ÁLGEBRA

ARITMÉTICA MODULAR

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	1
3	0	1	-1
5	0	1	-1	-1	1
7	0	1	1	-1	1	-1	-1
9	0	1	1	0	1	1	0	1	1
11	0	1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	1	-1
13	0	1	-1	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	-1	1
15	0	1	1	0	1	0	0	-1	1	0	0	-1	0	-1	-1
17	0	1	1	-1	1	-1	-1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	-1	1	1

El símbolo Jacobi (m/n) para varios m (parte superior) y n (lado izquierdo). Sólo se muestran 0 ≤ m < n, ya que debido a la regla (2) por debajo de cualquier otra m puede ser reducida a módulo n. Los residuos cuadráticos se resaltan en amarillo —nótese que ninguna entrada con un símbolo de Jacobi de -1 es un residuo cuadrático, y si m es un residuo cuadrático (mod n) y gcd (m,n)=1, entonces (m|n)=1, pero algunas entradas con un símbolo de Jacobi de 1 (véase la fila n = 9) no son residuos cuadráticos. Nótese también que cuando tanto n o m son un cuadrado, todos los valores son 0 o 1.

En la teoría de los números, el símbolo de Jacobi, denotado como ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {m}{n}}\right)}$, es una función aritmética que toma dos argumentos y devuelve un valor entero comprendido en el intervalo ${\displaystyle [-1,1]}$. En esencia se puede considerar como una generalización del símbolo de Legendre para valores impares de ${\displaystyle n}$que no necesariamente han de ser primos. Debe su nombre al matemático Carl Gustav Jakob Jacobi que lo introdujo en 1837.

Definición[editar]

Sea m un número entero y n un número natural impar, cuya descomposición en factores primos es

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}}$,

se denomina símbolo de Jacobi a la expresión:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {m}{p_{i}}}\right)^{a_{i}}}$

donde para todo i, p_i es primo y a_i es un número natural, denotando mediante ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {m}{p_{i}}}\right)}$ el símbolo de Legendre. Obviamente, cuando n es un número primo impar, el correspondiente símbolo de Jacobi se reduce al de Legendre.

Propiedades[editar]

El símbolo de Jacobi satisface las mismas reglas que aquél al que generaliza, además de algunas adicionales:

i) Si ${\displaystyle n|m}$ entonces ${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=0}$.

ii) Un caso especial de esto último es que ${\displaystyle \left({\frac {m}{m}}\right)=0}$.

iii) Si ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ son números impares primos relativos entre sí, y ${\displaystyle n\geq 3}$ se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}}$

iv)

Si ${\displaystyle h\equiv k{\pmod {P}},}$, entonces ${\displaystyle \left({\frac {h}{P}}\right)=\left({\frac {k}{P}}\right)}$

²​

v) Para P entero positivo impar se cumple: ${\displaystyle \left({\frac {a}{P}}\right)\left({\frac {b}{P}}\right)=\left({\frac {ab}{P}}\right)}$ ³​

 símbolo de Kronecker, escrito como ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ o (a|n), es una generalización del símbolo de Jacobi para todos los números enteros n. Fue introducido en 1885 por Leopold Kronecker.

Definición[editar]

Sea n un número entero distinto de cero, con una factorización en números primos

${\displaystyle n=u{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$

donde u es una unidad (i.e., u es 1 o −1), y los p_i son números primos. Sea a un entero. El símbolo de Kronecker (a|n) se define como:

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

Para números impares p_i, el (a|p_i) se reduce simplemente al símbolo de Legendre. Queda el caso en el que p_i = 2. Se define (a|2) por

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}a{\mbox{ es par,}}\\1&{\mbox{si }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{si }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

Puesto que extiende el símbolo de Jacobi, la cantidad (a|u) es simplemente 1 cuando u = 1. Cuando u = −1, se define éste por

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{si }}a<0 0.="" a="" amp="" annotation="" cases="" end="" geq="" mbox="" si="">$

Finalmente, tenemos que

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{si }}a=\pm 1,\\0&{\text{de otra manera.}}\end{cases}}}$

Estas extensiones son suficientes para definir el símbolo de Kronecker para todos los valores enteros n.

símbolo de Legendre es una función multiplicativa utilizada para determinar el carácter cuadrático de un número (mod p), es decir si es residuo cuadrático o no;¹​ la misma que toma como argumentos un entero ${\displaystyle a}$ y un primo ${\displaystyle p}$ y devuelve uno de los valores ${\displaystyle 0,1,-1}$ dependiendo de si ${\displaystyle a}$ es o no residuo cuadrático módulo ${\displaystyle p}$, es decir de si la congruencia

${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$

tiene solución o no.

El símbolo de Legendre fue introducido por Adrien-Marie Legendre in 1798²​ en el curso de sus intentos de demostrar la ley de reciprocidad cuadrática. Generalizaciones del símbolo incluyen el símbolo de Jacobi y los caracteres de Dirichlet de orden superior. La conveniencia de la notación del símbolo de Legendre inspiró la introducción de varios otros símbolos que se utilizan en la teoría algebraica de números, como el símbolo de Hilbert y el símbolo de Artin.

Definición[editar]

Dado un entero ${\displaystyle a}$ y un primo impar ${\displaystyle p}$ , el símbolo de Legendre, denotado ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$, se define como sigue:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{si p divide a a }}\\1&{\mbox{si a es residuo cuadrático módulo p }}\\-1&{\mbox{si a es no residuo cuadrático módulo p }}\\\end{cases}}}$

Ejemplo[editar]

${\displaystyle x=2\Rightarrow 2^{2}\equiv 1{\pmod {3}}\Rightarrow \left({\frac {1}{3}}\right)=1}$.

Formulaciones alternativas[editar]

Para algunos valores concretos de ${\displaystyle a}$, el símbolo de Legendre aún puede simplificarse más:

• a) ${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p-1}{2}}}$.

• b) ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p^{2}-1}{8}}}$.

Propiedades[editar]

El símbolo de Legendre satisface algunas propiedades interesantes:

• i) ${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\tfrac {p-1}{2}}{\tfrac {q-1}{2}}}}$ para todo par de primos impares ${\displaystyle p,q}$.

• ii) ${\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}$.