ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - FRACCIONES

El símbolo del porcentaje.

El porcentaje es un símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente tanto por cientodonde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.

El porcentaje se denota utilizando el símbolo «%», que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.¹​²​ Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:

${\displaystyle 32\,\%=32\cdot 0{,}01}$

y, operando:

${\displaystyle 32\,\%=0{,}32}$

El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:

${\displaystyle 32\,\%\cdot 2000=0{,}32\cdot 2000=640}$

640 unidades en total.

El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo país.

Idea y origen[editar]

El concepto de porcentaje ya era una herramienta de análisis en el siglo XV que tenía aplicación a la hora de calcular impuestos e intereses, más sin embargo el uso de este solo proviene de la abreviatura de una idea que databa desde hacía mucho. En el antiguo imperio romano el emperador Augusto estableció un sistema de impuestos en el que se dictaba que había que pagar el ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$ sobre los bienes vendidos en subastas. Ya entonces para facilitar los cálculos utilizaban fracciones simplificadas a las centenas.

Evolución[editar]

El primer símbolo que hacía referencia al «por ciento»

La idea de «por ciento» surge de la necesidad de abreviar el uso de las fracciones en la cotidianidad, pues resultaba tener mayor complejidad hacer referencia al ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ de una cantidad que al 66 %, por lo que con el tiempo era más común que se hablase únicamente de fracciones reducidas a las centenas, progresivamente se fue actualizando la referencia hablada hasta llegar al «por ciento» al hacerlo nació la necesidad de plasmar la nueva abreviación dando a través del tiempo varios símbolos, el primero provino de un manuscrito anónimo de 1425 en el que el autor hacía referencia al «por ciento» que se solía utilizar en la época con un símbolo que dio evolución al actual «%».BITIEZ

Símbolo[editar]

Muchos creen que el símbolo «%» ha evolucionado a partir de la expresión matemática ${\displaystyle {\frac {x}{100}}.}$

• 

  Símbolo en el siglo XV
 
• 

  Símbolo en el siglo XVII
 
• 

  Símbolo desde el siglo XVIII

El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba «P cento» (c. 1425).

Símbolos relacionados incluyen ‰ (por mil) y ‱ (por diez mil, también conocido como un punto básico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente.

Representación[editar]

Tanto por ciento como fracción[editar]

El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo:

Para saber como se representa el 10 % en fracción se divide y luego se simplifica:

${\displaystyle 10\,\%={\cfrac {10}{100}}={\cfrac {1}{10}}=0,1}$

Tanto por ciento como multiplicacion[editar]

La fracción común se multiplica por el número que sea necesario para que el denominador sea 100 y se toma el numerador, que será el porcentaje.

Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la siguiente operacion:

${\displaystyle {\cfrac {1}{10}}={\cfrac {10}{100}}=10\,\%}$

Equivalencia entre un porcentaje considerable y sus fracciones

100 %	90 %	80 %	75 %	70 %	66,(6) %	60 %	50 %	40 %	33,(3) %	30 %	25 %	20 %	15 %	12,5 %	10 %	5 %	2 %	1 %	0,5 %
1⁄1	9⁄10	4⁄5	3⁄4	7⁄10	2⁄3	3⁄5	1⁄2	2⁄5	1⁄3	3⁄10	1⁄4	1⁄5	3⁄20	1⁄8	1⁄10	1⁄20	1⁄50	1⁄100	1⁄200

Obtener un tanto por ciento de un número[editar]

Para obtener un tanto por ciento de un número simplemente se multiplica. Por ejemplo, el 25 % de 150 es ${\displaystyle 25\cdot 0,01\cdot 150=37,5}$. Una forma equivalente de tratar esta operación es considerar que se multiplica por la cifra y se divide por cien (pues 0,01 = 1/100).

Alternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla de tres simple directa. Así, para calcular el 25 % de 150 se hace la regla de tres: simplemente se multiplica cruzado y divide por el que queda solo o en conjunción con el restado.

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccc}100\%&\longrightarrow &150\\25\%&\longrightarrow &x\end{array}}\right\}\to \quad x={\cfrac {150\cdot 25\%}{100\%}}=37,5}$

Por tanto: 37,5 es el 25 % de 150.

proporcionalidad compuesta a aquellas situaciones en las que intervienen más de dos magnitudes ligadas por la relación de proporcionalidad.¹​

Entre estas magnitudes puede intervenir la proporcionalidad directa o inversa.

Ejemplo[editar]

Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 10 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 5 horas?

Las variables del problema son: número de trabajadores, longitud del muro (en metros) y tiempo (en horas). La variable incógnita es el número de trabajadores.

Para resolver el problema, debe estudiarse la relación de proporcionalidad entre cada variable con la variable incógnita:

• longitud del muro - número de trabajadores: cuanto mayor es la longitud del muro, más trabajadores se necesitan. Es una proporcionalidad directa.
• tiempo - número de trabajadores; cuanto más trabajadores construyen el muro, menos tiempo se requiere. Es una proporcionalidad inversa.

Ahora se puede resolver el problema aplicando dos veces una regla de tres simple, o bien, mediante una regla de tres compuesta. Para aplicar una regla de tres compuesta, se escriben los datos en una tabla:

Longitud (m)	Tiempo (h)	Trabajadores
100	10	12
75	5	x

La regla se obtiene escribiendo una multiplicación de dos fracciones a la izquierda de una igualdad y una fracción a la derecha de ésta:

• La fracción de la derecha se corresponde con la tercera columna (variable incógnita): en el numerador se escribe la primera columna (12) y, en el denominador, la segunda (x).
• Las fracciones de la izquierda se corresponden con la primera y segunda columna: si la proporcionalidad de la variable de la columna i con la variable incógnita es directa, en el numerador de su fracción se escribe la primera columna y, en el denominador, la segunda; si es inversa, se intercambian el numerador y el denominador.

La regla de tres compuesta del problema es

${\displaystyle {\frac {100}{75}}\cdot {\frac {5}{10}}={\frac {12}{x}}}$

Se despeja la incógnita:

${\displaystyle x={\frac {12\cdot 75\cdot 10}{100\cdot 5}}=18}$

Por tanto, se necesitarán 18 trabajadores.

Problemas de Proporcionalidad Compuesta

Contenido de esta página:

• Método de resolución.
• 15 problemas resueltos.
• Explicación extensa de la regla de tres compuesta.

Enlace: Proporcionalidad simple (problemas resueltos).

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1. Método de resolución

Explicaremos el método a medida que resolvemos el siguiente problema:
Problema: si 6 niños comen 160 caramelos en 2 horas, ¿cuántas horas tardan 3 niños en comer 120 caramelos?

1. Distinguir las tres variables:
   Las variables del problema son:
   
   • (número de) niños
   • (número de) caramelos
   • (número de) horas
   Una de las tres variables es la variable incógnita.
   Nuestra variable incógnita es horas.
2. Estudiar el tipo de proporcionalidad de cada una de las variables con la variable incógnita.
   Como la variable incógnita es horas, estudiamos la relación entre las variables niños y horas y las variables caramelos y horas:
   
   • Niños-horas: cuantos más niños hay, menos horas tardan en comer los caramelos. Es una proporcionalidad inversa.
   • Caramelos-horas: cuantos más caramelos hay, más horas tardan en comerlos. Es una proporcionalidad directa.
3. Escribimos los datos en una tabla:
   
   Escribiremos la variable incógnita en la columna de la derecha e indicamos con flechas si se trata de una proporcionalidad directa (D) o inversa (I).
   Tenemos que calcular el valor de la incógnita $x$.
4. Calculamos la regla de tres compuesta:
   Escribimos las dos columnas de la izquierda como dos fracciones que se multiplican e igualamos con la columna derecha:
   
   
   Importante:
   
   • si es una proporcionalidad directa, escribimos la primera fila dividido entre la segunda.
   • si es una proporcionalidad inversa, escribimos la segunda fila dividido entre la primera.
5. Calculamos la incógnita $x$:
   

Por tanto, 3 niños tardan 3 horas en comer 120 caramelos.

2. Problemas resueltos

Problema 1

Si con 4 grifos de agua de diámetro 2cm se obtienen 300 litros en determinado tiempo, ¿cuántos litros se obtienen en el mismo tiempo con 2 grifos de 3cm de diámetro?

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Solución

Variables: número de grifos, diámetro y litros.
Variable incógnita: litros.
Relación entre las variables:

• Grifos-Litros: cuantos más grifos se emplean, más litros se obtienen. Es una proporcionalidad directa.
• Diámetro-Litros: cuanto mayor sea el diámetro de los grifos, más litros se obtienen. Es una proporcionalidad directa.

Tabla con los datos:

Calculamos una regla de tres compuesta:

Despejamos la variable incógnita:

Por tanto, se obtienen 225 litros de agua con 2 grifos de diámetro 3cm.

Solución

Problema 2

Se sabe que 6 mangueras abiertas durante 3 horas equivalen a 10.000 litros. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar una piscina de 130.000 litros con 4 de estas mangueras?

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Solución

Variables: cantidad de mangueras, litros y horas.
Variable incógnita: horas.
Relación entre las variables:

• Mangueras-Horas: Cuantas más mangueras, menos horas se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros-Horas: Cuantos más litros de agua, más horas se necesitan. Es una proporcionalidad directa.

Tabla con los datos:

Calculamos una regla de tres compuesta:

Despejamos la variable incógnita:

Por tanto, se necesitan 58 horas y media para llenar la piscina.