CÁLCULO

CÁLCULO DIFERENCIAL

Gráfico de y = f(x) con un punto de inflexión en a.

Un punto de inflexión, en una función matemática, es un puntodonde los valores de una función continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente.¹​ Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero,²​³​ o no existe.⁴​

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real[editar]

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar los puntos de x que cumplen esta condición. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero.⁵​ Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es.⁶​⁷​ Más concretamente:

1. Se halla la primera derivada de ${\displaystyle f\rightarrow f'(x)}$
2. Se halla la segunda derivada de ${\displaystyle f\rightarrow f''(x)}$
3. Se halla la tercera derivada de ${\displaystyle f\rightarrow f'''(x)}$
4. Se iguala la segunda derivada a 0: ${\displaystyle f\,''(x)=0}$
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: ${\displaystyle x={\big \{}x_{1},x_{2},...,x_{n}/f''(x_{i})=0\quad \forall i=1,2,...,n{\big \}}}$.
6. Se halla la imagen de cada ${\displaystyle x_{i}\,}$sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada ${\displaystyle x_{i}\,}$:
   1. Si ${\displaystyle f'''\,(x_{i})\neq 0}$, se tiene un punto de inflexión en ${\displaystyle P\,(x_{i},f(x_{i}))}$.
   2. Si ${\displaystyle f'''\,(x_{i})=0}$, debemos sustituir ${\displaystyle x_{i}\,}$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que ${\displaystyle x_{i}\,}$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
      1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
      2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación ${\displaystyle f(x)=x^{4}+2x}$ no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en ${\displaystyle x_{0}=0}$ la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en ${\displaystyle x_{0}=0}$ es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que ${\displaystyle f}$ tampoco presenta un extremo en ${\displaystyle x_{0}}$.

Galeria de ejemplos[editar]

Derivada igual a cero[editar]

Función continua y derivable en a

f'(a)= 0

Función creciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función estacionaria en a.

Para x < a la función es concava.

Para x > a la función es concava.

Para x = a maximo relativo.

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Función continua y derivable en a

f'(a)= 0

Función decreciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función estacionaria en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a minimo relativo.

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Función continua y derivable en a

f'(a)= 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función estacionaria en a.

Para x < a la función es concava.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de inflexión.

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Función continua y derivable en a

f'(a)= 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función estacionaria en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es concava.

Para x = a punto de inflexión.

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Derivada mayor que cero[editar]

Función continua y derivable en a

f'(a)> 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es concava.

Para x = a punto de inflexión.

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Función continua y derivable en a

f'(a)> 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de tangencia.

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Función continua y derivable en a

f'(a)> 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es concava.

Para x > a la función es concava.

Para x = a punto de tangencia.

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Función continua y derivable en a

f'(a)> 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es concava.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de inflexión.

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Derivada menor que cero[editar]

Función continua y derivable en a

f'(a)< 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es concava.

Para x > a la función es concava.

Para x = a punto de tangencia.

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Función continua y derivable en a

f'(a)< 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es concava.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de inflexión.

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Función continua y derivable en a

f'(a)< 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es concava.

Para x = a punto de inflexión.

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Función continua y derivable en a

f'(a)< 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de tangencia.

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Derivada infinita[editar]

Función continua y derivable en a

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es concava.

Para x = a punto de inflexión vertical.

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Función continua y derivable en a

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es concava.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de inflexión vertical.

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PUNTOS DE INFLEXIÓN

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DEFINICIÓN

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión están caracterizados por: 

TEOREMA 

Sea  la ecuación de una función. Si  no existe, y la derivada  cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Clasificación de los puntos de inflexión 


Nota

Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. 

Ejemplo: 



 

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).