ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - FRACCIONES

El árbol de Stern–Brocot.

En teoría de números, el árbol de Stern–Brocot es un árbol binario infinito en el que los vértices corresponden uno a uno a los números racionales positivos, cuyos valores están ordenados de izquierda a derecha.

El árbol de Stern-Brocot fue descubierto independientemente por Moritz Stern (1858) y Achille Brocot (1861).

La raíz del árbol de Stern–Brocot corresponde al número 1.

Desarrollo usando fracciones continuas

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Un sistema de gran utilidad es el de los número reales, que surgió para responder, básicamente, el asunto de las medidas. pero la dificultad que surgión con la ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ al darse cuenta de que no era un número racional buscaron métodos de aproximación y uno de ellos es a través de fracciones continuas que cayó en desuso, al impulsarse la enseñanza de la Matemática moderna. Pero por el uso de las computadoras y su carácter algorítmico, motiva su estudio.

Presentamos diferentes aproximaciones: 1, 1.41, 1.41, 1.4142, y así sucesivammente ( no termina),son aproximaciones al número cuyo cuadrado es 2.. Por ejemplo, uno de los convergentes de p es 22/7 -debido a Arquímedes-, la aproximación familiar, y ninguna fracción con denominador menor que 7 es una mejor aproximación. Y otra es la de la fracción 355/113.

Es evidente de la forma del desarrollo como fracción continua que si x es la fracción continua ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...)\,}$entonces ${\displaystyle a_{1}}$ es la parte entera de x; esto es, el máximo entero no mayor que x.

Secuencia sugerente[editar]

Veamos con atención el caso de ${\displaystyle {\frac {61}{27}}=2+{\frac {7}{27}}=2+{\frac {1}{\frac {27}{7}}}=2+{\frac {1}{3+{\frac {6}{7}}}}=2+{\frac {1}{3+{\frac {1}{\frac {7}{6}}}}}=2+{\frac {1}{3+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6}}}}}}}$

La expresión ${\displaystyle a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+...a_{s-1}+{\frac {1}{a_{s}}}}}}}}$

donde ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$ son números naturales, ${\displaystyle a_{0}}$ es un número natural o cero, que se denomina fracción continua.

Los números ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{s}}$ se denominan elementos de una fracción continua. Se puede decir que hemos desarrollado el número ${\displaystyle {\frac {61}{27}}}$ en fracción continua.

Ahora ilustraremos el método de desarrollo, mediante el siguiente.

Ejemplo[editar]

Encuentre el desarrollo de 573/227 como fracción continua. Ahora, ${\displaystyle 573/227=2+1/x_{2}}$, donde ${\displaystyle x_{2}=227/119=1+1/x_{3}}$, donde ${\displaystyle x_{3}=119/108=1+1/x_{4}}$, donde ${\displaystyle x_{4}=108/11=9+1/x_{5}}$, donde ${\displaystyle x_{5}=11/9=1+1/x_{6}}$, donde ${\displaystyle x_{6}=9/2=4+1/2}$.

Casos históricos[editar]

• El número de Arquímedes (22/7).
• El problema matemático del calendario: Juliano vs. Gregoriano.
• El año de los Mayas: mejor aproximación.
• La sucesión de Figonacci y sus diferentes variantes está vinculado al tema de las fracciones continuas.

fracción continua de Euler es una identidad que conecta una clase general de series infinitas con una fracción continua infinita. Publicada por primera vez en 1748, fue considerada en un principio como una identidad simple que conectaba una suma de términos finitos con una fracción continua finita, donde la extensión al caso infinito aparecía inmediatamente.¹​ Actualmente, es una muy apreciada y útil herramienta en desarrollos analíticos en el problema de la convergencia general para fracciones continuas infinitas con elementos complejos.

Formulación original[editar]

Leonhard Euler obtuvo la fórmula como una identidad que conecta una suma finita de productos con una fracción continua finita como:

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}\,}$

La identidad puede ser fácilmente obtenida mediante inducción en n, y por lo tanto, también aplicable en el caso límite: si la expresión de la parte izquierda tiende a expresarse como una serie convergente infinita, la expresión de la derecha también tenderá a expresarse como una fracción continua infinita convergente.

Notación moderna[editar]

Si

${\displaystyle x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{\ddots }}}}}}}}\,}$

es una fracción continua con elementos complejos, y ninguno de los denominadores B_i son cero, una secuencia de ratios {r_i} puede ser definida por:

${\displaystyle r_{i}=-{\frac {a_{i+1}B_{i-1}}{B_{i+1}}}.\,}$

Para un x y un r_i así definidos, las siguientes igualdades pueden demostrarse por inducción.

${\displaystyle x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {r_{1}}{1+r_{1}-{\cfrac {r_{2}}{1+r_{2}-{\cfrac {r_{3}}{\ddots }}}}}}}}\,}$

${\displaystyle x=1+\sum _{i=1}^{\infty }r_{1}r_{2}\cdots r_{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{i}r_{j}\right)\,}$

Esta igualdad se puede entender como una equivalencia, en el sentido de que la n-esimo término convergente de cada fracción continua es igual a la n-ésima suma parcial de la serie mostrada arriba. Así, si esa serie es convergente o uniformemente convergente, cuando los a_i y b_i son funciones de variable compleja z, entonces las fracciones continuas equivalentes también convergen, o convergen uniformemente.

 expansión de Engel de un número real positivo x es la única sucesión no decreciente de enteros positivos ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}}$ tal que

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .\;}$

Los números racionales tienen una expansión de Engel finita, mientras que los números irracionales tienen una expansión de Engel infinita. Si x es racional, su expansión de Engel proporciona una representación de x como una fracción egipcia. Las expansiones de Engel son llamadas en honor a Friedrich Engel, quien las estudió en 1913.

Una expasión análoga a la expansión de Engel, en la que términos alternados son negativos, es llamada expansión de Pierce.

Expansiones de Engel, fracciones continuas, y Fibonacci[editar]

Kraaikamp y Wu (2004) observó que una expansión de Engel también puede ser escrita como una variante ascendente de una fracción continua:

${\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}$

Ellos afirman que las fracciones continuas ascendentes tales como esta habían sido estudiadas con anterioridad en Liber Abaci (1202) por Fibonacci. Esta afirmación parece referirse a la notación de la fracción compuesta de Fibonacci en la que una sucesión de numeradores y denominadores que comparten la misma barra fraccionaria representa una fracción continua ascendente:

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}$

Si tal notación tiene todos sus numeradores como 0 o 1, como ocurre varias veces en Liber Abaci, el resultado es una expasión de Engel. Sin embargo, las expansiones de Engel como técnica general no parece ser descrita por Fibonacci.

Algoritmo para calcular expansiones de Engel[editar]

Para encontrar la expansión de Engel de x, sea

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil ,}$

y

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

donde ${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$ es la función techo (el menor entero no menor que r).

Si ${\displaystyle u_{i}=0}$ para cualquier i, el algoritmo se para.

Ejemplo[editar]

Para encontrar la expansión de Engel de 1.175, se realizan los siguientes pasos.

${\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;\,}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6\,}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20\,}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0\,}$

La serie termina aquí. Así,

${\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}$

y la expansión de Engel de 1.175 es {1, 6, 20}.

Expansiones de Engel de números racionales[editar]

Todo número racional positivo tiene una única Expansión de Engel finita. En el algoritmo para la expansión de Engel, si u_i es un número racional x/y, entonces u_i+1 = (−y mod x)/y. Más aún, en cada paso, el numerador en la fracción restante u_i disminuye y el proceso de construcción de la expansión de Engel debe terminar en un número finito de pasos. Todo número racional también tiene una única expansión de Engel infinita: usando la identidad

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.}$

el dígito final n en una expansión de Engel finita puede ser reemplazado por una sucesión infinita de (n + 1)s sin cambiar su valor. Por ejemplo

${\displaystyle 1.175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.\;\;}$

Esto es análogo al hecho de que todo número racional con una representación decimal finita también tiene una representación decimal infinita (véase 0.999...). Una expansión de Engel infinita en la que todos sus términos son igual es una serie geométrica.

Erdős, Rényi, y Szüsz se preguntaron por los límites no triviales en la longitud de una expansión de Engel finita de un número racional x/y; esta cuestión fue resuelta por Erdős y Shallit, que demostraron que el número de términos en la expansión es O(y^{1/3 + ε}) para todo ε > 0.¹​

Expansiones de Engel de algunas constantes conocidas[editar]

${\displaystyle \pi }$ = {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492,...} (sucesión A006784 en OEIS)

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ = {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144,...} (sucesión A028254 en OEIS)

${\displaystyle e}$ = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...} (sucesión A000027 en OEIS)

Y en general,

${\displaystyle e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;}$

Más expansiones de Engel para constantes se pueden encontrar aquí.

Tasa de crecimiento de los términos de la expansión[editar]

Los coeficientes a_i de una expansión de Engel típicamente exhiben crecimiento exponencial; más concretamente, para casi todos los números en el intervalo (0,1], el límite ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n}}$ existe y es igual a e. Sin embargo, el subconjunto del intervalos para el cual esto no es el caso es lo suficientemente grande, tal que su dimensión de Hausdorff es uno.²​

La misma tasa de crecimiento típica se aplica a los términos en una expansión generada por el algoritmo voraz para fracciones egipcias. Sin embargo, el conjunto de números reales en el intervalo (0,1] cuyas expansiones de Engel coinciden con sus expansiones voraces tiene medida cero, y dimensión de Hausdorff 1/2.