ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - FRACCIONES

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).¹​

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Si ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$ es un sistema de ecuaciones, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ es la matriz de coeficientes del sistema, ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ es el vector columna de las incógnitas, y ${\displaystyle \mathbf {b} }$ es el vector columna de los términos independientes, entonces la solución al sistema se presenta así:

${\displaystyle x_{j}={\cfrac {\det(\mathbf {A} _{j})}{\det(\mathbf {A} )}}}$

Donde ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$ es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ por el vector columna ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ha de ser no nulo.

Sistema de 2x2[editar]

Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

${\displaystyle a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}={\color {red}e}\,}$

${\displaystyle c{\color {blue}x}+d{\color {blue}y}={\color {red}f}\,}$

Se representa matricialmente :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}$

Entonces, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {red}e}d-b{\color {red}f}}{ad-bc}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {a{\color {red}f}-{\color {red}e}c}{ad-bc}}}$

Ejemplo[editar]

Ejemplo de la resolución de un sistema de 2x2:

Dado

${\displaystyle 3x+1y=9\,}$

${\displaystyle 2x+3y=13\,}$

que matricialmente es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}}$

x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9\cdot 3-1\cdot 13 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=2}$

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3\cdot 13-9\cdot 2 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=3}$

Sistema de 3x3[editar]

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

${\displaystyle {\begin{cases}a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}+c{\color {blue}z}={\color {black}j}\\d{\color {blue}x}+e{\color {blue}y}+f{\color {blue}z}={\color {black}k}\\g{\color {blue}x}+h{\color {blue}y}+i{\color {blue}z}={\color {black}l}\end{cases}}}$

Que representadas en forma de matriz es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\\{\color {blue}z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ pueden ser encontradas como sigue:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$

Ejemplo[editar]

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

${\displaystyle \left\lbrace \!\!\!{\begin{array}{rl}3x+2y+1z=&\!\!\!1\\2x+0y+1z=&\!\!\!2\\-1x+1y+2z=&\!\!\!4\end{array}}\right.}$

Expresado en forma matricial: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}}}$

Los valores de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$ serían:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}1&2&1\\2&0&1\\4&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&1&1\\\,\,\,\,2&2&1\\-1&4&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad z={\frac {\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&2\\-1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}}}$

Demostración[editar]

Sean:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{j}=\left[{\begin{array}{llllllll}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2,n}\\\\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,j-1}&b_{n-1}&a_{n-1,j+1}&\cdots &a_{n-1,n}\\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\end{array}}\right]}$

Usando las propiedades de la multiplicación de matrices:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {Ix}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}}$

Entonces:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}={\frac {(\operatorname {Adj} {\boldsymbol {A}})^{t}}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}\;{\boldsymbol {b}}}$

${\displaystyle (\operatorname {Adj} {\boldsymbol {A}})^{t}={\frac {{\boldsymbol {A}}_{pl}^{\prime }}{{\boldsymbol {A}}_{pl}^{\prime }}}={\boldsymbol {A}}_{lp}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\boldsymbol {A}}_{ji}^{\prime }}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}b_{ik}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {A}}_{ij}b_{i}}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}={\cfrac {\left|{\boldsymbol {A}}_{j}\right|}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}}$

Aparte, recordando la definición de determinante, la suma definida acumula la multiplicación del elemento adjunto o cofactor de la posición ${\displaystyle ij}$, con el elemento i-ésimo del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ (que es precisamente el elemento i-èsimo de la columna ${\displaystyle j}$, en la matriz ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{j}}$).

 

 

Regla de Cramer

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

 1  El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

 2  El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

Δ₁, Δ₂ , Δ₃, ... , Δ_n son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

...

Ejemplos

1

2

Como el sistema no es un sistema de Cramer, debemos transformarlo.

Como  , podemos limitarnos a estudiar el sistema:

Estamos ante un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante de la matriz de coeficientes distinto de cero. Es decir, estamos ante un sistema de Cramer.

Las soluciones de este sistema de Cramer, que vendrán dadas en función de λ serán las mismas que las del sistema original.

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