ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

cuaternión de Hurwitz (o entero de Hurwitz) es un cuaternión cuyos componentes son otodos enteros o todos semienteros (mitades de un entero impar; mezclas de enteros y semienteros quedan excluidas). El conjunto de todos los cuaterniones de Hurwitz es

${\displaystyle H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ or }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

${\displaystyle H}$ es cerrado bajo multiplicación y adición de cuaterniones, lo cual forma un subanillo del anillo de todos los cuaterniones ${\displaystyle H}$. Los cuaterniones de Hurwitz deben su nombre al matemático alemán Adolf Hurwitz, quien los introdujo en 1919.¹​

Un cuaternión de Lipschitz (o entero de Lipschitz) es un cuaternión cuyos componentes son todos enteros. El conjunto de todos los cuaterniones de Lipschitz

${\displaystyle L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}}$

forman un subanillo de los cuaterniones de Hurwitz ${\displaystyle H}$. Los enteros de Hurwitz tienen la ventaja sobre los de Lipschitz de que en ellos es posible realizar una división euclídea, obteniendo un pequeño resto.

Estructura del anillo de los cuaterniones de Hurwitz[editar]

Al igual que un grupo aditivo, ${\displaystyle H}$ es un abeliano libre, con generadores ${\displaystyle \{(1+i+j+k)/2,i,j,k\}.}$ Por lo tanto forma una red en R⁴. Esta red también es conocida como la red F₄, ya que es la red de raíz de la álgebra de Liesemisimple F₄. Los cuaterniones de Lipschitz ${\displaystyle L}$ forman una subred de índice 2 en ${\displaystyle H}$.

El grupo de unidades en ${\displaystyle L}$ es el grupo cuaternión de orden 8 ${\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}.}$ El grupo de unidades en ${\displaystyle H}$ es un grupo no-abeliano de orden 24 conocido como el grupo tetraédrico binario. Los elementos de este grupo incluyen los 8 elementos de ${\displaystyle Q}$ junto a los 16 cuaterniones ${\displaystyle Q=\{(\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k)/2\},}$ cuyos signos pueden ser tomados en cualquier combinación. El grupo cuaternión es un subgrupo normal del grupo tetraédrico binario ${\displaystyle U(H)}$. Los elementos de ${\displaystyle U(H)}$, los cuales todos tienen norma 1, forman los vértices del icositetracoroninscripto en la 3-esfera.

Los cuaterniones de Hurwitz forman un orden (teoría de los anillos) en el anillo de división de cuaterniones con componentes racionales. Es de hecho de orden máximo; dato que le da más importancia al término. Los cuaterniones de Lipschitz, los cuales son los candidatos más obvios para la idea del cuaternión integral, también forman un orden. Sin embargo, este último orden no es máximo y, por lo tanto, es menos apropiado para desarrollar una teoría de ideales por la izquierda comparable con la teoría de números algebraicos. Lo que notó Adolf Hurwitz, por lo tanto, fue que esta definición del cuaternión integral de Hurwitz es el más apropiado para operar. Para un anillo no-conmutativo como ${\displaystyle H}$, los órdenes máximos necesitan que no sean únicos, así que uno necesita reparar el orden máximo, en la idea de llevar el concepto de un número entero algebraico.

Red de cuaterniones de Hurwitz[editar]

La norma (aritmética, o de campo) de un cuaternión de Hurwitz, dada como ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$, es siempre un entero. Gracias al teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, cada entero que no sea negativo puede ser escrito como la suma de como máximo cuatro cuadrados. Así, cada entero no negativo es la norma de algún cuaternión de Lipschitz (o Hurwitz). Más precisamente, el número ${\displaystyle c(n)}$ de los cuaterniones de Hurtwitz de norma positiva ${\displaystyle n}$ es 24 veces la suma de los divisores impares de ${\displaystyle n}$. La función generada de los números ${\displaystyle c(n)}$ está dada por la fórmula modular de nivel 2 y peso 2

${\displaystyle 2E_{2}(2\tau )-E_{2}(\tau )=\sum _{n}c(n)q^{n}=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\cdots }$ (sucesión A004011 en OEIS)

donde

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

y

${\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

es la serie de Eisenstein de nivel 1 y peso 2 (la cual es una forma cuasimodular) y ${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$ es la suma de los divisores de ${\displaystyle n}$.

Factorización en elementos elementos irreducibles[editar]

Un entero de Hurwitz es llamado irreducible si no es 0 o una unidad no es producto de no-unidades. Un entero de Hurwitz también es irreducible sí y sólo sí su norma es un número primo. Los cuaterniones irreducibles son a veces llamados cuaterniones primos, pero esto puede malentenderse ya que éstos no son elementos primos en el sentido común del álgebra conmutativa: es posible para un cuaternión irreducible el dividir un producto ${\displaystyle ab}$ sin dividir o ${\displaystyle a}$ o ${\displaystyle b}$. Cada cuaternión de Hurwitz puede ser factorizado como el producto de un cuaternión irreducible. Esta factorización no es en general única, incluso hasta unidades y orden, ya que un número primo impar positivo ${\displaystyle p}$ puede ser escrito de ${\displaystyle 24(p+1)}$ maneras como un producto de dos cuaterniones de Hurwitz irreducibles de norma ${\displaystyle p}$, y para ${\displaystyle p}$ grandes estos no pueden ser todos equivalentes bajo multiplicación de unidades izquierda y derecha ya que sólo hay 24 unidades. Sin embargo si uno excluye este caso entonces existe una versión de factorización única. Más precisamente, cada cuaternión de Hurwitz puede escribirse únicamente como el producto de un entero positivo y un cuaternión primitivo (o un cuaternión de Hurwitz no divisible por cualquier entero mayor a 1). La factorización de un cuaternión primirivo en irreducibles es única para órdenes y unidades en el siguiente sentido: si

${\displaystyle p_{0}p_{1}...p_{n}}$

y

${\displaystyle q_{0}q_{1}...q_{n}}$

son dos factorizaciones de algún cuaternión primitivo de Hurwitz en cuaterniones irreducibles donde ${\displaystyle p_{k}}$ tiene la misma norma que ${\displaystyle q_{k}}$ para cada ${\displaystyle k}$, entonces

${\displaystyle q_{0}=p_{0}u_{1}}$

${\displaystyle q_{1}=u_{0}^{-1}p_{1}u_{2}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle q_{n}=u_{n}^{-1}p_{n}}$

para algunas unidades ${\displaystyle u_{k}}$.

División con resto[editar]

Los enteros reales ordinarios y los enteros gaussianos permiten una división con resto o división euclídea. Para enteros positivos ${\displaystyle N}$ y ${\displaystyle D}$, siempre hay un cociente ${\displaystyle Q}$ y un resto no-negativo ${\displaystyle R}$ de manera que

${\displaystyle N=QD+R,}$ donde ${\displaystyle R$

Para enteros gaussianos o complejos ${\displaystyle N=a+ib}$ y ${\displaystyle D=c+id,}$ con la norma ${\displaystyle N(D)>0}$, siempre existe ${\displaystyle Q=p+iq}$ y ${\displaystyle R=r+is}$ de manera que

${\displaystyle N=QD+R,}$ donde ${\displaystyle N(R)$

Sin embargo, para los enteros de Lipschitz ${\displaystyle N=(a,b,c,d)}$ y ${\displaystyle D=(e,f,g,h)}$ puede suceder que ${\displaystyle N(R)=N(D)}$. Esto motivó un cambio en los enteros de Hurwitz, para los cuales la condición ${\displaystyle N(R)$está garantizada.²​

Varios algoritmos dependen en la división con resto, por ejemplo, el algoritmo de Euclides, para hallar el máximo común divisor.

Cuaterniones y rotación en el espacio

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Los cuaterniones unitarios proporcionan una notación matemática para representar las orientaciones y las rotaciones de objetos en tres dimensiones. Comparados con los ángulos de Euler, son más simples de componer y evitan el problema del bloqueo del cardán. Comparados con las matrices de rotación, son más eficientes y más estables numéricamente. Los cuarteniones son útiles en aplicaciones de gráficos por computadora, robótica,navegación y mecánica orbital de satélites.

Introducción[editar]

Se recuerda la versión geométrica del producto de dos cuaterniones, ${\displaystyle q=(a,u)}$ y ${\displaystyle q'=(a',u')}$, donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle a'}$son las partes reales, ${\displaystyle u}$ y ${\displaystyle u'}$ son las partes imaginarias, también vistas como vectores del espacio tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle qq'=aa'-uu',au'+a'u+u\times u'}$

Donde ${\displaystyle uu'}$ designa el producto escalar, y ${\displaystyle u\times u'}$, el producto vectorial. Notaremos ${\displaystyle {\bar {q}}}$ el cuaternión conjugado de ${\displaystyle q}$: ${\displaystyle {\bar {q}}=(a,-u)}$.

Para permanecer en el espacio tridimensional, hace falta hacer desaparecer las partes reales. Tomemos ${\displaystyle a=a'=0}$.

Entonces ${\displaystyle qq'=(0,u)(0,u')=(-uu',u\times u')}$.

Bien es sabido que el producto vectorial está relacionado con la rotación en el espacio. Por lo tanto, a base de productos, debe ser posible expresar cualquier rotación tridimensional. El objetivo es obtener una fórmula parecida a la expresión compleja de la rotación en el plano:

${\displaystyle z'=wz}$, con ${\displaystyle w=e^{i\theta }}$ cuando se gira alrededor del origen, y ${\displaystyle z'=w(z-c)+c}$ si se rota alrededor del punto ${\displaystyle c}$.

Descubriendo la fórmula[editar]

Tomemos el ejemplo más sencillo: ¿Cómo expresar analíticamente la rotación alrededor de eje de los ${\displaystyle x(O,i)}$con un ángulo de 90 grados?

El vector ${\displaystyle i}$ debe tener un papel. Miremos a la multiplicación por ${\displaystyle i}$ por la izquierda: ${\displaystyle ij=k}$ (como ${\displaystyle i\times j=k}$) e ${\displaystyle ik=-j}$ (como ${\displaystyle i\times k=-j}$).

Parece por lo tanto que la función ${\displaystyle f:q\rightarrow iq}$ es la respuesta a la pregunta. En el plano ${\displaystyle (j,k)}$ esa función rota de 90 grados. ¿Pero qué pasa en el resto del espacio?, ${\displaystyle f(i)=ii=-1}$ y ${\displaystyle f(1)=i}$. Por linealidad, nos damos cuenta que hace girar el plano ${\displaystyle (1,i)}$ de 90 grados también, y esto ¡no lo queremos! El punto ${\displaystyle i}$ tiene que permanecer inmóvil, y la función ${\displaystyle f}$ no tiene que enviar ni un punto del espacio usual ${\displaystyle iR+jR+kR}$ en la cuarta dimensión (aquí, en ${\displaystyle 1R}$).

Como sabemos que la multiplicación no es conmutativa en ${\displaystyle \mathbb {H} }$, cuerpo de los cuaterniones, miremos al producto por la derecha, por ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle g:q\rightarrow qi}$. ${\displaystyle q(j)=ji=-k}$; ${\displaystyle q(k)=ki=j}$ lo que corresponde a la rotación inversa en el plano ${\displaystyle (j,k)}$. Pero ${\displaystyle g(1)=i}$ y ${\displaystyle g(i)=-1}$ da la misma rotación parásita que ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle (i,j)}$. Si tomamos la función opuesta (e inversa): ${\displaystyle h=-g:q\rightarrow -qi=q(-i)}$ nos damos cuenta que ${\displaystyle h}$ tiene la misma acción sobre el plano ${\displaystyle (j,k)}$ que ${\displaystyle f}$ pero la acción opuesta sobre ${\displaystyle (1,i)}$. Entonces ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle h}$ se compensan en ${\displaystyle (1,i)}$, pero se acumulan en ${\displaystyle (j,k)}$, y la función compuesta ${\displaystyle m=foh(=hof):q\rightarrow iq(-i)}$ deja el plano ${\displaystyle (1,i)}$ quieto, pero gira el plano ${\displaystyle (j,k)}$ dos veces de 90 grados, o sea de 180 grados:

${\displaystyle m(j)=ij(-i)=-iji=-ki=-j}$ y ${\displaystyle m(k)=-k}$

Hemos obtenido por lo tanto una rotación alrededor de eje ${\displaystyle (O,i)}$, pero con un ángulo doble de lo deseado. Basta con dividir los ángulos de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle h}$ por dos para obtener la fórmula.

${\displaystyle i=e^{i{\frac {\pi }{2}}}=\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }}$

El número que corresponde al medio ángulo es

${\displaystyle e^{i{\frac {\pi }{4}}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}=w}$

y la función que realiza la rotación pedida es ${\displaystyle r:q\rightarrow wq{\bar {w}}}$.

Este raciocinio se generaliza a cualquier eje de rotación, y no soló a los tres ejes (O,i) (O, j) y (O, k). Si se quiere girar alrededor del eje (O,u) donde u es un vector unitario, hay que considerar el plano (1, u) y otro plano perpendicular (ortogonal) en ${\displaystyle \mathbb {H} }$, y emplear el número:

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}+u\sin {\frac {\theta }{2}}}$

La fórmula[editar]

Sea ${\displaystyle q=xi+yj+zk}$ un punto (o un vector) del espacio, u un vector unitario del mismo espacio y θ un real. La rotación alrededor del eje (0,u) de un ángulo θ envía el punto q sobre el punto ${\displaystyle q'=a'i+b'j+c'k}$ dado por la fórmula:

${\displaystyle q'=hq{\bar {h}}}$, donde ${\displaystyle h=\cos {\frac {\theta }{2}}+u\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Para obtener la rotación alrededor de un eje (c,u), donde c es un punto cualquiera del espacio, basta con componer la función anterior por dos translaciones:

${\displaystyle q'=h(q-c){\bar {h}}+c}$

Note que h es un cuaternión unitario, como en el caso de los complejos.

La fórmula resulta algo más complicada que en el plano complejo porque trabajamos en cuatro dimensiones con los cuaterniones pero queremos permanecer en el espacio usual de tres dimensiones. Una simple multiplicación, a la izquierda o a la derecha, daría dos rotaciones simultáneas en dos planos perpendiculares (ortogonales) en el espacio tetradimensional.

Ejemplo[editar]

Consideremos la rotación alrededor del eje (O, i + j + k), con un ángulo de 120º o sea 2π/3 radianes. Nos proponemos calcular la imagen del vector j. Puesto que el vector i + j + k no es unitario, lo dividiremos por su norma, con lo que obtenemos el siguiente vector unitario:

${\displaystyle u={\frac {i+j+k}{\sqrt {3}}}}$

El medio ángulo es π/3, por lo tanto

${\displaystyle h=\cos {\frac {\pi }{3}}+u\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1+i+j+k}{2}}}$

y su conjugado es

${\displaystyle {\bar {h}}={\frac {1-i-j-k}{2}}}$

El vector (o punto correspondiente) j será enviado en hjh^~.

${\displaystyle hj{\bar {h}}={\frac {(1+i+j+k)j(1-i-j-k)}{4}}={\frac {(j+k-1-i)(1-i-j-k)}{4}}}$

y, distribuyendo los factores, hallamos:

${\displaystyle hj{\bar {h}}={\frac {(j+k+1-i)+(k-j+i+1)+(-1+i+j+k)+(-i-1+k-j)}{4}}={\frac {4k}{4}}=k}$

Del mismo modo hallaríamos que hkh^~ = i e hih^~ = j, lo que da la expresión analítica de la rotación: ${\displaystyle r(xi+yj+zk)=zi+xj+yk}$