ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

lema de escisión declara que, en cualquier categoría abeliana, las tres proposiciones para una secuencia exacta corta que se exponen a continuación son equivalentes.

Dada una secuencia exacta corta con morfismos q y r, entre los objetos de la categoría:

${\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {q}{\longrightarrow }}B{\overset {r}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0}$

Sobre la que añadimos las flechas adicionales t y u para señalar unos morfismos que podrían no existir:

${\displaystyle 0\longrightarrow A{{\overset {q}{\longrightarrow }} \atop {\underset {t}{\longleftarrow }}}B{{\overset {r}{\longrightarrow }} \atop {\underset {u}{\longleftarrow }}}C\longrightarrow 0.}$

Tenemos que las proposiciones siguientes son equivalentes:

• Escisión izquierda: Existe un morfismo t: B → A tal que tq es la identidad en A.
• Escisión derecha: Existe un morfismo u: C → B tal que ru es la identidad en C.
• Suma directa: B es isomorfo a la suma directa de A y C, con q correspondiendo a la inyección natural de A y r correspondiendo a la proyección natural en C. De forma más precisa, hay un isomorfismo de secuencias exactas cortas entre la secuencia dada y la secuencia con B sustituido por la suma directa de A y C, donde los morfismos son la inclusión y proyección canónicas. Sólo un isomorfismo de B con la suma directa no es suficiente.

La secuencia exacta corta se dice escindida si estas proposiciones se cumplen.

lema de serpiente es una herramienta utilizada en matemáticas, particularmente en álgebra homológica, para construir secuencias exactas largas. El lema de serpiente es válido en todas las categorías abelianas y es una herramienta crucial en el álgebra homológica y sus aplicaciones, por ejemplo en la topología algebraica. Los homomorfismos construidos con su ayuda son generalmente llamados homomorfismos conectores.

Enunciado[editar]

En una categoría abeliana (como la categoría de los grupos abelianos o la categoría de los espacios vectorialessobre un cuerpo dado), se considera un diagrama conmutativo:

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero.

Entonces hay una secuencia exacta relacionando los núcleos y conúcleos de a, b, y c:

${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

donde d es un homomorfismo, conocido como el homomorfismo conector.

Además, si el morfismo f es un monomorfismo, entonces también lo es el morfismo, ker a → ker b; y si g' es unepimorfismo, entonces también lo es coker b → coker c.

Explicación del nombre[editar]

Para ver de dónde toma su nombre el lema de la serpiente, basta expandir el diagrama anterior como sigue:

Y entonces darse cuenta de que la secuencia exacta que surge como conclusión del lema puede ser dibujada en este esquema expandido en la forma de "S" invertida de una serpiente.

En la cultura popular[editar]

• La demostración del lema de la serpiente es enseñada por el personaje de Jill Clayburgh al principio de la película de 1980 Ahora me toca a mí.

lema de los cinco es un lema importante y ampliamente usado dentro de la teoría de diagramas conmutativos. El lema de los cinco es válido no solamente para categorías abelianas sino que también funciona en la categoría de grupos, por ejemplo.

El lema de los cinco puede pensarse como una combinación de otros dos lemas, los llamados lemas de los cuatro, que son duales uno del otro.

Enunciado[editar]

Considérese el siguiente diagrama conmutativo dentro de una categoría abeliana (como por ejemplo la de los grupos abelianos o la de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado) o en la categoría de grupos.

El lema de los cinco afirma que, si las filas son secuencias exactas, m y p son isomorfismos, l es un epimorfismoy q es un monomorfismo, entonces n es también un isomorfismo.

Los dos lemas de los cuatro afirman:
(1) Si las filas del diagrama conmutativo

son secuencias exactas y m y p son epimorfismos y además q es un monomorfismo, entonces n es un epimorfismo.

(2) Si las filas del diagrama conmutativo

son exactas y m y p son monomorfismos y además l es un epimorfismo, entonces n es un monomorfismo.

Demostración[editar]

el método usado en la demostración se denomina comúnmente persecución de diagramas.¹​ Se demostrará el lema de los cinco provando separadamente cada uno de los dos lemas de los cuatro.

Para la persecución de diagramas, se asumirá que existe una categoría de módulos sobre un cierto anillo, de tal manera que puede hablarse de elementos de los objetos en l diagrama y considerar que los morfismos del diagrama son funciones (de hecho, homomorfismos) que actúan sobre esos elementos.

En ese caso un morfismo es un monomorfismo si y solo si es inyectivo y es un epimorfismo si y solo si es suprayectivo. De manera similar, para tratar con la condición de exactitud, puede pensarse que en núcleo y la imagen en el sentido de la teoría de funciones. La demostración se aplicaría a cualquier categoría abeliana debido al teorema del encaje de Mitchell, que afirma que cualquier categoría abeliana pequeña puede representarse como una categoría de módulos sobre cierto anillo. Para la categoría de grupos, conviértase toda la notación aditiva en una notación que involucre el producto del grupo, y nótese que la conmutatividad del grupo abeliano no se usa explícitamente nunca.

Así, para probar (1), asúmase que m y p son suprayectivos y q es inyectivo.

• Sea c′ un elmento de C′.
• Puesto que p es suprayectivo, entonces existe un elmento d en D que cumple que p(d) = t(c′).
• Por la conmutatividad del diagrama, u(p(d)) = q(j(d)).
• Puesto que im t = ker u por la exactitud, 0 = u(t(c′)) = u(p(d)) = q(j(d)).
• Puesto que q es inyectivo, j(d) = 0, de tal manera que d está en ker j = im h.
• Por tanto, existe un c en C que cumple h(c) = d.
• Entonces t(n(c)) = p(h(c)) = t(c′). Puesto que t es un homomorfismo, se sigue que t(c′ − n(c)) = 0.
• Por la exactitud, c′ − n(c) pertenece a la imagen de s, por lo que existe un b′ en B′ tal que s(b′) = c′ − n(c).
• Puesto que m es suprayectivo, podemos encontrar un b de B tal que b′ = m(b).
• Por la conmutatividad, n(g(b)) = s(m(b)) = c' − n(c).
• Puesto que n es un homomorfismo, n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c′ − n(c) + n(c) = c′.
• Por tanto, n es suprayectivo.

Entonces, para demostrar (2), asúmase que m y p son inyectivos y que l es suprayectivo.

• Sea un c de C tal que n(c) = 0.
• t(n(c)) es entonces 0.
• Por la conmuatividad, p(h(c)) = 0.
• Puesto que p es inyectivo, h(c) = 0.
• Por la exactitud, existe un elemento b de B tal que g(b) = c.
• Por la conmuatividad, s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0.
• Por la exactitud, existe entonces un elemento a′ de A′ tal que r(a′) = m(b).
• Puesto que l es supryectivo, existe un a de A tal que l(a) = a′.
• Por la conmuatividad, m(f(a)) = r(l(a)) = m(b).
• Puesto que m es inyectivo, f(a) = b.
• Así c = g(f(a)).
• Puesto que la composición de g y f es trivial, c = 0.
• Por tanto, n es inyectivo.

Combinando los dos lemas de los cuatro se tiene que el homomorfismo n es tanto epimorfismo como monomorfismo y, por tanto, es un isomorfismo.

Aplicaciones[editar]

El lema de los cinco se usa aplica frecuentemente a secuencias exactas largas, cuando se calcula la homología o la cohomología de un cierto objeto. Así se uno emplea un subojeto más simple cuya homología o cohomología sea conocida y llega a una secuencia exacta que involucre los grupos de homología desconocidos, pero si uno puede comparar el objeto original y el sub-objeto con algunos bien conocidos mediante morfismos, entonces se induce un morfismo entre las respectivas secuencias largas y el lema de los cinco puede usarse para determinar los grupos de homología desconocidos.