo en un movimiento rectilíneo. Si el móvil está libre de fuerzas, esperamos que la relación entre la posición del móvil y el tiempo sea linealx=x₀+vt. Donde x₀ es la posición del móvil en el instante t=0.

Si medimos las posiciones del móvil x₁ y x₂ en los instantes t₁ y t₂, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que podemos determinar las cantidades desconocidas x₀ y v. Ahora bien, esta afirmación solamente es cierta en un experimento ideal libre de errores.

Si efectuamos n medidas de la posición del móvil, el aspecto de la representación gráfica de nuestras medidas puede ser parecido al de la figura más abajo, los puntos de color azul representan los datos experimentales. La relación entre las ordenadas y y las abscisas x de dichos puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas.

Si tomamos únicamente dos puntos para definir la recta el resultado tendría un importante error. Para una mejor estimación de la recta y por tanto, de las magnitudes buscadas, se deberán utilizar las n medidas tomadas.

Supongamos una magnitud física y, relacionada con otra x, mediante la función y=ax+b. Una recta de pendientea cuya ordenada en el origen es b. Las desviaciones ε de los valores de y, véase la figura, serán

• ε₁=y₁-(ax₁+b)
• ε₂=y₂-(ax₂+b)
• ...................
• ε_i=y_i-(ax_i+b)
• ...................
• ε_n=y_n-(ax_n+b)

Sea E(a,b) la suma de los cuadrados de todas estas desviaciones

E(a,b)=(y₁-ax₁-b)²+(y₂-ax₂-b)²+...(y_i-ax_i-b)²+...+(y_n-ax_n-b)²

E(a,b)=∑1n(yi−axi−b)2${\displaystyle E(a,b)=\sum _1^n{(y_i-a{x}_i-b)}^2}$

Los valores que minimizan a E(a,b) son aquellos para los que

∂E∂a=0  ∂E∂b=0${\displaystyle \frac{\partial E}{\partial a}=0\frac{\partial E}{\partial b}=0}$

Se obtiene así, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b cuya solución es

a=n∑1nxiyi−(∑1nxi)(∑1nyi)n∑1nx2i−(∑1nxi)2   b=∑1nyi−a∑1nxin${\displaystyle a=\frac{n\sum _1^n{x}_i{y}_i-\left(\sum _1^n{x}_i\right)\left(\sum _1^n{y}_i\right)}{n\sum _1^n{x}_i^2-{\left(\sum _1^n{x}_i\right)}^2}b=\frac{\sum _1^n{y}_i-a\sum _1^n{x}_i}{n}}$

Expresiones más elaboradas nos permiten determinar el error de a, Δa y el error de b,  Δb

Δa=n√⋅σn∑1nx2i−(∑1nxi)2⎷  σ=∑1n(yi−axi−b)2n−2−−−−−−−−−−√Δb=Δa⋅∑1nx2in−−−−√${\displaystyle \begin{array}{l}\Delta a=\frac{\sqrt{n}\cdot \sigma }{\sqrt{n{\displaystyle \sum _1^n{x}_i^2}-{\left({\displaystyle \sum _1^n{x}_i}\right)}^2}}\sigma =\sqrt{\frac{{\displaystyle \sum _1^n{\left(y_i-a{x}_i-b\right)}^2}}{n-2}}\\ \Delta b=\Delta a\cdot \sqrt{\frac{{\displaystyle \sum _1^n{x}_i^2}}{n}}\end{array}}$

La pendiente de la recta se escribirá a±Δa, y la ordenada en el origen b±Δb. Véase las reglas para expresar una medida y su error de una magnitud.

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.

r=∑1n(xi−<x>)(yi−<y>)∑1n(xi−<x>)2−−−−−−−−−−−−−√∑1n(yi−<y>)2−−−−−−−−−−−−−√${\displaystyle r=\frac{\sum _1^n(x_i-<x>)(y_i-<y>)}{\sqrt{\sum _1^n{(x_i-<x>)}^2}\sqrt{\sum _1^n{(y_i-<y>)}^2}}}$

El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1.

• Cuando r=1, la correlación lineal es perfecta, directa.
• Cuando r=-1, la correlación lineal es perfecta, inversa
• Cuando r=0, no existe correlación alguna, independencia total de los valores X e Y

Regresión lineal

Expresándolo en forma simple, la regresión lineal es una técnica que permite cuantificar la relación que puede ser observada cuando se grafica un diagrama de puntos dispersos correspondientes a dos variables, cuya tendencia general es rectilínea (Figura la); relación que cabe compendiar mediante una ecuación “del mejor ajuste” de la forma:

y = a + bx

(1)

En esta ecuación, “y” representa los valores de la coordenada a lo largo del eje vertical en el gráfico (ordenada); en tanto que “x” indica la magnitud de la coordenada sobre el eje horizontal (absisa). El valor de “a” (que puede ser negativo, positivo o igual a cero) es llamado el intercepto; en tanto que el valor de “b” (el cual puede ser negativo o positivo) se denomina la pendiente ocoeficiente de regresión.

Tabla 1

Serie de datos para el cálculo de una regresión (“a” y “b”) y del coeficiente de correlación (“r”)

Número	Valores de x	Valores de y	Número	Valores de x	Valores de y
1	9,0	0,50	7	6,7	1,00
2	9,4	0,50	8	8,4	0,50
3	7,4	1,23	9	8,0	0,50
4	9,7	1,00	10	10,0	0,50
5	10,4	0,30	11	9,2	0,50
6	5,0	1,50	12	6,2	1,00
			13	7,7	0,50

El procedimiento para obtener valores de “a” y “b” para una serie de pares de datos de “x” y de “y” (tal como la presentada en la Figura 1 y/o en la Tabla 1) es como sigue:

Paso 1	Calcule, para cada par de valores de “x” e “y”, las cantidades “x²”, “y²”, y “x.y”.
Paso 2	Obtenga las sumas (∑) de estos valores para todos los pares de datos de “x” e “y”, así como las sumas del total de los valores de “x” e “y”. Los resultados de los Pasos 1 y 2 aparecerán en forma similar a la siguiente:

Número de pares de datos	x	x²	y	y²	x.y
1	…	…	…	…	…
2	…	…	…	…	…
3	…	…	…	…	…
·
·
·
n	…	…	…	…	…
Monto de las sumas	∑x	∑x²	∑y	∑y²	∑x·y

Paso 3	Estime la pendiente (b) por medio de la relación:
Paso 4	Estime el intercepto (a) por medio de la relación:

A partir de esos valores de “a” y de “b” obtenidos mediante las Ecuaciones 2 y 3, es posible trazar a lo largo de los puntos dispersos de un gráfico la línea recta mejor ajustada a los mismos, y verificar visualmente si tales puntos están bien “expresados” por la línea (Figura 1b).

Estudio práctico del movimiento rectilíneo uniforme

El objetivo de esta práctica simulada, es la medida de la velocidad de un carrito que desliza sin rozamiento a lo largo de un raíl.

Descripción

 Disponemos de un raíl horizontal por el que se mueve el carrito, una regla adosada al raíl, y un cronómetro con dos dispositivos: uno que lo pone en marcha y otro que lo para.

Aceleramos el carrito, mediante una cuerda que pasa por una polea situada en el extremo derecho de la regla. Una pesa que se cambiar pulsando el botón titulado Nuevo, cuelga de la cuerda.

Cuando el carrito pasa por el origen, se deja de acelerar, haciendo que la pesa se detenga sobre un tope. La cuerda deja de actuar sobre el carrito, desde este momento el carrito se mueve con velocidad constante.

Cambiando la pesa cambiamos la fuerza sobre el carrito y su aceleración durante el trayecto que va desde su posición inicial hasta el origen, por tanto, se modifica la velocidad final justo cuando pasa por el origen, que es a su vez la velocidad constante con que realiza el resto del trayecto.

• El cronómetro se pone en marcha cuando el carrito pasa por la flecha que marca el origen de la regla 
• El cronómetro se para cuando el carrito pasa por la segunda flecha  .

De este modo, el cronómetro mide el tiempo que tarda el móvil en desplazarse entre las dos flechas.

 La flecha que marca el origen está fija, no se puede cambiar.

 La segunda flecha se puede desplazar a lo largo de la regla del siguiente modo:

• Se pulsa el botón izquierdo del ratón, cuando el puntero está sobre la flecha.
• Sin dejar de pulsar el botón izquierdo del ratón, se desplaza el ratón.
• Cuando la flecha está situada en la posición deseada se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón.

Para poner en marcha el carrito se pulsa el botón titulado Empieza

Fundamentos físicos

Si el carrito se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme la su posición x en el instante t es proporcional a t de acuerdo a la ecuación

x=x₀+vt

Poniendo en el eje de las ordenadas las medidas de x y en el eje de abscisas los tiempos t, la pendiente de la recta que mejor ajusta nos dará la medida de la velocidad v.

ESTUDIO DE UN MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO. (Caída de una bola por un plano inclinado)

Teoría Cuando dejamos caer una bola de acero por un plano inclinado, nos da la impresión de que cae con rapidez creciente Vamos a comprobar si se trata realmente de un movimiento uniformemente acelerado. Para que lo sea, debe experimentar aceleración y ser ésta constante. Material Carril de deslizamiento Bola de acero Taco de madera (nos arreglaremos con el libro) Un cronómetro que aprecie por lo menos hasta décimas de segundo (los relojes digitales suelen tenerlo). Procedimiento Prepara el montaje de la figura. En el carril están marcadas las distancias. 20 cm y 40 cm el final corresponde a 60 cm. Sujeta la bola en el punto del carril marcado como 0 (mejor si la retienes con un objeto como un bolígrafo). Suelta la bola (sin lanzarla) al mismo tiempo que pones el cronometro en marcha (esto lo hará la misma persona). Para el cronómetro justo cuando la bola pase por la marca de 20 cm. Haz lo mismo cuando pase por la de 40 cm. Igual cuando llegue al final del carril (60 cm). Para cada una de las distancias recorridas medirás el tiempo cuatro veces y luego calcularás la media de los valores obtenidos Prueba con una bola de distinta masa y repite la experiencia. Anota los tiempos. Igual cuando llegue al final del carril (60 cm). Para cada una de las distancias recorridas medirás el tiempo cuatro veces y luego calcularás la media de los valores obtenidos. Prueba con una bola de distinta masa y repite la experiencia. Anota los tiempos. Resultados y trabajo para después Completa la tablla siguiente: Espacio recorrido (cm) 0 20 40 60 Tiempo (s) 0 Tiempo al cuadrado 0 Representa la grafica espacio _ tiempo. Representa la grafica distancia _ tiempo al cuadrado. Interpreta la forma de cada una de las gráficas. ¿Qué es la velocidad media? Calcula su valor. Defineaceleración, indica su valor. ¿Influye la masa de la bola en la rapidez con la que alcanza las distintas marcas? Busca información sobre Galileo e indica si realizó algún experimento parecido al que tu acabas de hacer. Haz un breve resumen del mismo. Estudio práctico del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado El objetivo de esta práctica simulada es la medida de la aceleración de un carrito que desliza impulsado por una fuerza constante a lo a lo largo de un raíl. Descripción  Disponemos de un raíl horizontal por el que se mueve el carrito, una regla adosada al raíl, y un cronómetro con dos dispositivos: uno que lo pone en marcha y otro que lo para. Aceleramos el carrito, mediante una cuerda que pasa por una polea situada en el extremo derecho de la regla. Una pesa que se puede cambiar pulsando el botón titulado Nuevo, cuelga de la cuerda.  En esta práctica, el carrito se sitúa en el origen y la fuerza que se ejerce sobre el carrito actúa durante todo su recorrido. El movimiento es uniformemente acelerado. El resto de la práctica es semejante a la anterior. El cronómetro se pone en marcha cuando el carrito pasa por la flecha que marca el origen de la regla  El cronómetro se para cuando el carrito pasa por la segunda flecha  . De este modo, el cronómetro mide el tiempo que tarda el móvil en desplazarse entre las dos flechas.  La flecha que marca el origen está fija, no se puede cambiar.  La segunda flecha se puede desplazar a lo largo de la regla del siguiente modo: Se pulsa el botón izquierdo del ratón cuando el puntero está sobre la flecha. Sin dejar de pulsar el botón izquierdo del ratón, se desplaza el ratón. Cuando la flecha está situada en la posición deseada se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón. Para poner en marcha el carrito se pulsa el botón titulado Empieza Fundamentos físicos En las ecuaciones del  movimiento es uniformemente acelerado la velocidad es una función lineal del tiempo, pero no así la posición del móvil. Por lo que solamente se puede aplicar el procedimiento de la regresión lineal a una tabla de datos tiempo-velocidad, pero la experiencia nos suministra una tabla de datos tiempo-desplazamiento. Por tanto, tenemos que obtener una tabla tiempo-velocidad, a partir de una tabla de datos tiempo-desplazamiento. Si suponemos que el movimiento es uniformemente acelerado, vamos a demostrar que la velocidad media del móvil entre los instantes t1 y t2 es igual a la velocidad en el instante intermedio (t1+t2)/2. En efecto, Sea x1 la posición del móvil en el instante t1 Sea x2 la posición del móvil en el instante t2.  La velocidad media del móvil entre los instantes t1 y t2 es <v>=x2−x1t2−t1${\displaystyle <v>=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}}$ Podemos expresar la posición x2 en términos de la posición inicial x1 y de la velocidad inicial v1. x2=x1+v1(t2−t1)+12a(t2−t1)2${\displaystyle x_2=x_1+v_1(t_2-t_1)+\frac{1}{2}a{(t_2-t_1)}^2}$ La velocidad media vale entonces <v>=v1+a(t2−t12)${\displaystyle <v>=v_1+a\left(\frac{t_2-t_1}{2}\right)}$ Que como podemos comprobar es la velocidad en el instante intermedio entre t1 y t2 <v>=v1+a(t2+t12−t1)${\displaystyle <v>=v_1+a\left(\frac{t_2+t_1}{2}-t_1\right)}$ La velocidad media en el intervalo comprendido entre el instante t1 y t2 es igual a la velocidad en el instante (t1+t2)/2 intermedio en entre dichos instantes. Por tanto, para transformar una tabla tiempo-desplazamiento en otra tiempo-velocidad, procedemos del siguiente modo: En la tabla de desplazamientos calculamos la velocidad media entre los instantes t1 y t2 mediante la fórmula <v>=x2−x1t2−t1${\displaystyle <v>=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}}$ Dicha velocidad se la asignamos al instante (t1+t2)/2. Ejemplo: Tiempo (s) desplazamiento (cm) tiempo (s) velocidad (cm/s) 5.1 5 6.15 2.38 7.2 10 8 3.125 8.8 15 9.45 3.846 10.1 20 10.75 3.846 11.4 25 11.9 5 12.4 30 12.9 5 13.4 35 13.85 5.56 14.3 40 14.65 7.14 15 45