ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA - GEOMETRÍA ALGEBRAICA - SUPERFICIES

Wheel-like Star Shell Astralium calcar, Diameter 3,5 cm; Originating from the Philippines

En matemáticas, una superficie de concha marina es una superficie descrita por un círculo que se mueve en espiral al tiempo que asciende en dirección al eje z. Reciben este nombre por su semejanza a las conchas de ciertos moluscos aunque existen moluscos cuyas conchas no son descritas por estas superficies.

Ejemplo[editar]

La siguiente es una parametrización de la superficie de una concha¹​²​ de mar:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&{}={\frac {5}{4}}\left(1-{\frac {v}{2\pi }}\right)\cos(2v)(1+\cos u)+\cos 2v\\\\y&{}={\frac {5}{4}}\left(1-{\frac {v}{2\pi }}\right)\sin(2v)(1+\cos u)+\sin 2v\\\\z&{}={\frac {10v}{2\pi }}+{\frac {5}{4}}\left(1-{\frac {v}{2\pi }}\right)\sin(u)+15\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle 0\leq u<2 annotation="" pi="">$ y ${\displaystyle -2\pi \leq v<2 annotation="" pi="">$.

Las espirales en las conchas de gastrópodos[editar]

Dibujo de los Prosobranchia, de Ernst Haeckel.

El estudio de las espirales en la naturaleza tiene una larga historia que se remonta a Christopher Wren, quien observó que muchas conchas animales formaban una espiral logarítmica. Jan Swammerdam observó las características comunes de un amplio abanico de conchas, desde la Helix hasta la Spirula, y Henry Nottidge Moseley describió la geometríade las conchas de los Gastropoda. En Sobre el crecimiento y la forma,³​ D'Arcy Wentworth Thompson examina exaustivamente estas espirales. Describe cómo las conchas se forman siguiendo una curva que rota en torno a un eje, de modo que la forma de la curva permanece constante pero su tamaño aumenta en progresión geométrica. En algunas conchas como Nautilus y las amonites la curva generatriz gira en un plano perpendicular al eje y la concha se conforma como figura discoidal plana. En otras sigue un patrón espacial, con forma de hélice. Thompson también estudió la aparición de espirales en la anatomía de diversos cuernos, pelambres, dientes, uñas y algunas plantas.

Una banda de Möbius.

Las Superficies desarrollables son casos especial de la superficies regladas que, mediante deformaciones que no alteran las distancias entre sus puntos, pueden ser transformadas en un fragmento plano.¹​ Técnicamente existe una isometría entre estas superficies y un fragmento de plano. Decimos que es localmente desarrollable si existen isometrías locales; para que esto ocurra es necesario y suficiente que la curvatura gaussiana sea nula.

El cono, el cilindro y el propio plano son desarrollables, mientras que el hiperboloide no lo es. Para que una superficie sea desarrollable, es condición necesaria y suficiente que pueda ser construida con un trozo de papel sin arrugarlo, dicho coloquialmente. Así, una superficie construida plegando un pedazo rectangular de papel será desarrollable como una banda de Möbius o un cilindro. Una condición necesaria, tal como se desprende del theorema egregium de Gauss, es que la curvatura gaussiana de la superficie reglada sea idénticamente nula.

Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres.

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

Clasificación de las superficies regladas[editar]

Superficies regladas son:

• el plano
• las superficies de curvatura simple:
  • superficie cilíndrica
    • superficie cilíndrica de revolución
    • superficie cilíndrica de no revolución
  • superficie cónica
    • superficie cónica de revolución
    • superficie cónica de no revolución
• las superficies alabeadas
  • cilindroide
  • conoide
  • superficie doblemente reglada
    • paraboloide hiperbólico
    • hiperboloide de revolución

Ecuaciones matemáticas[editar]

Un hiperboloide de una sola hoja, es una superficie de revolución. Los alambres son líneas rectas.

Una superficie ${\displaystyle \mathbf {S} }$ es reglada si para cada punto ${\displaystyle \mathbf {p} }$ de la misma, existe una línea recta que contiene a ${\displaystyle \mathbf {p} }$ y contenida en ${\displaystyle \mathbf {S} }$. Una superficie reglada ${\displaystyle \mathbf {S} }$ puede representarse siempre (al menos localmente) por una ecuación paramétrica de la siguiente forma:

${\displaystyle \mathbf {S} (t,u)=\mathbf {p} (t)+u\mathbf {r} (t)}$

donde ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$ es una curva en ${\displaystyle \mathbf {S} }$, y ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ es una curva en la esfera unidad. Así, por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=(\cos(t),\sin(t),0)\\\mathbf {r} &=\left(\cos \left({\frac {t}{2}}\right)\cos(t),\cos \left({\frac {t}{2}}\right)\sin(t),\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\right)\end{aligned}}}$

se obtiene una superficie que contiene la Cinta de Möbius.

Alternativamente, una superficie reglada ${\displaystyle \mathbf {S} }$ puede representarse paramétricamente como:

${\displaystyle \mathbf {S} (t,u)=(1-u)\mathbf {p} (t)+u\mathbf {q} (t)}$

Donde ${\displaystyle \mathbf {p} }$ y ${\displaystyle \mathbf {q} }$ son dos curvas de ${\displaystyle \mathbf {S} }$ que no se intersecan. Por ejemplo, cuando ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$ y ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ se mueven con velocidad constante a lo largo de dos rectas alabeadas, la superficie es un paraboloide hiperbólico, o parte de un hiperboloide de una sola hoja.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\,}$

El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil, que fuera propuesto por los matemáticos japoneses Yutaka Taniyama y Gorō Shimura.¹​ En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Enunciado[editar]

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

${\displaystyle y^{2}=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D}$

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$son números racionales.

Una forma modular es una función analítica ${\displaystyle f:H\rightarrow C}$ del semiplano superior ${\displaystyle H=\{x+iy:y>0\}}$ a los complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$, tal que ${\displaystyle f}$ satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas ${\displaystyle f(x)=f(x+N)}$ para todo ${\displaystyle x}$ y algún entero ${\displaystyle N}$ fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica ${\displaystyle E}$ con coeficientes racionales existe una forma modular ${\displaystyle f}$ (de peso 2) tal que la serie ${\displaystyle L}$ asociada a ${\displaystyle E}$ y la serie ${\displaystyle L}$ asociada a ${\displaystyle f}$ coinciden. Esto equivale a que los coeficientes ${\displaystyle a_{p}}$ asociados a la curva ${\displaystyle E}$ (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo ${\displaystyle p}$, para ${\displaystyle \ p}$ primo de buena reducción de ${\displaystyle E}$) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de ${\displaystyle f}$. Andrew Wiles (90's)

Historia[editar]

Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995.²​ Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.³​ Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Este último se suicidó a los 31 años en 1958.