ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA

El matroide de Fano, derivado del plano de Fano. Los matroides son una de las muchas áreas estudiadas en lacombinatoria algebráica.

La combinatoria algebraica es un área de las matemáticas que emplea métodos del álgebra abstracta, notablemente la teoría de grupos y la teoría de representación, en varios contextos de la combinatoria y, a la inversa, aplica técnicas combinatorias a problemas de álgebra.

Historia[editar]

A principios y mediados de la década de 1990, los objetos combinatorios típicos de interés en combinatoria algebraica admitían una gran cantidad de simetrías (esquemas de asociación, grafos muy regulares, conjuntos parcialmente ordenados con acción) o poseían una estructura algebraica rica, frecuentemente de origen teórico a partir de los fundamentos de cuestiones relacionadas con la representación de relaciones matemáticas (como las funciones simétricas o la tabla de Young). Este período quedó reflejado en el área 05E, Combinaciones algebraicas de la "Clasificación de Sujetos Matemáticos" establecida en 1991 por la AMS.

Alcance[editar]

La combinatoria algebraica se ha visto de manera más amplia como un área de las matemáticas donde la interacción de los métodos combinatorios y algebraicos es particularmente fuerte y significativa. Por lo tanto, los temas combinatorios pueden ser de naturaleza enumerativa o incluir matroides, politopos, conjuntos parcialmente ordenados o geometrías finitas. En el campo algebraico, además de la teoría de grupos y representaciones, la teoría de retículos y el álgebra conmutativa son comunes.

Temas importantes[editar]

Funciones simétricas[editar]

El anillo de funciones simétricas es un límite específico de los anillos de polinomios simétricos con nindeterminado, ya que n tiende a infinito. Este anillo sirve como estructura universal en la que las relaciones entre polinomios simétricos se pueden expresar de una manera independiente del número n de indeterminciones (pero sus elementos no son ni polinomios ni funciones). Entre otras cosas, este anillo juega un papel importante en la teoría de representación del grupo simétrico.

Esquemas de asociación[editar]

Un esquema de asociación es una colección de relaciones binarias que cumplen ciertas condiciones de compatibilidad. Los esquemas de asociación proporcionan un enfoque unificado para muchos temas, como por ejemplo, el diseño combinatorio y la teoría de códigos.¹​²​. En álgebra, los esquemas de asociación generalizan el concepto de grupo y los esquemas de teoría de asociación generalizan la teoría del carácter de las representaciones lineales de grupos.³​⁴​⁵​.

Grafos muy regulares[editar]

Un grafo muy regular se define de la siguiente manera. Sea G = (V, E) un grafo regular con v vértices y grado k. Se dice que G es muy regular si también existen dos números enteros λ y μ de manera que:

• Cada dos vértices adyacentes tienen λ vecinos comunes.
• Cada dos vértices no adyacentes tienen μ vecinos comunes.

A veces se dice que un gráfico de este tipo es un gmr (v, k, λ, μ) (srg en inglés).

Algunos autores excluyen gráficos que satisfacen la definición trivialmente, a saber, aquellos gráficos que son la unión disjunta de uno o más grafos completos de igual tamaño,⁶​⁷​ y sus complementos, los grafos de Turán.

Tablas de Young[editar]

Artículo principal: Tabla de Young

Una tabla de Young es un objeto combinatorio útil en la teoría de representación y en el cálculo de Schubert. Proporciona una forma conveniente de describir las representaciones de los grupos simétricos y de los grupos generales lineales, permitiendo estudiar sus propiedades. Las tablas de Young fueron introducidas en 1900 por Alfred Young, un matemático de la Universidad de Cambridge. Luego fueron aplicadas al estudio del grupo simétrico por Ferdinand Georg Frobenius en 1903. Su teoría fue desarrollada por muchos matemáticos, incluyendo a Percy MacMahon, W. V. D. Hodge, G. de B. Robinson, Gian-Carlo Rota, Alain Lascoux, Marcel-Paul Schützenberger y Richard P. Stanley.

Matroides[editar]

Artículo principal: Matroide

Un matroide es una estructura que captura y generaliza la noción de dependencia e independencia lineal en espacios vectoriales. Hay muchas formas equivalentes de definir un matroide, relacionadas con conjuntos independientes, bases, circuitos, conjuntos cerrados o planos, operadores de cierre y funciones de rango.

La teoría de matroides toma prestada la terminología del álgebra lineal y de la teoría de grafos extensamente, en gran parte porque es la abstracción de varias nociones de importancia central en estos campos. Los matroides han encontrado aplicaciones en geometría, topología, optimización combinatoria, análisis de redes y teoría de códigos.⁸​⁹​

Geometrías finitas[editar]

Artículo principal: Geometría finita

Una geometría finita es cualquier sistema geométrico que solo tiene un número finito de puntos.

La familiar geometría euclidiana no es finita, porque una línea euclidiana contiene infinitos puntos. Una geometría basada en los gráficos mostrados en una pantalla de computadora, donde los píxeles se consideran los puntos, sería una geometría finita. Si bien hay muchos sistemas que podrían denominarse geometrías finitas, la atención se presta principalmente a los espacios proyectivos y al espacio afín finitos debido a su regularidad y simplicidad. Otros tipos significativos de geometría finita son el plano de Möbius o plano inversivo finitos y los planos de Laguerre, que son ejemplos de un tipo general llamado plano de Benz, y de sus análogos de mayor dimensión tales como las geometrías de inversión finitas superiores.

Las geometrías finitas se pueden construir a través del álgebra lineal, comenzando desde los espacios vectoriales a través de un cuerpo finito; el plano proyectivo y los afines así construidos se llaman geometrías de Galois. Las geometrías finitas más comunes (que también se pueden definir de forma puramente axiomática) son geometrías de Galois, ya que cualquier espacio proyectivo finito de dimensión tres o superior es isomórficorespecto a un espacio proyectivo sobre un campo finito (es decir, se da la proyectividad de un espacio vectorial sobre un campo finito). Sin embargo, la dimensión dos tiene planos afines y proyectivos que no son isomorfos a las geometrías de Galois, es decir, los planos no desarguesianos. Resultados similares se mantienen para otros tipos de geometrías finitas.

Multiplicación de cuaterniones

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que ${\displaystyle i^{2}=-1}$, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales tal que:

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$,

como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley.

Los elementos 1, i, j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4.

Etimología[editar]

Cuaternión proviene del latín quaterni (por cuatro), su significado literal es "número de cuatro componentes". El vocablo fue propuesto por su creador William Rowan Hamilton.¹​

Representaciones de los cuaterniones[editar]

Vectorial[editar]

El conjunto de los cuaterniones puede expresarse como:

${\displaystyle \mathbb {H} =\left\{a+bi+cj+dk:a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

o equivalentemente:

${\displaystyle \mathbb {H} =\left\{(a+bi)+(c+di)j:a+bi,c+di\in \mathbb {C} \right\}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.

Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes ${\displaystyle {\vec {x}}=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})}$, y el otro el de las "bases": ${\displaystyle \{1,\ i,\ j,\ k\}}$. En este caso, el elemento a₁ que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k:

${\displaystyle x=\left(a_{1},{\vec {a}}\right)=\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right)}$

Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.

Matricial[editar]

Además hay, al menos, dos formas, isomorfismos, para representar cuaterniones con matrices. Así el cuaternión ${\displaystyle q=a+bi+cj+dk\,}$ se puede representar:

• Usando matrices complejas de 2x2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}}$

Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante ${\displaystyle U(2)}$. Cuyo subconjunto SU(2), los cuatenios unitarios, juegan un papel importante en la teoría de gauge y de donde es fácil ver que el determinante es igual a ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=\|q\|^{2}\,.}$ Una propiedad interesante de esta representación es que todos los números complejos son matrices que sólo tienen componentes reales.

• Usando matrices reales de 4x4:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{pmatrix}}}$

En este caso el determinante de la matriz resulta igual a ${\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}=\|q\|^{4}\,.}$

Aritmética básica de cuaterniones[editar]

Parte real e imaginaria de un cuaternión[editar]

Un cuaternión ${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k\end{aligned}}}$a se convierte en un número real ${\displaystyle a_{1}}$ si todas las otras coordenadas es igual a cero. De modo tal que el eje real ℝ está contenido en el conjunto H de todos los cuaterniones. ²​ El número real ${\displaystyle a_{1}}$ se considera la parte real del cuaternión ${\displaystyle a}$. Todos los cuaterniones ${\displaystyle a}$ para los cuales ${\displaystyle a_{1}}$ igual a cero, se consideran imaginarios puros. Ellos constituyen un subespacio tridimensional ${\displaystyle I}$ del espacio ${\displaystyle H}$de todos los cuaterniones. Los espacios ${\displaystyle D}$ e ${\displaystyle I}$ son complementos ortogonales el uno del otro. .²​ De modo tal que el cuaternión se puede escribir como la suma de la parte real y de la parte imaginaria.

Definimos la suma y producto entre cuaternios mediante la aritmética usual de las matrices y de los números complejos. Puede comprobarse que el conjunto ${\displaystyle \mathbb {H} }$, junto con estas operaciones, satisface todas las propiedades de un campo con excepción del producto que no es conmutativo.

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k\\b&=b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k\end{aligned}}}$

Adición[editar]

La adición se realiza análogamente a como se hace con los complejos, es decir: término a término:

${\displaystyle \ a+b=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})i+(a_{3}+b_{3})j+(a_{4}+b_{4})k}$

Producto[editar]

El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por:

${\displaystyle {\begin{aligned}ab&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&+(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})j+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})k\end{aligned}}}$

Una forma ligeramente más reducida puede ser:

${\displaystyle ab=(\alpha ,{\vec {a}})\ (\beta ,{\vec {b}})}$

${\displaystyle ab=\left(\alpha \beta -{\vec {a}}\cdot {\vec {b}},\ \alpha {\vec {b}}+{\vec {a}}\beta +{\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)}$

El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo.

Conjugación[editar]

• El conjugado de un cuaternión ${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k}$ está dado por ${\displaystyle {\bar {x}}=x_{1}-x_{2}i-x_{3}j-x_{4}k}$. En otras palabras, el conjugado invierte el signo de los componentes "agregados" del cuaternión. Matricialmente esto corresponderá a la operación de trasposición de cualquiera de sus representaciones matriciales.

• La medida o valor absoluto de un cuaternión x está dado por:

${\displaystyle \left\|x\right\|={\sqrt {x{\bar {x}}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}}$

Matricialmente, esta medida coincide con la raíz cuadrada del determinante de la matriz compleja 2 por 2 que representa al cuaternión. Esta medida cumple una propiedad similar al módulo de un número complejo: |zw| = |w| |z| para cualesquier cuaterniones z y w.

Usando como norma el valor absoluto, los cuaterniones conforman un álgebra de Banach real.

Cocientes[editar]

El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por:

${\displaystyle x^{-1}={\frac {\bar {x}}{x{\bar {x}}}}={\frac {\bar {x}}{\left\|x\right\|{}^{2}}}}$. El cual es mismo patrón que cumplen los números complejos.

Usando la forma del inverso, es posible escribir dos cocientes de cuaterniones como:

${\displaystyle ab^{-1}={\frac {a{\bar {b}}}{\left\|b\right\|{}^{2}}}\quad {\text{y}}\quad b^{-1}a={\frac {{\bar {b}}a}{\left\|b\right\|{}^{2}}}.}$

Exponenciación[editar]

La exponenciación de números cuaterniónicos, al igual que sucede con los números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas. Dado un cuaternión escrito en forma canónica q = a + bi + cj + dk su exponenciación resulta ser:

${\displaystyle e^{q}=e^{a+bi+cj+dk}=e^{a}\left(\cos {\sqrt {b^{2}+c^{2}+d^{2}}}+{\frac {\sin {\sqrt {b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}(bi+cj+dk)\right)}$

Comparación con matrices[editar]

La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa al igual que en el caso de los cuaterniones. Sin embargo, tampoco todas las matrices poseen un inverso multiplicativo mientras que todos los cuaternios diferentes del cero son invertibles.

Detalles algebraicos[editar]

Los cuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimétrico (a veces llamado anillo con división), una estructura algebraica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multiplicación, es decir: satisfacen todas las propiedades de un cuerpo con excepción de que el producto no es conmutativo. La multiplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso. Forman una ${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebra asociativa 4-dimensional sobre los reales y los complejos forman un subconjunto de ella, los cuaterniones no forman un álgebra asociativa sobre los complejos.

Usando la función distancia definida como ${\displaystyle d(z,w)}$ = |z - w|, los cuaterniones forman un espacio métrico y todas las operaciones aritméticas son continuas.

El conjunto de los cuaterniones de valor absoluto 1 forman una esfera 3-dimensional ${\displaystyle S^{3}}$ y un grupo (incluso grupo de Lie) con la multiplicación. Este grupo actúa, mediante conjugación, sobre la copia de ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ constituida por los cuaterniones cuya parte real es cero. No es difícil comprobar que la conjugación por un cuaternión unidad de parte real cos t es una rotación de ángulo 2t con el eje de giro en la dirección de la parte imaginaria.

Así, ${\displaystyle S^{3}}$ constituye un recubrimiento doble del grupo SO(3) de matrices ortogonales 3x3 de determinante 1; es isomorfo a SU(2), el grupo de matrices 2 x 2 complejas unitarias y de determinante unidad.

Sea A el conjunto de cuaterniones de la forma a + bi + cj + dk donde a, b, c y d son, o todos enteros o todos racionales con numerador impar y denominador 2. El conjunto A es un anillo y un retículo. Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo y son los vértices de un politopo regular, llamado {3,4,3} en la notación de Schlafli.

Clasificación en el álgebra abstracta[editar]

Un conjunto que posee todas las propiedades de un campo excepto por ${\displaystyle M_{2}}$ se conoce como un anillo con división o un campo asimétrico. La construcción de los cuaternios por Hamilton fue el primer ejemplo de este tipo de estructura. La existencia del inverso multiplicativo de un cuaternión no nulo puede comprobarse de manera semejante a como se realiza para los complejos como sigue. Recordemos que para cualquier número complejo z = a + bi se define su norma como la raíz cuadrada de ${\displaystyle (a^{2}+b^{2})}$ y su conjugado como z = a - bi. Tenemos entonces que recordemos que el cuaternión h = a + bI + cJ + dK puede pensarse como la matriz compleja.

• El conjunto de los cuaternios, con la adición y la multiplicación, constituyen un cuerpo no conmutativo, comportamiento diferente a los conocidos cuerpos conmutativos de los números racionales, reales y complejos.

El conjunto de los cuaterniones constituye un espacio lineal tetradimensional con base 1, i, j, k.

Aplicaciones[editar]

Los cuaterniones no son únicamente una curiosidad algebraica. Tienen diversas aplicaciones que van desde la teoría de números, en donde pueden utilizarse para probar resultados como el teorema de los cuatro cuadradosdado por Lagrange, que dice que todo número natural n puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos, hasta aplicaciones físicas dentro del electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica, entre otras.

Los cuaterniones en física representan rotaciones en el espacio, véase cuaterniones y rotación en el espacio. Además tienen aplicaciones en el electromagnetismo y la mecánica cuántica.

Los cuaterniones se utilizan a menudo en gráficos por computadora (y en el análisis geométrico asociado) para representar la orientación de un objeto en un espacio tridimensional. Las ventajas son: conforman una representación no singular (comparada con, por ejemplo, los ángulos de Euler), más compacta y más rápida que las matrices, en términos computacionales. Debido a lo expuesto, es común el uso de esta notación en el campo de la robótica, debido a que permite en ciertas situaciones, mediante cuaterniones unitarios, abstraer rotaciones y traslaciones con cierta simplicidad, permitiendo la obtención de la orientación relativa entre sistemas de coordenadas.³​

Historia[editar]

Los números complejos desempeñan un papel muy importante en las matemáticas. Vinculado a esto brotó la idea de generalizar más todavía los números reales. en este proceso de expansión se construyeron los cuaterniones, cuyo papel en las matemáticas resultó poco significativo.⁴​

Placa conmemorativa en el puente de Brougham (Broom), Dublín, con el texto:

"Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication

i² = j² = k² = ijk = −1"

Los cuaterniones fueron creados por William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden interpretarse como puntos en un plano) a un número mayor de dimensiones. No pudo hacerlo para 3 dimensiones, pero para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones. Según una historia relatada por el propio Hamilton, la solución al problema que le ocupaba le sobrevino un día que estaba paseando con su esposa, bajo la forma de la ecuación: i² = j² = k² = ijk = -1. Inmediatamente, grabó esta expresión en el lateral del puente de Brougham, que estaba muy cerca del lugar.

Hamilton popularizó los cuaterniones con varios libros, el último de los cuales, Elements of Quaternions (en inglés Elementos de Cuaterniones), tenía 800 páginas y fue publicado poco después de su muerte.

Generalizaciones[editar]

Si F es un cuerpo cualquiera y a y b son elementos de F\{0}, se puede definir un álgebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones sobre Futilizando dos generadores, i y j, y las relaciones i² = a, j² = b e ij = -ji. Estas álgebras, o son isomorfas al álgebra de matrices 2x2 sobre F, o son álgebras de división sobre F, y se denominan álgebras de cuaterniones.