CÁLCULO

CÁLCULO INTEGRAL

Ilustración del método de Euler. La curva desconocida está en azul, y su aproximación poligonal en rojo.

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numéricapara resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema de valor inicial, y el más simple de los Métodos de Runge-Kutta. El método de Euler es nombrado por Leonhard Euler, quien lo trató en su libro Institutionum calculi integralis(publicado en 1768-1770).¹​

El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos.

Descripción informal[editar]

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, una vez que el punto ha sido calculado.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en un principio, su punto de comienzo, al cual denotamos por A₀, es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede calcular la pendiente de la curva en el punto A₀ y por lo tanto la recta tangente a la curva.

Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A₁ y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A₁. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A₀A₁A₂A₃... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo)...

Procedimiento[editar]

Consiste en dividir los intervalos que va de ${\displaystyle x_{0}\,}$ a ${\displaystyle x_{f}\,}$ en ${\displaystyle n\,}$ subintervalos de ancho ${\displaystyle h\,}$; o sea:

${\displaystyle h={x_{n}-x_{n-1} \over n}\,}$

de manera que se obtiene un conjunto discreto de ${\displaystyle n+1\,}$ puntos: ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\,}$ del intervalo de interés ${\displaystyle [x_{0},x_{f}]\,}$. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

${\displaystyle x_{i}={x_{0}+ih}\qquad 0\leq i\leq n\,}$.

La condición inicial ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}\,}$, representa el punto ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\,}$ por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como ${\displaystyle F(x)=y\,}$. Ya teniendo el punto ${\displaystyle P_{0}\,}$ se puede evaluar la primera derivada de ${\displaystyle F(x)\,}$ en ese punto; por lo tanto:

${\displaystyle F'(x)={\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert }_{P_{0}}=f(x_{0},y_{0})}$

Gráfica A.

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por ${\displaystyle P_{0}\,}$ y de pendiente ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})\,}$. Esta recta aproxima ${\displaystyle F(x)\,}$ en una vecindad de ${\displaystyle x_{0}\,}$. Tómese la recta como reemplazo de ${\displaystyle F(x)\,}$ y localícese en ella (la recta) el valor de ${\displaystyle y\,}$correspondiente a ${\displaystyle x_{1}\,}$. Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:

${\displaystyle {y_{1}-y_{0} \over x_{1}-x_{0}}=f(x_{0},y_{0})\,}$

Se resuelve para ${\displaystyle y_{1}\,}$:

${\displaystyle y_{1}=y_{0}+(x_{1}-x_{0})f(x_{0},y_{0})=y_{0}+hf(x_{0},y_{0})\,}$

Es evidente que la ordenada ${\displaystyle y_{1}\,}$ calculada de esta manera no es igual a ${\displaystyle F(x_{1})\,}$, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor ${\displaystyle y_{1}\,}$ sirve para que se aproxime ${\displaystyle F'(x)\,}$ en el punto ${\displaystyle P=(x_{1},y_{1})\,}$ y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{crl}y_{1}=y_{0}+hf(x_{0},y_{0})\\y_{2}=y_{1}+hf(x_{1},y_{1})\\.\\.\\.\\y_{i+1}=y_{i}+hf(x_{i},y_{i})\\.\\.\\.\\y_{n}=y_{n-1}+hf(x_{n-1},y_{n-1})\\\end{array}}\quad \,}$

Ejemplo[editar]

${\displaystyle {\text{PVI}}=\left\{{\begin{array}{rcl}{dy \over dx}=\sin x-\ln y\\y(0.13)=0.32\\y(0.14)=?\end{array}}\right.}$

En primer lugar se calcula el valor de ${\displaystyle h\,}$ tomando en cuenta que el número de pasos ${\displaystyle n\,}$ es ${\displaystyle 4\,}$; por lo tanto quedaría así:

${\displaystyle h={0.14-0.13 \over 4}=0.0025\,}$

Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en este caso concreto:

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|}\hline {dy \over dx}&x&y\\\hline &x_{0}&y_{0}\\\hline f(x_{0},y_{0})=\sin(x_{0})-\ln(y_{0})&x_{1}=x_{0}+h&y_{1}=y_{0}+h\cdot f(x_{0},y_{0})\\\hline f(x_{1},y_{1})=\sin(x_{1})-\ln(y_{1})&x_{2}=x_{1}+h&y_{2}=y_{1}+h\cdot f(x_{1},y_{1})\\\hline f(x_{2},y_{2})=\sin(x_{2})-\ln(y_{2})&x_{3}=x_{2}+h&y_{3}=y_{2}+h\cdot f(x_{2},y_{2})\\\hline f(x_{3},y_{3})=\sin(x_{3})-\ln(y_{3})&x_{4}=x_{3}+h&y_{4}=y_{3}+h\cdot f(x_{3},y_{3})\\\hline \end{array}}}$

Los valores iniciales de ${\displaystyle x\,}$ y ${\displaystyle y\,}$ vienen dados por:

${\displaystyle x_{0}=0.13\,}$, ${\displaystyle y_{0}=0.32\,}$.

Teniendo dichos valores se comienza con el método. Se harán aproximaciones de hasta ocho decimales. La función seno se evaluará en radianes.

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|c|}\hline {dy \over dx}&x&y\\\hline &0.13&0.32\\\hline 1.269068&0.1325&0.323172\\\hline 1.261681&0.135&0.326326\\\hline 1.254446&0.1375&0.329462\\\hline 1.247358&0.14&0.33258138\\\hline \end{array}}}$

Por lo que el resultado obtenido es: ${\displaystyle y_{4}=0.33258138\,}$. Conociendo el valor exacto de la ecuación en ese punto, ${\displaystyle y=0.3325459\,}$, se puede calcular el error relativo cometido por el método:

${\displaystyle \varepsilon _{r}=\left|{\begin{array}{rcl}{\cfrac {0.33258138-0.3325459}{0.3325459}}\cdot 100\\\end{array}}\right|=1.064364\cdot 10^{-2}\,\%}$

Análisis de error para el método de Euler[editar]

Gráfica B.

La solución de las ecuaciones diferenciales por medio de métodos numéricos involucra varios tipos de errores:

• Error del método (Error de Truncamiento Local y Global): este se debe a que, cómo la aproximación de una curva mediante una línea recta no es exacta, se comete un error propio del método. En este caso, el error es de primer orden - O(h¹) -

• Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado mediante la recta tangente -en lugar de moverse por la curva- suponiendo que el punto desde el que partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tiene error alguno.

• Propagado: Acumulación de errores por las aproximaciones producidas durante los pasos previos acumuladas. Es decir, ya no se supone que el punto del cual partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tenía error sino que asumimos que dicho error existe y que se propaga de paso en paso. Dicha propagación es, en el peor de los casos, lineal.

La suma de los dos es el error global.

• Redondeo/truncamiento: Resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una computadora. Ya que el número de dígitos utilizados para hacer los cálculos es finito y los números representados puede que no lo sean (es decir, números con infinita cantidad de dígitos). Al limitar los números con infinita cantidad de dígitos -mediante truncamiento o redondeo- a números con finita cantidad de dígitos estamos cometiendo un error extra.

Como se muestra en la Gráfica B, básicamente el método se encarga de aproximar la curva ${\displaystyle y=F(x)\,}$ por medio de una serie de segmentos en recta.

Debido a que la aproximación de una curva por medio de una línea recta no es exacta, se comete un error derivado del método. A este error se le conoce como error de truncamiento. Este error se puede disminuir reduciendo el valor de ${\displaystyle h\,}$, pero se obtendrá un mayor número de cálculos y, por consiguiente, un error de redondeo mucho más alto.

El método exhaustivo¹​ es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo.

También se conoce como:

• método por agotamiento,²​
• método de exhausción³​ o
• método de exhaución.⁴​

El término proviene del inglés method of exhaustion (que sería mejor traducido como ‘método por agotamiento’, ya que la Real Academia Española no ha aceptado aún el sustantivo «exhausción», a pesar de reconocer el adjetivo «exhausto». El inglés exhaustion proviene del latín exhaustiō (‘agotamiento’).

Historia[editar]

Método exhaustivo para hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y, como consecuencia, el número pi.

El sofista Antifonte (430 a. C.) trató de determinar el área del círculo inscribiendo en él un mayor número de triángulos, cada vez más pequeños, hasta que su área se colmara.

Un ejemplo más famoso del método exhaustivo o por agotamiento es el del cálculo de la longitud de una circunferenciaefectuado por Arquímedes. Él utilizó dos métodos:

• el método de agotamiento, inscribiendo polígonos regulares en una circunferencia de radio unitario, y
• el método de compresión, circunscribiendo polígonos a la circunferencia. De este modo, al aumentar el número de lados de los polígonos, las figuras tenderán a acercarse a la forma de la circunferencia, tanto que Arquímedes pudo obtener una medida bastante precisa del número π.

El método de agotamiento está descrito en el Método, un libro de Arquímedes en el que se explica este procedimiento. Es la base de los conceptos que en el siglo XVII permitieron a Isaac Newton y a Leibniz unificar el cálculo diferencial con el integral, lo cual conllevó la posterior definición rigurosa de límite de una función por Bernard Bolzano, Cauchy y Weierstrass.

El método de agotamiento es el precursor del concepto de Suma de Riemann que permite definir con rigor la integral de una función en un intervalo.