ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - FRACCIONES

anillo cociente, anillo factor o anillo de residuos es el anillo que se obtiene sobre el conjunto de clases de equivalencia de un anillo respecto a una relación de equivalencia ${\displaystyle a\sim b}$ dada por ${\displaystyle a-b\in I}$ donde I es cualquier ideal bilateral cuando las operaciones en el conjunto de clases de equivalencia son inducidas por las operaciones en el anillo original.

Es importante diferenciar el concepto de anillo cociente del de anillos de cocientes, obtenidos por un proceso de localización de un anillo.

Definición formal[editar]

Dado un anillo R y un ideal bilateral de R, I. Dado que la estructura aditiva de R es de grupo abeliano, el conjunto ${\displaystyle {\bar {R}}=R/I}$ de clases laterales aditivas ${\displaystyle a+I}$ (con ${\displaystyle a\in R}$) adquiere la estructura de grupo abeliano (bajo la operación grupo cociente) mediante la suma de clases laterales definida como:

${\displaystyle (a+I)+(b+I):=(a+b)+I}$.

Este grupo abeliano adquiere estructura de anillo si adicionalmente se define el producto de clases laterales como

${\displaystyle (a+I)(b+I):=(ab)+I}$.

• Se establece que el producto está unívocamente determinado, no depende de la elección de los representantes de cada clase.¹​

A la estructura de anillo obtenida en ${\displaystyle R/I}$ mediante este proceso se le denomina anillo cociente de R entre I.²​

Teoremas de isomorfismo[editar]

Sea ${\displaystyle f:R\to R'}$es un homomorfismo de anillos cuyo kernel es el ideal ${\displaystyle I}$ y sea ${\displaystyle J}$ es un ideal contenido en ${\displaystyle I}$. Denotando por ${\displaystyle {\bar {R}}}$ al anillo de residuos ${\displaystyle R/J}$ entonces: Existe un único homomorfismo ${\displaystyle {\bar {f}}:{\bar {R}}\to R}$ tal que ${\displaystyle {\bar {f}}\pi =f}$donde ${\displaystyle \pi }$ es la proyección canónica de ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle {\bar {R}}}$. Si ${\displaystyle J=I}$ entonces ${\displaystyle {\bar {R}}}$ es un anillo isomorfo a la imagen de ${\displaystyle f}$. Anillo cociente Publicado el abril 12, 2014 por Fernando Revilla Construimos el anillo cociente asociado a un ideal. Enunciado Sea (A,+,⋅)$(A,+,\cdot )$ un anillo, e I$I$ un ideal de A.$A.$ Demostrar que A/I={a+I:a∈A}$A/I=\{a+I:a\in A\}$ es un anillo con las operaciones: (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,(a+I)⋅(b+I)=ab+I.$$\begin{array}{}(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,(a+I)\cdot (b+I)=ab+I.\end{array}$$ Demostrar también que si A$A$ es conmutativo (unitario), entonces A/I$A/I$ es conmutativo (unitario). Solución 1)$1)$ (A/I,+,⋅)$(A/I,+,\cdot )$ es grupo abeliano. En efecto, como I$I$ es un subgrupo aditivo de A,$A,$ y la operación +$+$ es conmutativa, I$I$ es subgrupo normal de A,$A,$ y según sabemos A/I={a+I:a∈A}$A/I=\{a+I:a\in A\}$ es un grupo (además abeliano) con la operación +,$+,$ (a+I)+(b+I)=(a+b)+I.$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I.$ 2)$2)$ (A/I,⋅)$(A/I,\cdot )$ es semigrupo. Lo primero que tenemos que demostrar es que la operación producto está bien definida en A/I,$A/I,$ es decir que el producto depende de las clases en sí, y no del representante que elijamos de las mismas. Equivalentemente, tenemos que demostrar que: a+I=a′+I y b+I=b′+I⇒ab+I=a′b′+I.$$a+I=a^{\prime }+I\text{ y }b+I=b^{\prime }+I\Rightarrow ab+I=a^{\prime }{b}^{\prime }+I.$$ En efecto, si a+I=a′+I$a+I=a^{\prime }+I$ y b+I=b′+I,$b+I=b^{\prime }+I,$ entonces a′∈a+I$a^{\prime }\in a+I$ y b′∈b+I,$b^{\prime }\in b+I,$ o sea a′=a+x,$a^{\prime }=a+x,$ b′=b+y$b^{\prime }=b+y$ para ciertos x,y∈I.$x,y\in I.$ Ahora bien, a′b′=(a+x)(b+y)=ab+xb+ay+xy.$$a^{\prime }{b}^{\prime }=(a+x)(b+y)=ab+xb+ay+xy.$$ Como I$I$ es ideal, la suma xb+ay+xy$xb+ay+xy$ pertenece a I,$I,$ y por tanto a′b′∈ab+I,$a^{\prime }{b}^{\prime }\in ab+I,$ luego a′b′+I=ab+I.$a^{\prime }{b}^{\prime }+I=ab+I.$ Queda pues demostrado que la operación producto está bien definida en A/I.$A/I.$ Interna. Por la propia definición, el producto de dos elementos de A/I$A/I$ es un elemento de A/I.$A/I.$ Asociativa. Para a+I,$a+I,$ b+I,$b+I,$ c+I$c+I$ elementos cualesquiera de A/I,$A/I,$ y usando la propiedad asociativa del producto en A:$A:$ [(a+I)(b+I](c+I)=(ab+I)(c+I)=(ab)c+I.=a(bc)+I=(a+I)(bc+I)=(a+I)[(b+I)(c+I)].$$\begin{array}{rl}& \left[(a+I)(b+I\right](c+I)=(ab+I)(c+I)=(ab)c+I.\\ & =a(bc)+I=(a+I)(bc+I)=(a+I)\left[(b+I)(c+I)\right].\end{array}$$ 3)$3)$ En A/I$A/I$ el producto es distributivo respecto de la suma. En efecto, para a+I,$a+I,$ b+I,$b+I,$ c+I$c+I$ elementos cualesquiera de A/I,$A/I,$ y usando la propiedad distributiva en A:$A:$ (a+I)[(b+I)+(c+I]=(a+I)[(b+c)+I]=a(b+c)+I=(ab+ac)+I=(ab+I)+(ac+I)=(a+I)(b+I)+(a+I)(c+I).$$\begin{array}{rl}& (a+I)\left[(b+I)+(c+I\right]=(a+I)\left[(b+c)+I\right]=a(b+c)+I=\\ & (ab+ac)+I=(ab+I)+(ac+I)=(a+I)(b+I)+(a+I)(c+I).\end{array}$$ [(a+I)+(b+I](c+I)=[(a+b)+I](c+I)=(a+b)c+I=(ac+bc)+I=(ac+I)+(bc+I)=(a+I)(c+I)+(b+I)(c+I).$$\begin{array}{rl}& \left[(a+I)+(b+I\right](c+I)=\left[(a+b)+I\right](c+I)=(a+b)c+I=\\ & (ac+bc)+I=(ac+I)+(bc+I)=(a+I)(c+I)+(b+I)(c+I).\end{array}$$ Concluimos que (A/I,+,⋅)$(A/I,+,\cdot )$ es anillo. Por último, si A$A$ es conmutativo, para a+I,$a+I,$ b+I,$b+I,$elementos cualesquiera de A/I:$A/I:$ (a+I)(b+I)=ab+I=ba+I=(b+I)(a+I)$$(a+I)(b+I)=ab+I=ba+I=(b+I)(a+I)$$ luego A/I$A/I$ es conmutativo. Si A$A$ es unitario con elemento unidad 1,$1,$ para todo elemento a+I$a+I$ de A/I:$A/I:$ (a+I)(1+I)=a⋅1+I=a+I,(1+I)(a+I)=1⋅a+I=a+I,$$\begin{array}{}& (a+I)(1+I)=a\cdot 1+I=a+I,(1+I)(a+I)=1\cdot a+I=a+I,\end{array}$$ es decir A/I$A/I$ es unitario con elemento unidad 1+I. POR LA MARAVILLOSA WEB : http://fernandorevilla.es/blog/2014/04/12/anillo-cociente/  anillos de fracciones que constituyen una generalización del concepto de cuerpo de fracciones. Construcción del anillo de fracciones de un anillo[editar] Sea ${\displaystyle A\,}$ un anillo (conmutativo y unitario) y ${\displaystyle S\,}$ un subconjunto multiplicativamente cerrado de ${\displaystyle A\,}$. Consideremos en ${\displaystyle A\times S}$ la relación binaria ${\displaystyle (a,s)\!\sim \!(b,t)\ \Leftrightarrow \ \exists u\!\in \!S\ /\ u(at-bs)=0}$ Es fácil comprobar que ${\displaystyle \sim }$ es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente ${\displaystyle (A\times S)/\sim }$ que denotaremos por ${\displaystyle S^{-1}A\;}$. Indicaremos por ${\displaystyle a/s}$ o ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$ a la clase del elemento ${\displaystyle (a,s)\,}$. Tampoco es difícil comprobar que las operaciones adición y producto ${\displaystyle {a \over s}+{b \over t}={at+bs \over st}}$ ${\displaystyle {a \over s}\cdot {b \over t}={ab \over st}}$ están bien definidas y dotan a ${\displaystyle S^{-1}A\;}$ de una estructura de anillo conmutativo y unitario. Así se ha construido el anillo de fracciones del anillo  respecto de : . fracción continua, nombrada también fracción continuada,1​2​ es una expresión de la forma: ${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}$ donde a0 es un entero y todos los demás números ai son enteros positivos, para i= 0, 1, 2,...n,.... Los números a0, a1, a2,..., as se llaman elementos o cocientes incompletos.3​ Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada. Cuando fuera necesario distinguir la forma típica de arriba de una generalizada aquella se denominará fracción continua regular o simple. Motivación[editar] El motivo del estudio de las fracciones continuas es el deseo de dar una representación «matemáticamente pura» de los números reales. Estamos familiarizados con la representación decimal: ${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i}}$ donde a0 puede ser cualquier entero y los otros ai pertenecen a {0, 1, 2, …, 9}. Así el número ${\displaystyle \pi }$, por ejemplo, se representa con la sucesión (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, …). Esta representación tiene algunos problemas. Por ejemplo, la constante 10 se usa porque los cálculos se hacen en el sistema decimal; bien podría usarse el octal o el binario. Otro problema es que muchos racionales no tienen representación finita; por ejemplo, 1/3 lo hace con la sucesión infinita (0, 3, 3, …). La representación en fracción continua de los números reales evita ambos problemas. Por ejemplo, consideremos el número 415/93, que vale aproximadamente 4.4624. Esto es aproximadamente 4, pero es algo mayor que 4, sobre 4+1/2. Pero el denominador 2 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 2+1/6, ya que 415/93 es aproximadamente 4+1/(2+1/6). Pero el denominador 6 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 4+1/(2+1/(6+1/7)). Esto es exacto. Quitando las partes redundantes de la expresión 4+1/(2+1/(6+1/7)), se obtiene su notación abreviada [4; 2, 6, 7]. Así, puede representarse en fracción continua cualquier número real, y se cumplen estas cómodas propiedades: La representación en fracción continua de un número real es finita si y solo si ese número es racional. La representación en fracción continua de un racional «simple» es generalmente corta. La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en 1. (de hecho: [a0; a1,... an, 1] = [a0; a1,... an + 1].) Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fracción continua [1; 1, 1,... ] representa al número áureo y [1; 2, 2, 2, … ] a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. El truncado de la representación en fracción continua de un número x da una aproximación racional que es, en cierto sentido, la «mejor posible» (véanse los teoremas 6 y 7, más abajo, para una formalización de este aserto). La última propiedad, falsa si empleáramos la representación convencional, es muy importante. Si truncamos una representación decimal, obtenemos una aproximación racional, pero habitualmente no la mejor. Por ejemplo, truncando 1/7=0.142857… en varios sitios obtendremos aproximaciones como 142/1000, 14/100 o 1/10. Pero es claro que el mejor racional que aproxima a 1/7 es el propio 1/7. Si truncamos la representación decimal de π obtendremos aproximaciones como 31415/10000 o 314/100. La representación en fracción continua de π comienza con [3; 7, 15, 1, 292,.. ]. Si truncamos esta representación obtendremos las excelentes aproximaciones: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, … Los denominadores de 314/100 y 333/106 son casi iguales pero el error en la aproximación de 314/100 es nueve veces mayor que el de 333/106, así como la aproximación a π con [3; 7, 15, 1] es 100 veces más precisa que 3.1416. Apuntes históricos[editar] Las fracciones continuas se utilizan desde antiguo. Aryabhata (476-550) las usó para resolver ecuaciones diofánticas, así como para dar aproximaciones precisas de números irracionales. Brahmagupta (598-668)profundizó en el estudio de las ecuaciones llamadas hoy de Pell. Desarrolló los fundamentos del método chakravala, usando cálculos parecidos a los de las fracciones continuas. Investigó la resolución de la ecuación ${\displaystyle x^{2}-61y^{2}=1}$, encontrando la menor solución: x = 1 766 319 049, y = 226 153 980 En el siglo XII, el método fue mejorado por Bhaskara II. Un algoritmo, análogo al de las fracciones continuas, permitió resolver un caso general. La diferencia más notable era que admitía números negativos en la fracción, acelerando la convergencia. La aparición en Europa fue posterior e italiana. Rafael Bombelli (1526-1572) usó un antecesor de las fracciones continuas para calcular aproximaciones de la raíz cuadrada de 13. Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) se dio cuenta de que el método de Bombelli valía para todas las raíces cuadradas; lo utilizó para la de 18 y escribió un opúsculo sobre este asunto. Remarcó que las aproximaciones obtenidas son alternativamente superiores e inferiores a la raíz cuadrada buscada. En Inglaterra hubo un progreso decisivo. El 3 de enero de 1657, Pierre de Fermat desafió a los matemáticos europeos con varios problemas, entre los que estaba la ecuación ya resuelta por Brahmagupta. La respuesta inglesa fue rápida. William Brouncker (1620-1684) encontró la relación entre la ecuación y la fracción continua, así como un método algorítmico equivalente al de los hindúes para el cálculo de la solución. Utilizó una fracción continua para construir una sucesión que convergía a ${\displaystyle 4/\pi }$, y aproximó ${\displaystyle \pi }$ con 10 decimales significativos. Estos resultados fueron publicados por John Wallis, que aprovechó para demostrar las relaciones de recurrencia utilizadas por Brouncker y Baskara II. Dio, además, el nombre de fracción continua en la frase: «Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum». En esta época, Christiaan Huygens(1629-1695) descubrió que las fracciones continuas son la herramienta ideal para determinar el número de dientes que deben tener las ruedas de engranajes de un reloj. Las utilizó para la construcción de un autómata planetario. En el siglo siguiente se resuelven algunas cuestiones teóricas. El uso mostró que el algoritmo de las fracciones continuas permitía resolver la ecuación de Pell utilizando el hecho de que la fracción es periódica a partir de un punto. Leonhard Euler (1707-1783) demostró que, si un número tiene una fracción continua periódica, entonces es solución de una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros. El recíproco, más sutil, es obra de Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) . Johann Heinrich Lambert (1728-1777) encontró una nueva utilidad de las fracciones continuas: las usó para demostrar la irracionalidad de ${\displaystyle \pi }$. Esta utilización vino a ser frecuente durante el siglo XIX. Évariste Galois encontró una condición necesaria y suficiente para que una fracción continua sea inmediatamente periódica. Joseph Liouville (1809-1882) utilizó el desarrollo en fracción continua generalizado para construir los primeros ejemplos de números trascendentes: los números de Liouville. Charles Hermite (1822-1901) estableció nuevos métodos para demostrar la trascendencia de ${\displaystyle e}$, base del logaritmo neperiano. Estos son retomados por Ferdinand von Lindemann que demostró en 1882 que ${\displaystyle \pi }$ es trascendente con el corolario de la imposibilidad de la cuadratura del círculo. Georg Cantor (1845-1918)demostró que los puntos de un segmento pueden ponerse en biyección con los del interior de un cuadrado con la ayuda de fracciones continuas. El siglo XX vio la explosión de un gran número de publicaciones sobre este asunto. Más de 1500 matemáticos han encontrado elementos dignos de publicación. Cálculo de una fracción continua[editar] Consideremos un número real r. Sea e la parte entera y d la parte decimal de r; entonces la representación en fracción continua de r es [e; a1, a2,...], donde [a1; a2,...] es la representación en fracción continua de 1/d. Para calcular la representación en fracción continua de un número r, se escribe en primer lugar la parte entera de r. Se resta esta parte entera a r. Si la diferencia es 0 se para; en otro caso se halla el inverso de la diferencia y se repite. Este proceso tendrá fin si y solo si r es racional. Hallar la fracción continua de 3 245 (= ${\displaystyle \scriptstyle {3+\,{49 \over 200}}}$) Paso Número real Parte entera Parte fraccionaria Simplificado Recíproco de f Simplificado 1 r = ${\displaystyle \scriptstyle {3+\,{49 \over 200}}}$ i = 3 f = ${\displaystyle \scriptstyle {3+\,{49 \over 200}}}$ − 3 = ${\displaystyle \scriptstyle {49 \over 200}}$ 1/f = ${\displaystyle \scriptstyle {200 \over 49}}$ = ${\displaystyle \scriptstyle {4+\,{4 \over 49}}}$ 2 r = ${\displaystyle \scriptstyle {4+\,{4 \over 49}}}$ i = 4 f = ${\displaystyle \scriptstyle {4+\,{4 \over 49}}}$ − 4 = ${\displaystyle \scriptstyle {4 \over 49}}$ 1/f = ${\displaystyle \scriptstyle {49 \over 4}}$ = ${\displaystyle \scriptstyle {12+\,{1 \over 4}}}$ 3 r = ${\displaystyle \scriptstyle {12+\,{1 \over 4}}}$ i = 12 f = ${\displaystyle \scriptstyle {12+\,{1 \over 4}}}$ − 12 = ${\displaystyle \scriptstyle {1 \over 4}}$ 1/f = ${\displaystyle \scriptstyle {4 \over 1}}$ = 4 4 r = 4 i = 4 f = 4 − 4 = 0 FIN La fracción continua de 3.245 =(${\displaystyle \scriptstyle {3+\,{49 \over 200}}}$) es [3; 4, 12, 4]. ${\displaystyle 3245=\ \left(3+\,{49 \over 200}\right)=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}}$ También podría representarse con [3; 4, 12, 3, 1] en referencia a las fracciones continuas finitas. mostrarEl mismo ejemplo visto de otra manera Notación[editar] Se puede expresar una fracción continua como ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;}$ o, en la notación de Pringsheim, ${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}}$ o esta otra notación similar a la anterior ${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+}{1 \over a_{3}+}}$ Se pueden definir las fracciones continuas infinitas como un límite: ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}]}$ Este límite existe para cualquier elección de enteros positivos a1, a2, a3... Formalización[editar] Llamaremos fracción continua de orden n a toda expresión de la forma: ${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\begin{array}{l}\ddots \\{a_{n-2}+{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}\end{array}}}}}}}}$ donde ${\displaystyle a_{0}\,}$ es un real no negativo y los demás son estrictamente positivos. Emplearemos también la notación: ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}]}$ Reducidas[editar] Sea ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}]}$ una fracción continua: definimos la sucesión pk/qk por: ${\displaystyle {\begin{cases}p_{0}=a_{0}\\q_{0}=1\end{cases}}\qquad {\begin{cases}p_{1}=a_{0}a_{1}+1\\q_{1}=a_{1}\end{cases}}}$ y la recurrencia, para k ≥ 2 ${\displaystyle {\begin{cases}p_{k}=a_{k}p_{k-1}+p_{k-2}\\q_{k}=a_{k}q_{k-1}+q_{k-2}\end{cases}}}$ La fracción pk/qk se llama la k-sima reducida de la fracción continua. Teorema 1 Para todo k ≤ n se tiene: ${\displaystyle {\frac {p_{k}}{q_{k}}}=[a_{0};a_{1},...a_{k}]}$ Además, para todo k, 1 ≤ k ≤ n, ${\displaystyle p_{k}q_{k-1}-p_{k-1}q_{k}=(-1)^{k-1}\,}$ Consideraremos a partir de ahora fracciones continuas enteras, esto es, aquellas para los que todo ai sea entero positivo. Teorema 2 Las reducidas de una fracción continua entera son fracciones irreducibles. Sea x un número real positivo, podemos ponerlo como a0+x0, donde a0 =[x] es la parte entera de x y 0 \le; x0 <1 .="" class="mwe-math-element" nbsp="" si="" span="">${\displaystyle x_{0}\neq 0}$

 entonces, del mismo modo, ${\displaystyle {\frac {1}{x_{0}}}=a_{1}+x_{1}}$, de manera que

${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+x_{1}}}}$.

Si ${\displaystyle x_{1}\neq 0}$, pondríamos ${\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}=a_{2}+x_{2}}$, etc. Tenemos entonces para k>1, ${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{x_{k-1}}}}$ y ${\displaystyle x_{k}={\frac {1}{x_{k-1}}}-a_{k}}$(siempre que ${\displaystyle x_{k-1}\neq 0}$). Tenemos:

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}+x_{k}]}$.

La sucesión (a_k) está determinada por x y se llama desarrollo en fracción continua de x.

Teorema 3 El desarrollo en fracción continua de x es finito si y solo si x es racional.

Teorema 4 Dada una sucesión infinita ${\displaystyle (a_{n})}$ de enteros positivos tales que ${\displaystyle a_{k}>=1}$ si ${\displaystyle k>=1}$, la sucesión de reducidas ${\displaystyle {\frac {p_{k}}{q_{k}}}=[a_{0};a1,\dots ,a_{k}]}$ converge.

Podemos así dar un sentido a una fracción continua entera infinita y escribir:

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\dots ,a_{k},\dots ]}$

donde ${\displaystyle x=\lim _{k}p_{k}/q_{k}}$.

Teorema 5 Sea x un real representado por una fracción continua entera infinita ${\displaystyle [a_{0};a_{1},\dots ]}$. Entonces (an) coincide con el desarrollo en fracción continua de x.

Mejores aproximaciones racionales[editar]

Teorema 6. La k-ésima reducida p_k / q_k del desarrollo en fracción continua de x es la mejor aproximación de xpor una fracción de denominador menor o igual a q_k :

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<\left|x-{\frac {p_{k}}{q_{k}}}\right|\Rightarrow q>=q_{k}}$.

Teorema 7. Sea x un número real positivo no nulo y p/q una fracción irreducible tal que:

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$

Entonces, p/q es una de las reducidas del desarrollo de x en fracción continua.

Teorema 8. (Hurwitz) Sea x un irracional positivo. Existe una cantidad infinita de racionales tales que:

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}}$.

Además, la constante ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ es la mejor posible.

En este último sentido el número áureo, ${\displaystyle \phi }$, es uno de los irracionales que peor se aproxima con fracciones continuas; sus reducidas, (5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.), distan casi exactamente ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}n^{2}}}}$ de ${\displaystyle \phi }$.

Algunos desarrollos notables[editar]

Número ${\displaystyle \pi }$[editar]

${\displaystyle \pi }$ = [ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …] o bien

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Utilizando fracciones continuas generalizadas obtenemos desarrollos con estructuras más regulares

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+{\cfrac {49}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {9}{6+{\cfrac {25}{6+{\cfrac {49}{6+{\cfrac {81}{6+{\cfrac {121}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}}$

Raíz cuadrada de 2[editar]

Sea raíz cuadrada de dos: r=${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, su parte entera vale 1, así que ${\displaystyle a_{0}=1}$ y ${\displaystyle x_{0}=1/({\sqrt {2}}-1)}$. Ahora bien, utilizando la identidad ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=1}$, tenemos que ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}+1}$. Por tanto ${\displaystyle a_{1}=2}$ y ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}+1}$. Concluimos que todos los ${\displaystyle a_{k}=2}$ a partir de k=1 valen 2 y todos los ${\displaystyle x_{k}}$ valen ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$. El desarrollo en fracción continua es, por tanto:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,\dots ].}$

Número áureo[editar]

${\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ].}$

Número e[editar]

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ].}$

Aplicaciones[editar]

Irracionalidad del número ${\displaystyle e}$[editar]

Las fracciones continuas ofrecen una manera de conocer la irracionalidad de un número. Si su desarrollo es infinito entonces el número es irracional. Esta técnica fue utilizada por Euler, que determinó la fracción continua del número ${\displaystyle e}$.

El desarrollo en fracción continua de e,es:

${\displaystyle {\text{e}}=[2;\overbrace {1,2,1} ,\overbrace {1,4,1} ,\cdots ,\overbrace {1,2p,1} ,\cdots \,]=[2,{\overline {1,2p,1}}]\quad p\in \mathbb {N} -\{0\}}$

La barra utilizada aquí es una notación frecuente; indica una repetición hasta el infinito de la sucesión de enteros que cubre.

O estas otras:

${\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}=[1,1,1,{\overline {1,4p+1,1}}],\quad \tanh \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{\frac {1}{2}}-e^{-{\frac {1}{2}}}}{e^{\frac {1}{2}}+e^{-{\frac {1}{2}}}}}=[0,{\overline {4p}}]\quad p\in \mathbb {N} -\{0\}}$

Se concluye que ni e ni √e son racionales.

La ecuación de Pell[editar]

La ecuación de Pell es una ecuación diofántica, es decir, con coeficientes enteros y para la que las soluciones pedidas son enteras también. Tiene la forma:

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=a\;}$

Donde n es un entero que no es cuadrado perfecto y a es un entero no nulo. Aquí consideraremos que ${\displaystyle a=\pm 1}$. Una solución (h, k) verificará: ${\displaystyle (h-{\sqrt {n}}\cdot k)(h+{\sqrt {n}}\cdot k)=\pm 1\quad {\text{o}}\quad h-{\sqrt {n}}\cdot k={\frac {\pm 1}{h+{\sqrt {n}}\cdot k}}\;}$

h/k √n son superiores a 1 y √n lo es estrictamente, de ahí:

${\displaystyle \left|{\frac {h}{k}}-{\sqrt {n}}\right|={\frac {1}{({\frac {h}{k}}+{\sqrt {n}})\cdot k^{2}}}<{\frac {1}{2k^{2}}}\;}$

En el teorema 7 se demostró que la fracción ${\displaystyle {\frac {h}{k}}}$ debe ser una reducida de ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Toda solución de la ecuación debe estar en la sucesión de reducidas de ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Este hecho, demostrado por Lagrange, permite dar soluciones, si bien más teóricas que algorítmicas, a la ecuación de Pell.

Números cuadráticos[editar]

A diferencia de la exponencial, la raíz cuadrada de 2 es particularmente fácil de desarrollar en fracción continua. Esta propiedad proviene del hecho de que, a partir de cierto punto, volvemos a encontrar un cociente completo ya aparecido. La fracción continua es periódica a partir de cierto punto. La raíz de 11 tiene la misma propiedad: ${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+(-3+{\sqrt {11}})=3+{\frac {1}{\frac {1}{-3+{\sqrt {11}}}}}=3+{\frac {1}{\frac {3+{\sqrt {11}}}{2}}}=3+{\frac {1}{3+{\frac {-3+{\sqrt {11}}}{2}}}}=3+{\frac {1}{3+{\frac {1}{\frac {2}{-3+{\sqrt {11}}}}}}}=3+{\frac {1}{3+{\frac {1}{3+{\sqrt {11}}}}}}}$

Se deduce que a₀ = 3, a₁ = 3, x₀ = 1/2(3 + √11) y x₁ = 3 + √11. Calculamos la fracción continua de x₁:

${\displaystyle 3+{\sqrt {11}}=6+(-3+{\sqrt {11}})=6+{\frac {1}{\frac {1}{-3+{\sqrt {11}}}}}=6+{\frac {1}{\frac {3+{\sqrt {11}}}{2}}}}$

Obsérvese que es necesario tener un número entre 0 y 1, para obtener la fracción continua, desde otra perspectiva; véase el mismo cálculo...

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {11}}&=3+(-3+{\sqrt {11}})=3+{\cfrac {1}{\cfrac {1}{-3+{\sqrt {11}}}}}=3+{\cfrac {1}{\cfrac {3+{\sqrt {11}}}{2}}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {3+{\sqrt {11}}}{2}}-3}}\\&=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {-3+{\sqrt {11}}}{2}}}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{\cfrac {2}{-3+{\sqrt {11}}}}}}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\sqrt {11}}}}}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+3+(-3+{\sqrt {11}})}}}}\\&=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+(-3+{\sqrt {11}})}}}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{\cfrac {1}{(-3+{\sqrt {11}})}}}}}}}\\&=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{\cfrac {3+{\sqrt {11}}}{2}}}}}}}\quad {\text{(y se repite el proceso)}}\\\end{aligned}}}$

Se ve que x₂ es igual x₀, lo que permite concluir:

${\displaystyle {\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6,\cdots ]=[3,{\overline {3,6}}]}$

La periodicidad a partir de un punto es propia de los números de la forma ${\displaystyle a+b{\sqrt {n}}}$, donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son racionales, ${\displaystyle b}$ no nulo, y ${\displaystyle n}$ un entero que no es cuadrado perfecto. Las regularidades son mayores para las raíces cuadradas. Por ejemplo:

${\displaystyle {\sqrt {19}}=[4,{\overline {\underbrace {2;1,3,1,2} ,8}}]}$

Exceptuando el último número del periodo, los anteriores forman un número capicúa. Además, el último término del periodo es el doble del primero (en el caso tratado, 8, que es el doble de 4).