Matemáticas - Polinomios

Los polinomios de Hermite son un ejemplo de polinomios ortogonales que encuentran su principal ámbito de aplicaciones en mecánica cuántica, sobre todo en el estudio del oscilador armónico unidimensional. Son nombrados así en honor de Charles Hermite.

Los cinco primeros polinomios de Hermite (probabilísticos').

Definición

Los polinomios de Hermite se definen como:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

(los "polinomios de Hermite probabilísticos") o, a veces, como (los "polinomios de Hermite físicos"):

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}$

Estas dos definiciones no son exactamente equivalentes; una es un reescalado trivial de la otra:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x)\,\!}$.

Los polinomios físicos pueden expresarse como:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1!}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}}(2x)^{n-4}-\dots }$

Propiedades

Ortogonalidad

${\displaystyle \displaystyle {H_{n}}}$ es un polinomio de grado n, con n = 0, 1, 2, 3, .... Estos polinomios son ortogonales con respecto de la función peso (medida)

${\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}$ (probabilista)

o

${\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!}$ (física)

es decir

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx}$

${\displaystyle =n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}$ (probabilista)

o

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={n!2^{n}}{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}$ (física)

donde δ_ij es la delta de Kronecker, que vale la unidad cuando n = m y cero en otro caso. Los polinomios probabilísticos son ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal.

Función generadora

${\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)t^{n}}{n!}}}$

Fórmulas de recurrencia

Los polinomios de Hermite (en su forma "física") satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:

${\displaystyle H_{n+1}^{\mathrm {phys} }(x)=2xH_{n}^{\mathrm {phys} }(x)-2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}$

${\displaystyle {H'}_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}$

Descomposición en serie de funciones

Toda función f continua puede expresarse como serie infinita en términos de polinomios de Hermite:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)=A_{0}H_{0}(x)+A_{1}H_{1}(x)+A_{2}H_{2}(x)+\ldots }$

Donde las constantes de la anterior serie vienene dados por:

${\displaystyle A_{k}={\frac {1}{2^{k}k!{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)H_{k}(x)\ dx}$

Otros resultados

${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\,}$

${\displaystyle H_{2n-1}(0)=0\,}$

${\displaystyle H_{2n}^{\mathrm {phys} }(0)=(-1)^{n}2^{n}(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))}$

Ecuación diferencial de Hermite

Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial de Hermite:¹

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+2ny=0}$

que en forma canónica puede escribirse como:

${\displaystyle {\frac {1}{e^{-x^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left(e^{-x^{2}}{\frac {dy}{dx}}\right)+2ny=0}$

 polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}$

Desarrollando ${\displaystyle y}$ en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

${\displaystyle a_{k+1}={\frac {k-n}{(k+1)^{2}}}a_{k},\ \ k=0,1,2,...;\ \ \ y(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\,}$

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por L_n(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general ${\displaystyle y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0}$.

Definición

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:

${\displaystyle L_{n}(x)=(1/(n!))e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})}$

Que tras desarrollar queda de la forma:

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-k)!k!k!}}x^{k}}$

algunos de estos polinomios son:

n	${\displaystyle L_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle -x+1\,}$
2	${\displaystyle (1/2)(x^{2}-4x+2)\,}$
3	${\displaystyle (1/6)(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}$
4	${\displaystyle (1/24)(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}$
5	${\displaystyle (1/120)(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}$
6	${\displaystyle (1/720)(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}$

Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt}$

Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.

Función generatriz

La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:

${\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {L_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}t^{n}\ \ \ |t|<1 annotation="">$

Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:

${\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}t^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}}$

Que sabiendo que ${\displaystyle \ \scriptstyle \sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}=\left({\frac {1}{1-t}}\right)^{k+1}\ \ \forall \ |t|<1 annotation="">$, y después de reagrupar queda de la forma:

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{1-t}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)^{k}={\frac {1}{1-t}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}}$

Relaciones de recurrencia

A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:

${\displaystyle L_{n+1}(x)=((2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x))/(n+1)\,}$

Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.

Ortogonalidad

Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:

${\displaystyle \left\langle L_{n}|L_{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x}dx=(n!)^{2}\delta _{nm}}$

No obstante podemos definir las funciones:

${\displaystyle \varphi _{n}(x)={\frac {1}{n!}}L_{n}(x)e^{-x/2}}$

Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:

${\displaystyle \left\langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{m}(x)dx=\delta _{nm}}$

Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:

${\displaystyle x\varphi _{n}''(x)+\varphi _{n}'(x)+\left(n+{\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)\varphi _{n}(x)=0}$

Polinomios asociados de Laguerre

También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle xy''(x)+(m+1-x)y'(x)+ny(x)=0\,}$

Definición

Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:

${\displaystyle L_{n}^{m}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\right)\ \ \ m\leq n}$

Aunque en ocasiones puede resultar ventajosa la siguiente definición:

${\displaystyle L_{n}^{m}(x)=e^{x}{\frac {x^{-m}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(e^{-x}x^{n+m})}$

Puede comprobarse que para m > n el polinomio asociado correspondiente vale 0. Asimismo, salta a la vista que ${\displaystyle \scriptstyle L_{n}^{0}(x)=L_{n}(x)}$.

Derivando, según la definición se obtiene:

${\displaystyle L_{n}^{m}(x)=\sum _{k=0}^{n-m}(-1)^{k}{n \choose k+m}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n-m}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-m-k)!(k+m)!k!}}x^{k}}$

Función generatriz y relaciones de recurrencia

La función generatriz viene dada por:

${\displaystyle \psi _{m}(x,t)=(1-t)^{m+1}\sum _{n=m}^{\infty }L_{n}^{m}(x)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{m+1}}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}\ \ \ |t|<1 annotation="">$

De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:

${\displaystyle L_{n}^{m}(x)=L_{n}^{m+1}(x)-L_{n-1}^{m+1}(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=-L_{n-1}^{m+1}(x)}$

${\displaystyle nL_{n}^{m}(x)=(n+m)L_{n-1}^{m}(x)-xL_{n-1}^{m+1}(x)}$

${\displaystyle (n+1)L_{n+1}^{m}(x)=(2n+m+1-x)L_{n}^{m}(x)-(n+m)L_{n-1}^{m}(x)}$

${\displaystyle x{\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=nL_{n}^{m}(x)-(n+m)L_{n-1}^{m}(x)}$

Ortogonalidad

Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso ${\displaystyle \scriptstyle x^{m}e^{-x}}$. Se cumple que:

${\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|L_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}\delta _{nn'}}$

Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:

${\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|xL_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}(2n+m+1)\delta _{nn'}}$

Donde ${\displaystyle \scriptstyle \Gamma (k)}$ es la función Gamma.

Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:

${\displaystyle \varphi _{nm}(x)={\sqrt {\frac {n!}{\Gamma (n+m+1)}}}e^{-x/2}x^{m/2}L_{n}^{m}(x)}$

Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}}$ (debido a la forma que toma la integral de volúmen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:

${\displaystyle R_{nl}(\rho )=Ne^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n+l}^{2l+1}(\rho )}$

En general las funciones construidas de la forma:

${\displaystyle \varphi _{nm\nu }(x)=e^{-x/2}x^{\nu }L_{n}^{m}(x)}$

Son ortogonales respecto de la función peso ${\displaystyle \scriptstyle x^{m-2\nu }}$ y son solución de la ecuación:

${\displaystyle x\varphi _{nm\nu }''(x)+(m+1-2\nu )\varphi _{nm\nu }'(x)+\left[n+{\frac {m+1}{2}}-{\frac {x}{4}}+{\frac {\nu (\nu -m)}{x}}\right]\varphi _{nm\nu }=0}$

Relación con los polinomios de Hermite

Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:

${\displaystyle L_{n}^{-1/2}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}n!}}H_{2n}({\sqrt {x}})}$

${\displaystyle L_{n}^{1/2}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n+1}n!}}{\frac {H_{2n+1}({\sqrt {x}})}{\sqrt {x}}}}$