Álgebra lineal

Factorizaciones de matrices

Dada una matriz ${\displaystyle A}$, de dimensiones ${\displaystyle m\times n}$ y de rango ${\displaystyle r}$, una factorización de rango de ${\displaystyle A}$ es un factorización de la forma ${\displaystyle A=CF}$, donde ${\displaystyle C}$ es una matriz ${\displaystyle m\times r}$ y ${\displaystyle F}$es una matriz ${\displaystyle r\times n}$.

Para construir una factorización de este tipo se puede calcular ${\displaystyle B}$, la forma escalonada reducida de ${\displaystyle A}$. Entonces ${\displaystyle C}$ se obtiene eliminando de ${\displaystyle A}$ todas las columnas que no son columnas pivote, y ${\displaystyle F}$ eliminando todas las filas de ceros de ${\displaystyle B}$.

metal

Demostración

Sea ${\displaystyle P}$ una matriz ${\displaystyle n\times n}$ de permutación tal que ${\displaystyle AP=(C,D)}$ en en forma de bloques, donde las columnas de ${\displaystyle C}$ son las ${\displaystyle r}$ columnas pivote de ${\displaystyle A}$. Cada columna de ${\displaystyle D}$es una combinación lineal de las columnas de ${\displaystyle C}$, luego hay una matriz ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle D=CG}$, donde las columnas de ${\displaystyle G}$ contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Así pues, ${\displaystyle AP=(C,CG)=C(I_{r},G)}$, siendo ${\displaystyle I_{r}}$ la matriz identidad ${\displaystyle r\times r}$. Mostraremos a continuación que ${\displaystyle (I_{r},G)=FP}$.

Transformar ${\displaystyle AP}$ en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz ${\displaystyle E}$ que es un producto de matrices elementales, con lo que ${\displaystyle EAP=BP=EC(I_{r},G)}$, donde ${\displaystyle EC={\begin{pmatrix}I_{r}\\0\end{pmatrix}}}$. Podemos entonces escribir ${\displaystyle BP={\begin{pmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}}$, lo que nos permite identificar ${\displaystyle (I_{r},G)=FP}$, es decir, las ${\displaystyle r}$ filas no nulas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación de columnas que aplicamos a la matriz ${\displaystyle A}$. Tenemos, por tanto, que ${\displaystyle AP=CFP}$, y como ${\displaystyle P}$ es invertible, esto implica que ${\displaystyle A=CF}$, lo que completa la prueba.

Factorizaci´on de rango completo y aplicaciones .- .................................................:http://matematicas.uclm.es/cedya09/archive/textos/7_Urbano-Salvador-A.pdf

Álgebra lineal numérica

Los algoritmos de pivote (o algoritmos de cambio de base) son algoritmos de la optimización matemática, y en especial de la Programación Lineal. Dado un sistema de ecuaciones lineales cuyas variables deben adoptar valores no negativos (esencialmente lo mismo que un sistema de inecuaciones lineales), se busca la mejor de entre muchas soluciones alternativas, es decir, una solución óptima del sistema. En cada paso de tal búsqueda, el algoritmo transforma el sistema sin alterar su conjunto de soluciones. Algoritmos de pivote importantes son los diversos algoritmos simplex^1 2 y los algoritmos criss-cross.³

Los algoritmos de pivote son de gran importancia para el tratamiento de inecuaciones lineales, donde juegan un papel análogo al de la eliminación de Gauss paraecuaciones lineales. Se encuentran numerosas aplicaciones² de sistemas de inecuaciones en áreas tan diversas como la investigación de operaciones industriales, eltransporte y distribución de bienes, en carteras de valores, la ingeniería estructural, la estadística, y la teoría de juegos. Frecuentemente se abordan sistemas con decenas de miles de variables. .- ...............................................................:https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_pivote