ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ABSTRACTA - SUPERFICIES

 curvatura media ${\displaystyle H}$ de una superficie ${\displaystyle S}$ es una medida extrínseca de curvatura definida en geometría diferencial y que localmente describe la curvatura de una superficie inmersa surface en algunos ambientes como el espacio euclídeo.

El concepto fue introducido por Sophie Germain en su trabajo sobre teoría de la elasticidad.

Definición[editar]

Sea ${\displaystyle p}$ un punto sobre la superficie ${\displaystyle S}$. Considérense todas las curvas ${\displaystyle C_{i}}$ sobre ${\displaystyle S}$ que pasan a través del punto ${\displaystyle p}$sobre la superficie. Tales ${\displaystyle C_{i}}$ tienen una curvatura asociada ${\displaystyle K_{i}}$ dada en ${\displaystyle p}$. De todas esas curvaturas ${\displaystyle K_{i}}$, al menos una está caracterizada como máxima, ${\displaystyle \kappa _{1}}$ y otra como mínima, ${\displaystyle \kappa _{2}}$, y esas dos curvaturas ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}$ son conocidas como las curvaturas principales de ${\displaystyle S}$.

La curvatura media en ${\displaystyle p\in S}$ es la media de las curvaturas (Spivak, 1999, Volumen 3, Capítulo 2), y de ahí su nombre:

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).}$

La curvatura media se puede calcular respecto a los coeficientes de la primera y segunda forma fundamental (Do carmo³​ 1976, capítulo 3, sección 3)

${\displaystyle H={Eg-2fF+Ge \over 2(EG-F^{2})}.}$

A partir de esta relación y la fórmula de la curvatura Gaussiana se puede definir el polinomio

${\displaystyle P(\kappa )=\kappa ^{2}-2HK\kappa +K.}$

Cuyas raíces son las curvaturas principales ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}$.

En general (Spivak, 1999, Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie ${\displaystyle T}$ la curvatura media está dada por

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}$

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.

En matemática, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.

Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetrosortogonales.

Ecuación cartesiana de un elipsoide[editar]

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$

donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números realespositivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

Superficie[editar]

La superficie de un elipsoide está dada por la siguiente fórmula:

${\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\alpha ,m)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\alpha ,m)\right),\,\!}$

donde

${\displaystyle \alpha ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {c}{a}}\right)\;{\textrm {achatado\;o\;escaleno}}\\\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\;{\textrm {alargado}}\end{cases}},\!}$

es su excentricidad angular, ${\displaystyle m={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}(\alpha )}}\,\!}$, y ${\displaystyle F(\alpha ,m)\,\!}$, ${\displaystyle E(\alpha ,m)\,\!}$ son las integrales elípticas de primera y segunda especie.

Una ecuación aproximada de su superficie es:

${\displaystyle S\;\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}\,\!}$

donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c. El valor p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides cuasi esféricos, con un error relativo máximo de 1,178%.¹​

Volumen[editar]

El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación:

${\displaystyle V=\;{\frac {4\pi }{3}}abc\,\!}$

Utilizando Geometría diferencial se puede demostrar la expresión anterior. Se sabe que el volumen de una región cerrada Ω corresponde a la integral triple de la función f(x,y,z) = 1 y que si se realiza algún cambio de coordenadas ( por ejemplo esféricas) se ha de multiplicar por el Jacobiano del Cambio de Variable y adaptar los límites de integración.

${\displaystyle V_{\Omega }=\iiint _{\Omega }dV=\iiint _{\Omega }\left|J\Psi (\rho ,\theta ,\varphi )\right|d\rho d\theta d\varphi ,\!}$

En este caso el cambio de variable es de tipo pseudoesférico, mucho más general que el de la esfera (por un motivo lógico, un elipsoide con todos sus parámetros a,b,c iguales genera una esfera, es decir, que la esfera es un elipsoide particular con un alto grado de simetría). También se han definido los límites de integración.

${\displaystyle \Psi (\rho ,\theta ,\varphi )={\begin{cases}&x=a\rho \sin \theta \cos \varphi \ {:\rho \in \left[0,1\right]}\\&y=b\rho \sin \theta \sin \varphi \ {:\theta \in \left[0,\pi \right]}\\&z=c\rho \cos \theta \ {:\varphi \in \left[0,2\pi \right]}\end{cases}},\!}$

Para calcular el Jacobiano habría que calcularse la matriz en derivadas parciales respecto de ${\displaystyle \rho ,\theta ,\phi }$ y el determinante de esta matriz cuadrada tres por tres da como resultado:

${\displaystyle \left|J\Psi (\rho ,\theta ,\varphi )\right|=abc\cdot \rho ^{2}\sin \theta ,\!}$

Por lo tanto la integral que hay que resolver es teniendo el cuenta lo dicho anteriormente es:

${\displaystyle abc\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{1}\rho ^{2}\sin \theta \ d\rho d\theta d\varphi ,\!}$

Operando:

${\displaystyle abc\int _{0}^{1}\rho ^{2}d\rho \int _{0}^{\pi }\sin \theta \ d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi =abc\cdot \left[{\frac {r^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}\cdot \left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }\cdot \left[\varphi \right]_{0}^{2\pi }=abc\cdot {\frac {1}{3}}\cdot 2\cdot 2\pi ={\frac {4}{3}}\pi abc\ \!}$

(Q,E,D)

Una demostración alterna se puede hacer con sumas de Riemann. Esta consiste en sumar a lo largo del eje X las áreas de la secciones transversales. Como la sección transversal de un elipsoide es una elipse, su área está dada por ${\displaystyle A_{x}=\pi \ z(x)\ y(x)\!}$ por lo que el volumen del elipsoide estaría dado por:

${\displaystyle 2\pi \int _{0}^{a}z(x)y(x)dx}$

Nuevamente como las secciones transversales son elipses se tiene:

${\displaystyle z=c{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle y=b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}}$

Reemplazando:

${\displaystyle 2\pi \int _{0}^{a}bc\left(1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right)dx={\frac {4}{3}}\pi a\ b\ c\!}$

Otra forma de calcular el volumen mediante la suma de las áreas de la secciones transversales a lo largo del eje X, sin recurrir a la fórmula del área de la elipse, es expresar el área de dichas secciones como la integral ${\displaystyle \int z\cdot dy}$ entre los límites de la elipse ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\ =\ 1}$.

Entonces se obtiene la integral doble :

${\displaystyle V=2\int _{-a}^{a}[\int _{-{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}^{{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}c\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}\ dy\ ]\ dx}$.

Esta integral doble puede simplificarse a

${\displaystyle 8c\int _{0}^{a}[\int _{0}^{{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}\ dy\ ]\ dx}$ .

La integral interior (entre corchetes), que representa el área de cada sección transversal ${\displaystyle \int _{0}^{{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}\ dy}$ se resuelve sin gran dificultad como ${\displaystyle {\frac {b\pi }{4a^{2}}}\cdot (a^{2}-x^{2})}$

Cuya integral entre ${\displaystyle [0,a]}$ es igual a ${\displaystyle {\frac {b\pi }{4a^{2}}}\cdot {\frac {2}{3}}a^{3}}$; e incluyendo y agrupando todos los términos se obtiene la fórmula del volumen:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\ \pi \ a\ b\ c\!}$

Otras características[editar]

La intersección de un elipsoide con un plano suele ser una elipse. También puede ser una circunferencia.

Se puede definir un elipsoide en espacios de más de tres dimensiones.

energía de Willmore es una medida cuantitativa de como una superficie dada se desvía de una esfera en términos de curvatura. La expresión matemática de la energía de Willmore de una superficie cerrada suave embeddida en el espacio Euclídeo tridimensional se define como la integral del cuadrado de la curvatura media. Se denomina así en honor al geómetra inglés Thomas Willmore.

Definición[editar]

La energía de Willmore de una superficie S cerrada, suave y encajada en el espacio Euclídeo tridimensional es:

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA}$

donde ${\displaystyle H}$ es la curvatura media y dA es el elemento de área de S inducido por el espacio ambiente.

Variante[editar]

En ocasiones, se encuentra como definición de energía de Willmore la expresión siguiente:

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA}$

donde ${\displaystyle K}$ es la curvatura de Gauss. Utilizando esta definición para una superficie cerrada, por el teorema de Gauss-Bonet, la integral de la curvatura de Gauss se puede obtener en términos de la característica de Euler ${\displaystyle \chi (S)}$ de la superficie, luego

${\displaystyle \int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),}$

la cual es una invariante topológica y por tanto es independiente del embeddimiento particular en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ que se haya elegido. De esta forma, la energía de Willmore se puede expresar como

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)}$

Otra fórmula equivalente a la variante dada es

${\displaystyle {\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA}$

donde ${\displaystyle k_{1}}$ y ${\displaystyle k_{2}}$ son las curvaturas principales de la superficie.

Motivación[editar]

Las superficies mínimas en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ son por definición aquellas cuya curvatura media se anula en todo punto, es decir, ${\displaystyle H\equiv 0}$. Por el principio del máximo se llega a que no hay superficies mínimas compactas sin borde en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. En su lugar, resulta interesante fijarse en superficies cerradas que minimicen la energía de Willmore.

Propiedades[editar]

Una esfera de radio arbitrario ${\displaystyle r}$ tiene energía de Willmore ${\displaystyle {\mathcal {W}}(\mathbb {S} ^{2}(r))=4\pi }$. Una aplicación directa de la desigualdad de la media aritmética y geométrica (junto con el teorema de Gauss-Bonnet) muestra que para cualquier otra esfera la energía de Willmore es mayor de ${\displaystyle 4\pi }$.

La energía de Willmore puede ser considerada como un funcional en el espacio de embeddimientos de una superficie dada, en el sentido del cálculo de variaciones, pudiéndose hacer variar los embeddimientos de una superficie, mientras se conserva la topología inalterada.

Puntos críticos[editar]

Un problema básico en el cálculo de variaciones consiste en encontrar los puntos críticos y los mínimos de un funcional.

Se pueden encontrar mínimos (locales) de la energía de Willmore utilizando el método del descenso gradiente, el cual es conocido en este contexto como flujo de Willmore.

Para embeddimientos de la esfera en el espacio tridimiensional, los puntos críticos han sido ya clasificados:²​ todos ellos son transformaciones conformes de superficies minimales, la esfera es el mínimo, y todo el resto de puntos críticos son enteros mayores o iguales que 4${\displaystyle \pi }$. Se las conoce como superficies de Willmore.

Flujo de Willmore[editar]

El flujo de Willmore es el flujo geométrico correspondiente a la energía de Willmore; se trata de un ${\displaystyle L^{2}}$-flujo gradiente.

${\displaystyle e[S]={\frac {1}{2}}\int _{S}H^{2}\,\mathrm {d} A}$

donde ${\displaystyle H}$ es la curvatura media de la superficie ${\displaystyle S}$.

Las líneas del flujo satisfacen la ecuación diferencial

${\displaystyle \partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,}$

donde ${\displaystyle x}$ es un punto de la superficie.

Este flujo lleva a un problema de evolución en geometría diferencial: la superficie ${\displaystyle S}$ evoluciona en el tiempo siguiendo varaciones de descenso más agudo de la energía. Como la difusión superficial, se trata de un flujo de orden cuatro, dado que la variación de energía tiene derivadas cuartas.

Aplicaciones[editar]

• Las membranas celulares tienden a posicionarse de forma que minimicen la energía de Willmore.
• La energía de Willmore se utiliza para construir una clase de eversión de la esfera óptima, la eversión minimax.