Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos. Se puede demostrar que cualquier número racionalpositivo se puede escribir como fracción egipcia.
Fracciones en Egipto[editar]
Los historiadores matemáticos suelen describir el álgebra como un proceso que se ha ido desarrollando en tres etapas:
- álgebra retórica, en que el problema se enuncia mediante palabras comunes del lenguaje;
- álgebra sincopada, en que algunas de las palabras del problema están abreviadas para una mayor simplicidad y comprensión;
- álgebra simbólica, en que se utilizan símbolos para designar los operadores y operandos, con lo que se simplifica aún más la comprensión (un ejemplo de simbolismo es denotar la incógnita como "x").
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Los egipcios ya utilizaban las dos primeras, pues sabemos, a partir de los jeroglíficos, que los antiguos sacerdotes egipcios en su álgebra retórica, empleaban expresiones como la palabra "aha" (que significa "montón" o "conjunto") para la incógnita. Esto se muestra en el Papiro de Ahmes (circa 1650 a. C.) en el Museo Británico de Londres, en la traducción de uno de sus problemas, "aha":
"Problema 24: Una cantidad y su séptima parte dan conjuntamente 19. ¿Cuál es la cantidad?
Supóngase 7. 7 y 17 de 7 suman 8. Tantas veces como 8 debe ser multiplicado para dar 19 son las veces que 7 debe ser multiplicado para dar el número deseado."
En su forma simbólica moderna, x + x7 = 8x7 = 19, o x = 1338. Demostración: 1338 + 133(7 · 8) = 1338 + 198 = 1528 = 19.
Notación[editar]
Los antiguos egipcios calculaban utilizando fracciones unitarias, como 12 ; 13 ; 14 ; 110 ; ...
El jeroglífico para una boca abierta (R) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.
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Cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas. De ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como "fracciones egipcias".
La tablilla de Ajmin[editar]
La tablilla de Ajmim (Akhmim), muestra como ejemplo cinco divisiones de una unidad de volumen llamada hekat(ḥqȝt), comenzando con la unidad del hekat (similar a la fanega) valorada como 64/64. Las divisiones de esta unidad por 3, 7, 10, 11 y 13 son exactas. El escriba anota en la tablilla cinco respuestas en dos partes. La primera mitad de la respuesta es un cociente binario. El escriba dividió exactamente un hekat (64/64) entre 3, y encontró el cociente correcto: 21, con el resto correcto de 1; reescribió 21 como 16 + 4 + 1, de tal forma que 16 + 4 + 164 se convierte en 14 + 116 + 164 , una serie binaria. Además, el escriba ha escalado el resto uno a unidades de 1320 (R), esto es, 1192 = 53 x 1320 = (1 + 23) x 1320.
El escriba combinó el cociente y el resto en una sola expresión. La respuesta de 13 de hekat fue reescrita como 14116 164 123 R. No se usaron signos de suma o de multiplicación, simplemente escribían la serie de fracciones de izquierda a derecha. El escriba demostró todas sus soluciones, multiplicando las cinco respuestas por los divisores iniciales para obtener el valor inicial de 64/64 de la unidad hekat. Describió también este método exacto de división con más detalle que Ahmes y los posteriores escribas del Imperio Medio: los pasos de Ahmes no incluían demostración; aunque eran idénticos a los usados en este papiro.
Hana Vymalzova [cita requerida] publicó en 2002 una nueva traducción de la tablilla, mostrando que las cinco divisiones eran exactas, analizando primero los pasos de la prueba y las cinco respuestas a 64/64. Vymalzova entonces actualizó la incompleta traducción de Daressy, de 1906, que sólo había encontrado como exactas las soluciones de 13 , 14 y 110.
El papiro de Ahmes[editar]
Además del hecho de que (64/64)/n = C/64 + (5r/n) x R, con C = cociente y r = resto, resume bastante bien la división del hekat por parte de los escribas en el 2000 a. C., dos hechos permiten conocer el pensamiento de los escribas: Uno, es que siempre que el divisor n estuviera entre 1/64 y 64 se había llegado a un límite de 64; el papiro de Ahmes detalla este doble límite. El otro es que para ir más allá del límite n = 64, se desarrollaron el hin, el R, y otras subunidades del hekat. Gillings resume los datos del papiro de Ahmes con 29 ejemplos en un apéndice, contrastando entonces las expresiones de dos partes con sus equivalentes de una sola en hin. Los textos médicos y sus dos mil ejemplos usaron también los formatos de una sola parte en los ingredientes de una receta: 10/n hin para 1/10 de hekat, y 320/n R para 1/320 de hekat.
Ahmes pudo superar el límite de 64 y la aritmética del resto en dos partes de otras maneras, siendo una de ellas el aumentar el tamaño del numerador. El método de división del hekat en dos partes fue descrito en el problema 35º, 100 hekat divididos por n = 70. Ahmes escribió 100 x (64/64)/70 = (6400/64)/70 = 91/64 + 30/(70 x 64). El cociente fue escrito como (64 + 16 + 8 + 2 + 1)/64 =(1 + 1/4 + 1/8 + 1/32+ 1/64), y el resto como (150/70) x 1/320 = (2 + 1/7) R. Finalmente, la respuesta combinada de 1 1/4 1/8 1/32 1/64 2 1/7 R fue escrita usando las antiguas reglas de notación definidas en la tablilla Ajmim (350 años más antigua), de izquierda a derecha, sin signos de adición ni multiplicación.
Sucesión de Sylvester[editar]
Un algoritmo que produce la representación de número racional r = a/b entre 0 y 1 como fracción egipcia es el algoritmo voraz de James Joseph Sylvester, que consiste en:
- Encontrar la fracción unitaria más ajustada a r pero menor que r. El denominador se puede hallar dividiendo b entre a, ignorando el resto y sumando 1. Si no hay resto, r es una fracción unitaria, así que ya no hay que seguir calculando.
- Restar la fracción unitaria de r y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como r.
Ejemplo: convertir 1920 en fracción egipcia.
- 2019 = 1 con algún resto, así que la primera fracción unitaria es 12.
- 1920 - 12 = 920.
- 209 = 2 con algún resto, así que la segunda fracción unitaria es 13.
- 920 - 13 = 760
- 607 = 8 con algún resto, así que la tercera fracción unitaria es 19.
- 760 - 19 = 1180 que es otra fracción unitaria.
Así que el resultado es
- 1920 = 12 + 13 + 19 + 1180
Nótese que la representación de un número racional dado como fracción egipcia no es única, y el algoritmo anterior no siempre devuelve la representación más corta ni la más sencilla:
- 1920 = 12 + 14 + 15
Las matemáticas en el antiguo Egipto – Fracciones
El uso de fracciones es sin duda el rasgo más peculiar de la matemática egipcia. El método empleado por los escribas para operar con fracciones es mucho más complicado que el nuestro. La base de la representación de una fracción se encontraba en la descomposición como suma de fracciones de numerador 1, todas distintas. En la representación de fracciones se empleaba el símbolo(r) que en hierática se convirtió en un punto, y que significaba “parte”. Cuando se quería escribir un valor fraccionario, se representaba el símbolo anterior seguido por el valor numérico del denominador.
= 1/5 (jeroglífica)
= 1/5 (Hierática)
y tenía el sentido de un ordinal, nunca de un cardinal. Se traduciría, literalmente, como “parte 5”. Las únicas excepciones eran 1/2, 2/3, 1/4 y 3/4, que se representaban con un jeroglífico especial:(gs) “lado”,
(rwy)
(Hsb) y
respectivamente. Así como los signos para 1/2, 2/3 y 1/4 si son frecuentes, raramente se empleó el de 3/4. En aritmética sólo se usaba la fracción 2/3, que en hierática se representaba como
. Era muy frecuente el uso de las fracciones denominadas “fracciones ojo de Horus“, que representaban cada una de las partes en las que fue seccionado el ojo de Horus durante su batalla con Seth. Las cejas equivalían a 1/8, la pupila era 1/4, la parte izquierda de la pupila 1/2, la parte derecha 1/16, la parte inferior vertical bajo el ojo 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64.
Las fracciones con numerador distinto de 1 se reducían a sumas de fracciones conocidas, con numerador 1, pero siempre los sumandos tenían que ser diferentes. Así Ahmes en el papiro Rhind escribe 2/5 como 1/3 + 1/15 y nunca se podría emplear 1/5 + 1/5. La propia expresión 2/5 no tenía sentido en el pensamiento egipcio. Cualquier cantidad se expresaba como una parte entera mas una suma de fracciones unitarias, y a lo sumo 2/3. El símbolo “+” no se empleaba y las fracciones aparecían secuencialmente. Lógicamente el problema era encontrar estas reducciones. Actualmente conocemos y podemos encontrar algoritmos de cálculo que nos permiten tales adiciones, pero hace 4000 años los escribas no conocían un método rápido para efectuar las transformaciones, por lo que se limitaban a emplear tablas ya escritas o a efectuar el proceso de división aprendido. Cuando un egipcio se encontraba con una fracción 5/8 no pensaba ¿cómo puedo transformar 5/8 en una suma de fracciones unitarias?, sino que se limitaba a dividir 5 entre 8 utilizando la técnica usual de este tipo de fraccionesEl papiro Rhind incluye, al principio, una tabla en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias. Como es lógico se eliminan las descomposiciones en las que el denominador es par. La siguiente tabla es una reproducción de la escrita por Ahmes. En la primera y tercera columna aparecen los denominadores de las fracciones 2/n y en la segunda y cuarta las fracciones unitarias cuya suma da 2/n.5 3,15 53 30,318,795 7 4,28 55 30,330 9 6,18 57 38,114 11 6,66 59 36,236,531 13 8,52,104 61 4,244,488,610 15 10,30 63 42,126 17 12,51,68 65 39,195 19 12,76,114 67 40,335,536 21 14,42 69 46,138 23 12,276 71 40,568,710 25 15,75 73 60,219,292,365 27 18,54 75 50,150 29 24,58,174,232 77 44,308 31 20,124,155 79 60,237,316,790 33 22,66 81 54,162 35 30,42 83 60,332,415,498 37 24,111,296 85 51,255 39 26,78 87 58,174 41 24,246,328 89 60,356,534,890 43 42,86,129,301 91 70,130 45 30,90 93 62,186 47 30,141,470 95 60,380,570 49 28,196 97 56,679,776 51 34,102 99 66,198 101 101,202,303,606 Posiblemente la tabla escrita por Ahmes no fuese producto de métodos empíricos, sino que sigue un razonamiento lógico. No pretendemos aquí hacer un análisis de la tabla 2/n, pero sí podemos extraer algunos datos útiles, del sistema de reducción.- Lo primero que vemos es que todas las fracciones de la forma 2/3k están expresadas como suma de fracciones unitarias de la forma 1/2 + 1/6k.
- El segundo grupo lo forman las fracciones de la forma 2/5k en las que la reducción es siempre 1/3k + 1/5k excepto la correspondiente a 2/95 (k= 19).
Estos dos ejemplos anteriores no son únicos, y con un poco de esfuerzo pueden sacarse más conclusiones, pero el propósito de este artículo no es analizar matemáticamente la tabla de Ahmes, aunque estos dos ejemplos nos hacen pensar que conocían ciertas relaciones matemáticas y quizás algún método para generar la tabla en el caso de números mayores. Para expresar 2/61 la tabla da el siguiente valor:= 1/4 + 1/244 + 1/ 488 + 1/610
Ahmes reduce todas las fracciones a sumas de fracciones de numerador 1 y 2. Así para escribir la fracción 7 divido por 29 (traducción literal del papiro) realiza las siguientes operaciones:7/29 ; 7 = 2 + 2 +2 + 1 ; Ahmes emplea la tabla para convertir 2/29 en suma de fracciones de numerador 1. Con las sustituciones correspondientes y las posteriores adiciones obtiene:7/29 = 1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/87 + 1/232Ahora bien 7/29 = 1/29 + 1/5 + 1/145 pero en la tabla sólo aparecen fracciones de numerador 2 por lo que el escriba emplea este método y no otro. No se trata de encontrar la reducción más simple sino de emplear el método que se había enseñado durante milenios y que no había razón para cambiar, pero ¿Cómo los egipcios descubrieron y elaboraron estas tablas? Actualmente no existen evidencias de que conociesen y aplicasen un método para la construcción de la tabla.Hemos visto en el capítulo dedicado a la aritmética el procedimiento empleado en la división. Si ahora intentamos dividir 3200 entre 365 siguiendo este método de duplicidad o división por 2 llegamos a un punto en el que necesitamos el conocimiento de fracciones para poder obtener un resultado. Siguiendo el método de la división obtenemos:1 365 2 730 4 1460 8 2920 2/3 243 1/3 1/10 36 1/2 1/2190 1/6 Entonces 3200/365 = 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190, puesto que 2920 + 243 + 1/3 + 36 + 1/2 + 1/6 = 3200.Pero nos quedaría por resolver una cuestión importante. ¿Existía realmente una regla para seleccionar una u otra fracción? ¿Por qué probar con la fracción 1/10 y no con 1/4? Realmente parece que las operaciones de división se basaban en la práctica. Existía un método claro de empleo de números enteros por duplicidad (se usaban hasta que la siguiente duplicidad excedía el numerador), pero no para las pruebas de fracciones. En ningún sitio vemos una regla genérica que por ejemplo diga usa primero 2/3, luego 1/4, luego 1/6,… No, desconocemos totalmente el criterio de selección de estas fracciones unitarias. Los escribas tenían que ser unos virtuosos de la duplicación y mediación de fracciones, y, aunque en los papiros que han llegado hasta nosotros, parece que acertaban a la primera en la selección, la realidad tuvo que ser bastante diferente y para realizar una división tendrían que probar gran cantidad de fracciones. Si intentamos desarrollar la división siguiendo el método de fracciones unitarias podemos perder mucho tiempo en encontrar una combinación adecuada. Se ha propuesto como posible procedimiento intentar expresar el numerador como una suma de enteros mas fracciones unitarias que sumen 1. Es decir si necesito dividir N debo buscar una descomposición tal que N = e1 + e2 + …+ en + f1 + f2 + …fm, siendo ei enteros y fi fracciones unitarias, y tales que e1 + e2 + …+ en = N – 1 y f1 + f2 + … fm = 1, pero existen divisiones en las que no parece que se haya empleado esta norma.Además estos métodos no nos resuelven todas las divisiones que se nos pueden plantear en la vida cotidiana, porque es obvio que los egipcios en algún momento se encontraron con los números irracionales, y en tal caso ¿qué hacían? Hemos de suponer que no siempre obtenían un resultado para la división, y en ocasiones debían aproximarlos. Quizás también aproximasen en el caso de operaciones extremadamente largas o complicadas.¿Por qué usaban los egipcios las fracciones unitarias en sus cálculos? Realmente es difícil suponer una aritmética basada en fracciones unitarias hoy en día. Actualmente el concepto 3/5 nos es familiar, pero para los egipcios esto parecía representar un problema. Se han dado diferentes teorías para justificar el uso de este tipo de fracciones en Egipto. En matemática moderna se emplea el uso de fracciones unitarias en determinadas situaciones, y el argumento más convincente para el empleo por parte de los egipcios es la facilidad de dividir un todo en n partes. Si tenemos 3 panes y queremos dividirlos entre 5 personas, nosotros aceptamos que a cada persona le corresponde exactamente 3/5 del total, pero si aplicamos el método de fracciones unitarias a 3/5 obtenemos 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15 por lo que para empezar podemos dividir un pan en tres partes iguales, los otros 2 en 5 partes y luego cada una de las 5 partes de uno de estos últimos la dividimos a su vez en 3 partes. Este concepto es más sencillo para un niño que fácilmente aprende a dividir un todo en n partes iguales y tomar una de ellas que un intento de aplicar 3/5 directamente o bien como suma de 2/5 + 1/5.Por último damos a continuación 3 ejemplos de sumas de fracciones del papiro Rhind, extraídos del libro “Egyptian Grammar” de Sir Alan Gardiner5 + 1/2 + 1/7 + 1/14 = 5 + 5/7 2 + 1/2 + 1/4 + 1/14 + 1/28 = 2 + 6/7 2 + 2/3 + 1/6 + 1/12 + 1/36 + 1/54 = 2 + 26/27 En la descripción de los problemas del papiro Rhind pueden verse más ejemplos de problemas con fracciones.
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