CÁLCULO

CÁLCULO DIFERENCIAL

 criterio de la derivada de mayor orden es usado para encontrar máximos, mínimos, y puntos de inflexión en la curva de un polinomio de grado n.

El criterio[editar]

Sea ${\displaystyle f(x)}$ una función derivable en el intervalo ${\displaystyle I=(a,c)}$ y sea ${\displaystyle b:\;a$ en el intervalo, tal que

1. ${\displaystyle f'(b)=f''(b)=f'''(b)=\cdots =f^{(n-1)}(b)=0}$;
2. ${\displaystyle f^{(n)}(b)}$ existe y no es cero.

Entonces,

1: si n es par

1.1: ${\displaystyle f^{(n)}(b)<0 implies="" x="b}</annotation">$ es un punto máximo local.

1.2: ${\displaystyle f^{(n)}(b)>0\implies x=b}$ es un punto mínimo local.

2: si n es impar

2.1: ${\displaystyle f^{(n)}(b)<0 implies="" x="b}</annotation">$ es un punto de inflexión decreciente.

2.2: ${\displaystyle f^{(n)}(b)>0\implies x=b}$ es un punto de inflexión creciente.

Recordando que los puntos de inflexión son crecientes y decrecientes dependiendo del cambio de la concavidad antes y después del punto de inflexión.

caso: 1.1: punto máximo local	caso: 1.2: punto mínimo local
caso: 2.1: punto de inflexión decreciente	caso: 2.2: punto de inflexión creciente criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemáticopara determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico ${\displaystyle c}$. Teorema valor máximo y mínimo[editar] "Sea ${\displaystyle c}$ un punto crítico de una función ${\displaystyle f}$ que es continua en un intervalo abierto ${\displaystyle I}$ que contiene a ${\displaystyle c}$. Si ${\displaystyle f}$ es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en ${\displaystyle c}$, entonces ${\displaystyle f(c)}$ puede clasificarse como sigue." 1. Si ${\displaystyle f}$ '${\displaystyle (x)}$ cambia de positiva a negativa en ${\displaystyle c}$, entonces ${\displaystyle f}$ tiene un máximo relativo en ${\displaystyle (c,f(c))}$. 2. Si ${\displaystyle f}$ '${\displaystyle (x)}$ cambia de negativa a positiva en ${\displaystyle c}$, entonces ${\displaystyle f}$ tiene un mínimo relativo en ${\displaystyle (c,f(c))}$. 3. Si ${\displaystyle f}$ '${\displaystyle (x)}$ es positiva en ambos lados de ${\displaystyle c}$ o negativa en ambos lados de c, entonces ${\displaystyle f(c)}$ no es ni un mínimo ni un máximo relativo. Criterio de la Primera Derivada Enunciado y demostración del Criterio de la primera derivada. Enlaces: Ejemplos de Aplicación, Criterio de la segunda derivada (extremos). Enunciado del teorema Sea f una función continua en el intervalo [a, b] de  y derivable en ]a, b[. Entonces, f es monótona creciente en ]a, b[ si, y sólo si, $$f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\forall x\in ]a,b[$$ f es monótona decreciente en ]a, b[ si, y sólo si, $$f^{\prime }\left(x\right)\le 0,\forall x\in ]a,b[$$ Demostración Demostraremos únicamente el apartado a ya que el b es análogo. Supongamos que f es creciente. Tenemos que ver que su derivada es mayor o igual que 0. Fijemos un punto x de ]a, b[. Entonces, por definición, la derivada de f en x es Puesto que f es creciente, si h > 0, se tiene que y, por tanto, $$f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$$ Supongamos ahora que para todo x de ]a, b[ Sean x e y de ]a, b[ tales que x < y. Por el teorema del valor medio, existe un c tal que $$x<c<y$$ cumpliendo $$f\left(y\right)-f\left(x\right)=f^{\prime }\left(c\right)(y-x)\ge 0$$ Es decir, $$f\left(y\right)\ge f\left(x\right),\forall x<y$$ por lo que f es creciente. https://www.matesfacil.com/DCMonotonia.htm El Criterio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función ${\displaystyle f}$ es convexa en un intervalo abierto que contiene a ${\displaystyle c}$, y ${\displaystyle f'(c)=0,f(c)}$ debe ser un mínimo relativo a ${\displaystyle f}$. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle f'(c)=0,f(c)}$ debe ser un máximo relativo de ${\displaystyle f}$. Teorema[editar] Sea ${\displaystyle f}$ una función tal que ${\displaystyle f'(x)=0}$ y la segunda derivada de ${\displaystyle f}$ existe en un intervalo abierto que contiene a ${\displaystyle x}$ Si ${\displaystyle f''(x)<0 annotation="">$, entonces ${\displaystyle f}$ tiene un máximo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$. Si ${\displaystyle f''(x)>0}$, entonces ${\displaystyle f}$ tiene un mínimo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$. Si ${\displaystyle f''(x)=0}$, entonces el criterio falla. Esto es, ${\displaystyle f}$ quizás tenga un máximo relativo en ${\displaystyle x}$, un mínimo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$ o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada. Criterio de la segunda derivada Sea  una función y  uno de sus puntos críticos. Entonces, si , la función tiene un máximo en  si , la función tiene un máximo en  si , la función tiene un punto de inflexión en  Ejemplo Utiliza el criterio de la segunda derivada para verificar que el punto crítico  de la función:    es un máximo. Si la segunda derivada evaluada en  es negativo, tenemos que la pendiente está decreciendo alrededor de ese punto crítico. Es decir, antes de  la pendiente es positiva y después es negativa. La segunda derivada de la función es:    La segunda derivada de la función siempre es negativa. Entonces, el único punto crítico de la función es un máximo. Ejemplo Calcula los máximos y mínimos de la función:    La primera derivada de la función:    Igualando a cero la primera derivada obtenemos una ecuación de cuarto grado. Podemos utilizar la sustitución: para simplificarla a una ecuación de segundo grado:    Ahora vamos a resolver la ecuación:    Entonces,    Es evidente que , por lo que al hacer:    obtenemos raíces complejas. Esas raíces no nos interesan. Entonces, consideramos .    Ahora calculamos la segunda derivada de la función:    Al evaluarla en los puntos críticos obtenemos:    Entonces la función tiene un máximo en el punto  y un mínimo en . Se te queda como ejercicio verificar que los puntos críticos han sido correctamente clasificados utilizando el criterio de la primera derivada (usando una tabla de valores de  y ) y graficar la función. Ejemplo Calcula los máximos y mínimos de la función:    Aprende Producción de Audio  usando el criterio de la segunda derivada. Empezamos calculando los puntos críticos de la función. Primero calculamos la primera derivada:    Ahora igualamos la primera derivada a cero y resolvemos:    Ahora calculamos la segunda derivada de la función:    Puesto que , al evaluar la segunda derivada en el único punto crítico de la función obtenemos un número positivo. Esto nos indica que el punto crítico corresponde a un mínimo. Ejemplo Calcula los máximos y mínimos de la función:    en el intervalo  usando el criterio de la segunda derivada. Para calcular la primera derivada usaremos la regla del producto. Definiendo: , y , tenemos que:    Sustituyendo estos valores en la regla de derivación correspondiente obtenemos:    Ahora calculamos los puntos críticos de la función igualando a cero la primera derivada:    Los valores para los cuales  y  son iguales en valor absoluto son  y . Esto se observa fácilmente en una circunferencia unitaria: Ahora vamos a calcular la segunda derivada de la función:    Al evaluar en los puntos críticos obtenemos:    Por lo que tiene un máximo en . Ahora vamos a evaluar la segunda derivada en el otro punto crítico:    Esto significa que se trata de un mínimo. La gráfica de esta función es la siguiente: https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/maximos-minimos-segunda-derivada/