ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

Película de jabón entre dos aros.

Catenoide.

La catenoide es la superficie que se obtiene por rotación de una catenaria alrededor de un eje coplanario, perpendicular al eje de simetría y que no la corte. Resulta una superficie minimal, razón por la que la adopta una película sometida a tensión superficial.

Un cilindro circular recto.

En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro.

Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro. Este sólido es utilizado como una superficie Gausiana.

En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia uniparamétrica de líneas paralelas.

Clasificación[editar]

Un cilindro puede ser:

• cilindro rectangular: es el eje del cilindro que es perpendicular a las bases.
• cilindro oblicuo: es el eje que no es perpendicular a las bases.

Superficie cilíndrica[editar]

La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.

Las superficies cilíndricas pueden ser

• superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella.
• superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.

Área de la superficie cilíndrica[editar]

La superficie de un cilindro circular recto está conformada por el área de la base, circular en este caso: ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$, pero como este cilindro tiene 2 bases se multiplica por 2, siendo el área total de las dos bases: ${\displaystyle A_{b}=2\pi r^{2}}$

Además, el área lateral está formada por un rectángulo de altura ${\displaystyle h}$ y de largo del perímetro del círculo ${\displaystyle L=2\pi r}$ por lo que el área lateral es: ${\displaystyle A_{l}=2\pi rh}$

Por lo tanto, el área total, o área de la superficie cilíndrica es:

${\displaystyle A=A_{b}+A_{l}}$

${\displaystyle A=2\pi r^{2}+2\pi rh}$

${\displaystyle A=2\pi (r^{2}+rh)}$

${\displaystyle A=2\pi r(r+h)}$

Volumen del cilindro[editar]

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base ${\displaystyle A_{b}}$ por la altura del cilindro ${\displaystyle h}$

El volumen de un cilindro de base circular, es:

${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$

Siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases.

Cilindro como superficie cuádrica[editar]

Las secciones cónicas son de tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas, que sirviendo de directrices, originan tres tipos de superficies cuádricas cilíndricas:

Cilindro elíptico

Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica (que incluye a los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son iguales).

En un sistema ortogonal de coordenadas, tomando como eje z una recta cuya dirección es paralela a la generatriz, si se escoge como origen el centro de simetría, la ecuación de la superficie cilíndrica es similar a la de la superficie cónica correspondiente.

La ecuación de un cilindro elíptico es de la forma:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$

donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son los semiejes.

Cilindro parabólico

En similares condiciones, la ecuación de una superficie parabólica será de la forma:

${\displaystyle y=x^{2}\,}$

Cilindro hiperbólico

En similares condiciones, la ecuación de una superficie hiperbólica es de la forma:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Una superficie cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: ${\displaystyle P(x_{1},x_{2}...x_{n})=0\ }$

donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas ${\displaystyle x_{1},x_{2}...x_{n}\ }$.

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.

Historia[editar]

Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.

Definición algebraica[editar]

Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...x_{D}\}\,}$, entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{D}P_{i}x_{i}+R=0}$

donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.

Ecuación cartesiana[editar]

La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\,}$

• La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.

Por ejemplo, la ecuación:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz=0\ }$

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

${\displaystyle (x+y+z)^{2}=0\ }$

que equivale a:

${\displaystyle x+y+z=0\ }$,

una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

• A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece de términos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:

${\displaystyle D=0,E=0,F=0}$

entonces los términos lineales para cada variable:

${\displaystyle Gx,Hy,Iz}$

pueden asimilarse a los cuadráticos:

${\displaystyle Ax^{2},By^{2},Cz^{2}}$

mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, ${\displaystyle (0,0,0)}$, sino en un punto de coordenadas implícitas en la nueva forma).

Ecuación normalizada[editar]

La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:

${\displaystyle \pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}\pm 1=0}$

Tipos de cuádricas[editar]

Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son las siguientes:

elipsoide	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}-1=0\,}$
→ esferoide (caso particular de elipsoide)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}-1=0\,}$
→ esfera (caso particular de esferoide)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}-1=0\,}$
paraboloide
→ paraboloide hiperbólico (caso particular de paraboloide)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
→ paraboloide elíptico (caso particular de paraboloide)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
→ paraboloide circular (caso particular de paraboloide elíptico)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}$
hiperboloide
→ hiperboloide de una hoja (caso particular de hiperboloide)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}-1=0\,}$
→ hiperboloide de dos hojas (caso particular de hiperboloide)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}+1=0\,}$
cilindro
→ cilindro elíptico (caso particular de cilindro)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-1=0\,}$
→ cilindro circular (caso particular de cilindro elíptico)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-1=0\,}$
→ cilindro hiperbólico (caso particular de cilindro)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-1=0\,}$
→ cilindro parabólico (caso particular de cilindro)	${\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}$
cono elíptico	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$
→ cono circular (caso particular de cono elíptico)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$

En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre ellas.