ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

 cinta de Pascal se refiere a una técnica para determinar si un número entero ${\displaystyle N}$ es divisible por otro número entero ${\displaystyle D}$ utilizando la estructura de números de ${\displaystyle N}$ en una base ${\displaystyle B}$. Los fundamentos teóricos de este método, se demuestran mediante la teoría de congruencia de números enteros. La cinta de Pascal permite calcular la clase de congruencia de ${\displaystyle NmodD}$ (mod = módulo).

Blaise Pascal propuso su método antes de que se estableciera esta teoría en De numeribus multiplicibus¹​.

Durante todo el artículo, ${\displaystyle N}$ es el número del que queremos conocer la divisibilidad con el número ${\displaystyle D}$, y ${\displaystyle B}$ es la base en la que se encuentra ${\displaystyle N}$.

Construcción de una cinta de Pascal[editar]

El principio de la Cinta de Pascal es identificar para cada potencia de la base ${\displaystyle B}$, el resto de la división euclídeaentre ${\displaystyle D}$.

Para una base ${\displaystyle B=10}$ y ${\displaystyle D=7}$ sería:

• ${\displaystyle 10^{0}=0*7+1}$
• ${\displaystyle 10^{1}=1*7+3}$
• ${\displaystyle 10^{2}=14*7+2}$
• ${\displaystyle 10^{3}=142*7+6}$
• ${\displaystyle 10^{4}=1428*7+4}$
• ${\displaystyle 10^{5}=14285*7+5}$
• ${\displaystyle 10^{6}=142857*7+1}$
• ${\displaystyle 10^{7}=1428571*7+3}$
• ${\displaystyle 10^{8}=14285714*7+2}$
• ${\displaystyle 10^{9}=142857142*7+6}$

Vemos que se siempre se repite la serie 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1... La parte de los restos forman la Cinta de Pascal en una base ${\displaystyle B}$ por el divisor ${\displaystyle D}$. Esta Cinta de Pascal es la que utilizaremos para saber si un número ${\displaystyle N}$ es divisible por otro número ${\displaystyle D}$.

Las primeras cintas de Pascal en base 10[editar]

Las primeras cintas de Pascal en base decimal (base 10) son las siguientes:

1. 0…
2. 1, 0…
3. 1, 1…
4. 1, 2, 0…
5. 1, 0…
6. 1, 4, 4…
7. 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6…
8. 1, 2, 4, 0…
9. 1, 1…

Uso de una Cinta de Pascal para la divisibilidad[editar]

La utilización de una cinta de Pascal para probar la divisibilidad de un número, pasa por la transformación de ese número en otro número más pequeño, que tiene el mismo resto al realizar la división por ${\displaystyle D}$.

Por ejemplo, para saber si el número 123 456 789 es divisible entre 3.

La Cinta de Pascal de 3 es 1, 1, 1, 1, 1… Por lo que el nuevo número es: ${\displaystyle 1\times 1+1\times 2+1\times 3+1\times 4+1\times 5+1\times 6+1\times 7+1\times 8+1\times 9=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45}$.

¿Será 123 456 789 divisible entre 7? Comenzamos alineando la Cinta de Pascal de 7 con el número desde la derecha, por lo que escribimos el número revés, quedaría:

• 9 8 7 6 5 4 3 2 1
• 1 3 2 6 4 5 1 3 2

A continuación sumamos los productos entre elementos de la Cinta de Pascal: ${\displaystyle 9\times 1\dotplus 8\times 3\dotplus 7\times 2\dotplus 6\times 6\dotplus 5\times 4\dotplus 4\times 5\dotplus 3\times 1\dotplus 2\times 3\dotplus 1\times 2=134}$. Como sigue siendo un número muy grande, lo podemos repetir para simplificar más el número:

• 4 3 1
• 1 3 2

Volvemos a sumar los productos entre los elementos de la Cinta de Pascal: ${\displaystyle 4\times 1+3\times 3+1\times 2=15}$. Podemos simplificar aún más el número, lo que nos daría:

• 5 1
• 1 3

${\displaystyle 5+3=8}$, que no es un múltiplo de 7, por lo que el número 123 456 789 no es múltiplo de 7, al igual que el número 134 y el 15. Por otro lado, también sabemos el resto de todos estos números (8, 15, 134 y 123456789) entre 7, que es 1.

Por conveniencia, podemos escribir la Cinta de Pascal de derecha a izquierda, y mantener el orden natural de escritura de los números.

Corrección del criterio de divisibilidad[editar]

La explicación del funcionamiento de las Cintas de Pascal se hacen naturalmente a través de la teoría de congruencia de números enteros, donde se dice que un número ${\displaystyle A}$ es congruente con ${\displaystyle B}$ módulo ${\displaystyle C}$, Si para la división euclídea de ${\displaystyle A}$ entre ${\displaystyle C}$, se obtiene de resto ${\displaystyle B}$ (O lo que es lo mismo que ${\displaystyle A-B}$ es un múltiplo de ${\displaystyle C}$). Se anota de la forma ${\displaystyle A\equiv B{\pmod {C}}}$.

Por ejemplo:

• ${\displaystyle 8\equiv 13\equiv 3{\pmod {5}}}$ dónde ${\displaystyle 8-13}$ y ${\displaystyle 8-3={\dot {5}}}$ (Múltiplo de 5).
• ${\displaystyle 100\equiv 4{\pmod {12}}}$ dónde ${\displaystyle 100-4={\dot {12}}}$ (Múltiplo de 12).

Dos propiedades importantes de las congruencias son:

1. Si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle {\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}\Rightarrow a\times c\equiv b\times d{\pmod {m}}}$.
2. Si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle {\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}\Rightarrow a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}$.

El objetivo es demostrar que la suma de productos es congruente con el mismo número:

• ${\displaystyle B^{i}\equiv r_{i}\mod D}$ por construcción,
• ${\displaystyle c_{i}\times B^{i}\equiv c_{i}\times r_{i}\mod D}$ por el producto de las congruencias (Propiedad 1),
• ${\displaystyle N=\sum _{i}c_{i}\times B^{i}\equiv \sum _{i}c_{i}\times r_{i}\mod D}$ por suma de congruencias (Propiedad 2)

La consecuencia directa es que si ${\displaystyle N}$ es un múltiplo de ${\displaystyle D}$, entonces ${\displaystyle \sum _{i}c_{i}\times r_{i}}$ también lo es.

${\displaystyle c_{i}}$ es la cifra en la escritura de ${\displaystyle N}$ en base ${\displaystyle B}$.

${\displaystyle r_{i}}$ es el elemento de la cinta de Pascal de ${\displaystyle D}$ en base ${\displaystyle B}$.

Algunas propiedades de la Cinta de Pascal[editar]

• El número de restos posibles entre la división por ${\displaystyle D}$ es finito e igual a ${\displaystyle D}$ (de 0 hasta ${\displaystyle D-1}$). Por lo cual obligatoriamente se repite.
• Si en la Cinta de Pascal aparece el ${\displaystyle 0}$, todos los siguientes elementos son ${\displaystyle 0}$ porque si ${\displaystyle B^{p}}$ es un múltiplo de ${\displaystyle D}$, todas las siguientes potencias, que son múltiplos de ${\displaystyle B^{p}}$, son también múltiplos d e ${\displaystyle D}$. En este caso, a partir del rango de ${\displaystyle p}$, la Cinta de Pascal es constante, es decir periódico y con periodo ${\displaystyle 1}$.
• Si el ${\displaystyle 0}$ no aparece, y uno de los restos diferentes a ${\displaystyle 0}$ se repite, entonces ${\displaystyle B^{p}}$ es congruente con ${\displaystyle B^{m}}$, por lo cual ${\displaystyle B^{p+k}}$ es congruente con ${\displaystyle B^{m+k}}$, con lo que se demuestra, que la Cinta de Pascal es, a partir del rango de ${\displaystyle p}$ periódica y de periodo ${\displaystyle m-p}$. El número de restos posibles (El ${\displaystyle 0}$ excluido) es ${\displaystyle D-1}$, y el periodo es menor o igual a ${\displaystyle D-1}$.
• Se obtiene una Cinta de Pascal, donde su funcionamiento (Que determina el tipo de congruencia con módulo ${\displaystyle c}$ de un número) , es igual que cuando reemplazamos cada número de la Cinta de Pascal por cualquier número que sea congruente con el módulo ${\displaystyle c}$. Por ejemplo, para ${\displaystyle c=7}$, una Cinta de Pascal equivalente a ${\displaystyle 1,3,2,6,4,5...}$ es ${\displaystyle 1,3,2,-1,-3,-2...}$

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros ${\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural ${\displaystyle m\,\neq \,0}$, llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

que se expresa diciendo que ${\displaystyle a\,}$ es congruente con ${\displaystyle b\,}$ módulo ${\displaystyle m\,}$. Las siguientes expresiones son equivalentes:

• ${\displaystyle a\,}$ es congruente con ${\displaystyle b\,}$ módulo ${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

• El resto de ${\displaystyle a\,}$ entre ${\displaystyle m\,}$ es el resto de ${\displaystyle b\,}$ entre ${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle a\;{\bmod {\;}}m=b\;{\bmod {\;}}m}$

• ${\displaystyle m\,}$ divide exactamente a la diferencia de ${\displaystyle a\,}$ y ${\displaystyle b\,}$

${\displaystyle m\mid a-b}$

• ${\displaystyle a\,}$ se puede escribir como la suma de ${\displaystyle b\,}$ y un múltiplo de ${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle \exists k\in \mathbb {Z} \quad a=b+km}$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo ${\displaystyle p\,}$ y cada entero ${\displaystyle a\,}$ no divisible por ${\displaystyle p\,}$ tenemos la congruencia:

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia ${\displaystyle x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}}$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por ${\displaystyle x\equiv 4{\pmod {11}}}$ y ${\displaystyle x\equiv 7{\pmod {11}}}$, es decir ${\displaystyle x\,}$ puede ser cualquier entero de las sucesiones ${\displaystyle 11k+4\,}$ y ${\displaystyle 11k+7\,}$. Contrariamente la congruencia ${\displaystyle x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}}$, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades[editar]

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

• La congruencia para un módulo fijo ${\displaystyle m}$ es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

1. reflexividad: ${\displaystyle a\equiv a{\pmod {m}}}$
2. simetría: si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ entonces también ${\displaystyle b\equiv a{\pmod {m}}}$
3. transitividad: si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle b\equiv c{\pmod {m}}}$ entonces también ${\displaystyle a\equiv c{\pmod {m}}}$.

• Si ${\displaystyle a\,}$ es coprimo con ${\displaystyle m\,}$ y ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$, entonces ${\displaystyle b\,}$ también es coprimo con ${\displaystyle m\,}$.

• Si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle k\,}$ es un entero entonces también se cumple
  • ${\displaystyle a+k\equiv b+k{\pmod {m}}}$
  • ${\displaystyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}$
  • ${\displaystyle a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0}$

• Si además ${\displaystyle k\,}$ es coprimo con ${\displaystyle m\,}$, entonces podemos encontrar un entero ${\displaystyle h^{-1}\,}$, tal que

${\displaystyle kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}$

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

${\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}}$

donde por definición ponemos ${\displaystyle a/k=ak^{-1}\,}$.

• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}$

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

${\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}$

congruencia de Mirimanoff es una serie de expresiones en aritmética modular tales que, si se cumplen, conllevan la veracidad del último teorema de Fermat. Ya que el teorema ha sido demostrado, estas expresiones son de significancia histórica, ya que los polinomios de Mirimanoff son interesantes por derecho propio.

Definición[editar]

El n-ésimo polinomio de Mirimanoff para el primo p es

${\displaystyle \phi _{n}(t)=1^{n-1}t+2^{n-1}t^{2}+...+(p-1)^{n-1}t^{p-1}.}$

En términos de estos polinomios, si t es uno de estos seis valores: {-X/Y, -Y/X, -X/Z, -Z/X, -Y/Z, -Z/Y} donde X^p+Y^p+Z^p=0 es una solución al Último teorema de Fermat, entonces

• φ_p-1(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-2(t)φ₂(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-3(t)φ₃(t) ≡ 0 (mod p)

...

• φ_(p+1)/2(t)φ_(p-1)/2(t) ≡ 0 (mod p)

Otras congruencias[editar]

Mirimanoff también demostró lo siguiente:

• Si un número primo p no divide a uno de los siguientes numeradores de los números de Bernoulli B_p-3, B_p-5, B_p-7 o B_p-9, entonces el primer caso del Último teorema de Fermat, donde p no divide a X, Y or Z en la ecuación X^p+Y^p+Z^p=0, es cierto.
• Si el primer caso del Último teorema de Fermat no se cumple para el primo p, entonces 3^p-1 ≡ 1 (mod p²). Un número primo con esta propiedad es a veces llamado primo de Mirimanoff, en analogía con los números de Wieferich, que son números primos tales que 2^p-1 ≡ 1 (mod p²).