ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA - SUPERFICIES

Ejemplo de una superficie cúbica

Una superficie cúbica es un variedad proyectiva estudiado en geometría algebraica. Es una superficie algebraica en el espacio proyectivo tridimensional definido por un solo polinomio cúbico cuaternario homogéneo de grado 3 (por lo tanto, cúbico). Las superficies cúbicas son superficies de del Pezzo.

Ejemplos[editar]

Si ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ tiene coordenadas homogéneas ${\displaystyle [X:Y:Z:W]}$, entonces el conjunto de puntos donde

${\displaystyle X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3}=0}$

Es una superficie cúbica denominada superficie cúbica de Fermat.

La superficie de Clebsch es el conjunto de puntos donde

${\displaystyle X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3}=(X+Y+Z+W)^{3}}$

La superficie cúbica nodal de Cayley es el conjunto de puntos donde

${\displaystyle WXY+XYZ+YZW+ZWX=0}$

27 líneas sobre una superficie cúbica[editar]

Superficie de Clebsch.

El teorema de Cayley-Salmon (Cayley, 1849) establece que una superficie cúbica suave sobre un cuerpo algebraicamente cerradocontiene 27 líneas rectas. Estas pueden caracterizarse independientemente de la inclusión en el espacio proyectivo como las líneas racionales con número de autointersección −1, o en otras palabras, las −1 curvas en la superficie. Un punto de Eckardt es aquel donde 3 de las 27 líneas se encuentran.

Una superficie cúbica lisa también se puede describir como una superficie racional obtenida por explosión de seis puntos en el plano proyectivo en posición general (en este caso, "posición general" significa que no hay tres puntos alineados y que tampoco seis coinciden en una sección cónica). Las 27 líneas son los divisores excepcionales sobre los 6 puntos explotados, las transformaciones adecuadas de las 15 líneas en ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$que unen dos de los puntos explotados y las transformaciones apropiadas de las 6 cónicas en ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ que contienen todas menos uno de los puntos explotados.

Alfred Clebsch dio un modelo de una superficie cúbica, llamada superficie diagonal de Clebsch, donde todas las 27 líneas se definen sobre el campo Q [√5], y en particular son todas reales.

Clasificaciones relacionadas[editar]

Las 27 líneas también se pueden identificar con algunos objetos que surgen en la teoría de la representación. En particular, estas 27 líneas pueden identificarse con 27 vectores en el dual de la red E6, de modo que su configuración sea actuada por el Grupo de Weyl de E6. En particular, forman una base de la representación fundamental de 27 dimensiones del grupo E₆.

Las 27 líneas contienen 36 copias de la configuración seis doble de Schläfli.

Las 27 líneas se pueden identificar con las 27 cargas posibles de la Teoría M en un toro de seis dimensiones (6 momentos; 15 membranas; 6 branas) y el grupo E₆ entonces actúa naturalmente como el grupo dualidad-U. Este mapa entre las superficies de del Pezzo y la Teoría M en toros se conoce como la dualidad misteriosa.

Hay otras maneras de pensar en estas 27 líneas. Por ejemplo, si se proyecta la cúbica desde un punto que no está en ninguna recta (la mayoría de los puntos de la cúbica son así) entonces se obtiene una doble cubierta del plano ramificado en una curva cuádrica lisa. Las 27 líneas están asignadas a 27 de las 28 bitangentes de esta curva cuártica; la recta 28 es la imagen del lugar excepcional de la explosión necesaria para resolver la indeterminación de la proyección. Estos dos objetos (27 líneas en el cúbico, 28 bitangentes en una cuártica), junto con los 120 planos tritangentes de una curva séxtica canónica de género 4, forman una trinidad en el sentido de Vladímir Arnold, específicamente una forma de correspondencia de McKay,¹​²​³​ y puede estar relacionado con muchos otros objetos, incluyendo E₇ y E₈, como se discute en trinidades.

Superficies cúbicas singulares[editar]

Un ejemplo de una cúbico singular es la superficie cúbica nodal de Cayley

${\displaystyle WXY+XYZ+YZW+ZWX=0}$

Con 4 puntos singulares nodales en ${\displaystyle [0:0:0:1]}$ y sus permutaciones. Las superficies cúbicas singulares también contienen líneas racionales, y el número y disposición de las líneas está relacionado con el tipo de la singularidad.

Las superficies cúbicas singulares fueron clasificadas por Schlafli (1863), y su clasificación fue descrita por Cayley (1869) y Bruce y Wall (1979)

2.1 Superficie cúbica

Para el flujo a través de un cubo, descomponemos la integral en seis partes, una por cada cara.

2.1.1 Cara inferior

Para la cara inferior (z = 0), el campo en estos puntos vale

y el vector diferencial de superficie dirigido al exterior

Al ser ortogonales estos dos vectores el flujo elemental vale

2.1.2 Cara superior

En la cara superior (z = a) el vector  vale

y el diferencial de superficie

y resulta el flujo elemental

2.1.3 Cara trasera

Para la cara del fondo (x = 0)

         

con lo que el flujo elemental es

2.1.4 Cara frontal

Para la cara frontal (x = a)

               

2.1.5 Cara izquierda

Para la cara izquierda (y = 0)

               

2.1.6 Cara derecha

Para la cara derecha (y = a)

        

      

2.1.7 Flujo total

Sumando las seis contribuciones tenemos el flujo total

Render POV-Ray del cuerno de Gabriel (su código fuente está en: [2])

El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli) es una figura geométrica que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito. Es la superficie de revolución que se obtiene al girar, alrededor del eje X, el gráfico de la función F(x)=1/x, con dominio x ≥ 1.

Fue ideada por Evangelista Torricelli hacia 1641, que la bautizó como sólido hiperbólico agudo («solide hyperbolique aigu»).

Historia[editar]

Imagen parcial del cuerno de Gabriel

En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie exterior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.

La solución de la paradoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Pero la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.

Ecuación matemática[editar]

El cuerno de Gabriel se forma utilizando la gráfica de ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$, con el dominio ${\displaystyle x\geq 1}$ (al poseer la asíntota en ${\displaystyle x=0}$), y rotándola en tres dimensiones alrededor del eje X. Su descubrimiento no es anterior al cálculo y fue posible gracias al principio de Cavalieri. Es posible calcular tanto el volumen ${\displaystyle V}$ como el área superficial ${\displaystyle A}$ del cuerno entre x = 1 y x = a, donde a > 1, mediante integración (véase sólido de revolución y superficie de revolución):

${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{a}\left({1 \over x}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{1 \over a}\right)}$

${\displaystyle A=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1}}{x}}\ \mathrm {d} x=2\pi \ln a.}$

${\displaystyle a}$ puede ser tan grande como se desee, pero en la ecuación se puede observar que el volumen del cuerno entre ${\displaystyle x=1}$ y ${\displaystyle x=a}$ nunca será igual a ${\displaystyle \pi }$; sin embargo, se acercará más y más a ${\displaystyle \pi }$ conforme ${\displaystyle a}$ crece. Matemáticamente, el volumen tiende a ${\displaystyle \pi }$ conforme ${\displaystyle a}$ tiende a infinito. Empleando límites, el volumen puede expresarse de la siguiente forma:

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{1 \over a}\right)=\pi .}$

Esto es así porque conforme ${\displaystyle a}$ tiende a infinito, ${\displaystyle 1/a}$ tiende a cero, lo cual implica que el volumen tienda a ${\displaystyle \pi }$(1 - 0), que es igual a ${\displaystyle \pi }$.

Con respecto al área, la fórmula anterior muestra que ésta es mayor que ${\displaystyle 2\pi }$ veces el logaritmo neperiano de ${\displaystyle a}$. No existe una cota superior para el logaritmo neperiano de ${\displaystyle a}$ conforme tiende a infinito, lo cual quiere decir que, en este límite, el cuerno tiene un área superficial infinita. Matemáticamente, esto es expresado de la siguiente forma:

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}$