ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

 álgebra abstracta, ocasionalmente llamada álgebra moderna, es la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo (a veces llamado campo) o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas.

En álgebra abstracta, los elementos combinados por diversas operaciones generalmente no son interpretables como números, razón por la cual el álgebra abstracta no puede ser considerada una simple extensión de la aritmética. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.

El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna".

Historia y ejemplos[editar]

Definición histórica[editar]

Birkhoff y McLane nos dicen:

"Se puede definir el álgebra abstracta como el estudio de las propiedades de los sistemas algebraicos que se conservan en los isomorfismos."

Vid pág. 37 de su Álgebra Moderna (1960), Barcelona

Históricamente, algunos temas surgieron en alguna disciplina diferente al álgebra -caso de espacios lineales y álgebra de Boole-. Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática y fuera de ella.

Listado de sistemas algebraicos[editar]

Con una sola operación matemática son los:

• Cuasigrupos
• Semigrupos
• Monoides
• Grupos

Con dos o más operaciones son:

• Dominios de integridad
• Anillos y cuerpos
• Módulos y Espacios vectoriales
• Álgebras asociativas y Álgebras de Lie
• Retículos y álgebras de Boole

El álgebra universal es un campo de las matemáticas que provee del formalismo para comparar las diferentes estructuras algebraicas. Más allá de las estructuras anteriores pueden definirse otro tipo de estructuras algebraicas:

• Álgebra homológica
• Lenguajes formales (concebidos como cadenas de signos bien formados)
• Álgebra sobre un cuerpo

Un ejemplo[editar]

El estudio sistemático del álgebra ha permitido a los matemáticos llevar bajo una descripción lógica común conceptos aparentemente distintos. Por ejemplo, podemos considerar dos operaciones bastante distintas: la composición de aplicaciones, ${\displaystyle f(g(x))}$, y el producto de matrices, ${\displaystyle AB}$. Estas dos operaciones son, de hecho, la misma. Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadradas ${\displaystyle (AB)}$ por un vector de una columna, ${\displaystyle x}$. Esto, de hecho, define una función que es equivalente a componer ${\displaystyle Ay}$ con ${\displaystyle Bx}$ ${\displaystyle Ay}$ = ${\displaystyle A(Bx)}$ = ${\displaystyle (AB)x}$. Las funciones bajo composición y las matrices bajo multiplicación forman estructuras llamados monoides. Un monoide bajo operación es asociativo para todos sus elementos ${\displaystyle ((ab)c=a(bc))}$ y contiene un elemento ${\displaystyle e}$ tal que, para cualquier valor de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle ae=ea=a}$. Ciertamente, que dos conjuntos isomorfos se consideran idénticos, lo que interesan son las operaciones y sus leyes en dichos conjuntos.

álgebra homológica es un campo de las matemáticas que estudia la homología en un marco algebraico general. Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes pueden remontarse a investigaciones en topología combinatoria (un precursor de la topología algebraica) y en álgebra abstracta (teoría de módulos y sizigia) de fines del siglo XIX, lideradas por Henri Poincaré y David Hilbert.

En general se hace coincidir la fundación de esta disciplina con la aparición de Homological Algebra de Henri Cartan y Samuel Eilenberg (1956),¹​ hoy convertida en una obra clásica. Más tarde, Alexander Grothendieckrealizó un aporte relevante que generaliza el planteamiento de Cartan y Eilenberg aplicándolo a las categorías abelianas.²​ De este modo, el desarrollo ulterior del álgebra homológica está estrechamente relacionado con la emergencia de la teoría de categorías.

categoría abeliana es una categoría en la cual los morfismos tienen estructura de grupo abeliano, existen tanto núcleos y conúcleos y tienen propiedades deseables. El ejemplo usual de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos Ab. La teoría tiene su origen como un intento de unificar varias teorías de cohomologia por Alexander Grothendieck. Las categorías abelianas son categorías muy estables, por ejemplo son regulares y satisfacen el lema de la serpiente. La clase de categorías abelianas es cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo la categoría de complejos de cadenas de una categoría abeliana o la categoría de funtores de una categoría pequeña abeliana es una categoría abeliana, estas propiedades estables son inevitables en álgebra homológica, está teoría tiene sus mayores aplicaciones en geometría algebraica, cohomología y teoría de categorías.

Definición[editar]

Una categoría C es abeliana si

• Tiene objeto cero.
• Tiene todos los productos fibrados y coproductos fibrados.
• Todos los monomorfismos y epimorfismos son normales.

Debido a un teorema de Peter Freyd, está definición es equivalente a la siguiente:

• Una categoría es preaditiva si todos los conjuntos de homomorfismos son grupos abelianos, tiene objeto cero, y la composición de morfismos es bilineal.
• Una categoría preaditiva es aditiva si todo par de objetos tiene un producto.
• Finalmente, una categoría preaditiva es abeliana si todo monomorfismo y epimorfismo es normal. Esto significa que todo monomorfismo

es el núcleo de algún morfismo y que todo epimorfismo es el conúcleo de algún morfismo.

La estructura de grupo abeliano en cada conjunto de homomorfismos es una consecuencia de los tres axiomasde la primera definición, esto muestra la importancia fundamental de la categoría de grupos abelianos en la teoría y su naturaleza canonica.

El concepto de sucesión exacta surge de manera natural en este entorno y da lugar a el concepto de funtor exacto i.e. el funtor preserva sucesiones exactas, estos son los funtores que conciernen a las categorías abelianas. El concepto de exactitud ha sido axiomatizado en la teoría de categorías exactas formando un caso muy especial de categorías regulares.

Ejemplos[editar]

• Como ha sido mencionado, la categoría de grupos abelianos Ab es una categoría abeliana. La categoría de grupos abelianos finitamente generados es una categoría abeliana como la categoría de todos los grupos abelianos finitos.

• Si R es un anillo entonces la categoría de todos los R módulos izquierdos o derechos es una categoría abeliana, de hecho se puede mostrar que cualquier categoría abeliana pequeña es equivalente a una subcategoría plena de una categoría de módulos (teorema de encaje de Mitchell).

• Si R es un anillo noetheriano izquierdo entonces la categoría de R módulos izquierdos finitamente generados es abeliana, en particular la categoría de módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativonoetheriano es abeliana. De esta forma las categorías abelianas aparecen en álgebra conmutativa.

• Un caso especial de los dos ejemplos anteriores: la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K es abeliana como la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre K es abeliana.

• Si X es un espacio topológico entonces la categoría de todos los (reales o complejos) fibrados vectoriales en X en general no es una categoría abeliana ya que pueden existir monomorfismos que no son el núcleo de algún morfismo.

• Si X es un espacio topológico entonces la categoría de todas las gavillas de grupos abelianos en X es una categoría abeliana. Más generalmente la categoría de gavillas de grupos abelianos en una topología de Grothendieck es una categoría abeliana. De esta forma las categorías abelianas aparecen en topología algebraica y geometría algebraica.

• Si C es una categoría pequeña y A una categoría abeliana entonces la categoría de funtores de C en A es una categoría abeliana (los morfismos entre los funtores son transformaciones naturales). Si C es una categoría pequeña y preaditiva entonces la categoría de funtores aditivos de C en A forman también una categoría abeliana. Lo último es una generalización del ejemplo de R módulos ya que un anillo puede ser considerado como una categoría preaditiva con un único objeto.

Axiomas de Groethendieck[editar]

En su artículo de Tôhoku, Grothendieck enlisto cuatro axiomas adicionales (y sus duales) que una categoría abeliana A debería de cumplir. Estos axiomas. Son los siguientes:

• AB3) Para cualquier conjunto {A_i} de objetos de A el coproducto ∐A_i existe en A.
• AB4) A safisface AB3), y el coproducto de una familia de monomorfismos es un monomorfismo.
• AB5) A satisface AB3), y colimites filtrados de sucesiones exactas son exactas.

Y sus duales:

• AB3*) Para cualquier conjunto {A_i} de objetos de A el producto ΠA_i existe en A.
• AB4*) A satisface AB3*), y el producto de una familia de epimorfismos es un epimorfismo.
• AB5*) A satisface AB3*) y limites filtrados de sucesiones exactas son exactas.

Los axiomas AB1) and AB2) también fueron dados. Estos son los que hacen de una categoría aditiva que sea abeliana. Específicamente son:

• AB1) Todo morfismo tiene núcleo y conúcleo.
• AB2) Para cualquier morfismo f, el morfismo canonico de coim f a im f es un isomorfismo.

Groethendieck también dio axiomas AB6) y AB6*).

Propiedades elementales[editar]

Dado cualquier par de objetos A, B en una categoría abeliana existe un morfismo "especial", el morfismo cero de A a B. Esté puede ser definido como el único elemento cero del conjunto de homomorfismos Hom(A,B), ya que esté es un grupo abeliano. De forma alterna, puede ser definido como la única composición A → 0 → B, donde 0 es el objeto cero de la categoría.

En una categoría abeliana, todo morfismo f se puede escribir como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Esté epimorfismo recibe el nombre de coimagen of f mientras que el monomorfismo es llamado la imagen de f.

Toda categoría abeliana A es un módulo sobre la categoría monoidal de grupos abelianos finitamente generados, esto es, podemos formar el producto tensorial de un grupo abeliano finitamente generado G y cualquier objeto Ade A.

Conceptos Relacionados[editar]

Las categorías abelianas son el marco usual para el estudio del álgebra homológica. En las categorías abelianas surgen de forma natural los conceptos de sucesiones exactas, sucesiones exactas cortas, funtores derivadosentre otros. Algunos ejemplos de teoremas importantes en el estudio de categorías abelianas son el lema del quinto, lema del quinto corto y el lema de la serpiente entre otros.

Historia[editar]

El concepto de categoría abeliana fue introducido por Buchsbaum (1955) (con el nombre de categorías exactas) y Grothendieck (1957) con la intención de unificar varias teorías de cohomología, en ese entonces se encontraban la teoría de cohomología de gavillas y la teoría de cohomología de grupos. Ambas fueron definidas de forma distinta pero tenían propiedades semejantes. De hecho bastante teoría de la teoría de categorías fue desarrollada como un lenguaje para estudiar estas semejanzas. Grothendieck unificó ambas teorías.