CÁLCULO

CÁLCULO DIFERENCIAL

derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente y dependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».

Primera derivada[editar]

Sean ${\displaystyle x(t)\,}$ e ${\displaystyle y(t)\,}$ las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:

${\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {y'(t)}{x'(t)}},}$

donde la notación ${\displaystyle x'(t)\,}$ indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}\,}$

o en otras palabras

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.}$

Formalmente, mediante la regla de la cadena:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$

y dividiendo ambos miembros por ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$ se obtiene la ecuación de arriba.

Segunda derivada[editar]

La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {y'}{x'}}\right){\frac {1}{x'}}}$
	${\displaystyle ={\frac {x'y''-y'x''}{x'^{3}}}}$

mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.

Ejemplo[editar]

Por ejemplo, considérese el conjunto de funciones donde:

${\displaystyle x(t)=4t^{2}\,}$

y

${\displaystyle y(t)=3t.\,}$

Derivando ambas funciones con respecto a t se obtiene que

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=8t}$

y

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=3,}$

respectivamente. Substituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {y'}{x'}}={\frac {3}{8t}},}$

donde ${\displaystyle x'}$ y ${\displaystyle y'}$ se entienden como funciones de t.

derivada logarítmicade una función f queda definida por la fórmula

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}\!}$

donde f ′ es la derivada de f.

Sus descubridores fueron Leibniz y Newton.

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

Propiedades básicas[editar]

Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que

${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.\!}$

Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de Leibniz para la derivada del producto y así obtener ${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!}$ Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).

En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!}$

en la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.

En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:

${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!}$

en la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarímica de la base:

${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},\!}$

en forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.

En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto, una regla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas mediante la derivada logarítmica.

Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas[editar]

Las derivadas logarítmicas pueden ayudar a simplificar el cálculo de derivadas que requieren la regla del producto. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que ƒ(x) = u(x)v(x) y que se desea calcular ƒ'(x). En vez de realizar el cálculo en forma directa, calculamos su derivada logarítmica. O sea, se calcula:

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$

Multiplicando por ƒ se calcula ƒ':

${\displaystyle f'=f\left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).}$

Esta técnica es especialmente útil cuando ƒ es el producto de una gran cantidad de factores. La técnica descrita hace posible calcular ƒ' mediante el cálculo de la derivada logarítmica de cada factor, sumando, y multiplicando por ƒ.

Factores de integración[editar]

La idea de la derivada logarítmica está muy relacionada con el método del factor de integración para ecuaciones diferenciales de primer orden. Utilizando una notación en de operadores, se tiene

D = d/dx

y sea M el operador de multiplicación por alguna función G(x). Entonces

M⁻¹DM

puede ser escrito (por la regla del producto) como

D + M*

donde M* ahora es el operador de multiplicación por la derivada logarímica

G′/G.

En la práctica tenemos un operador tal que

D + F = L

y deseamos resolver ecuaciones del tipo

L(h) = f

para la fuunción h, conocida f. Por lo que el problema queda reducido a resolver

G′/G = F

que tiene la siguiente solución

exp(∫F)

con cualquier integral indefinida de F.

Análisis complejo[editar]

La fórmula indicada puede ser aplicada en forma amplia; por ejemplo si f(z) es una función meromórfica, tiene sentido en todos los valores complejos z en los cuales f no posee ni un cero ni un polo. Es más aún, en un cero o en un polo la derivada logarítmica se comporta en una forma tal que es fácilmente analizable mediante el caso particular

zⁿ

con n un entero, n ≠ 0. La derivada logarítmica es

n/z;

y es posible generalizar la conclusión en el sentido de que si f es meromórfica, las singularidades de la derivada logarítmica de f son todos polos simples, con residuo n de un cero de orden n, residuo −n de un polo de orden n. Véase argument principle. Esta información a menudo es utilizada en integración de contorno.

Ejemplos[editar]

• El crecimiento exponencial y el decaimiento exponencial son procesos con una derivada logarítmica constante.
• En matemáticas financieras, la letra griega ${\displaystyle \lambda }$ es la derivada logarítmica del precio derivado con respecto al precio subyacente.

Cuando usar el método de la derivación logarítmica

Existen fórmulas de funciones derivadas calcular la derivada de una función potencial, es decir, cuando la x o una función están elevadas a un número:

De la misma forma, existen fórmulas de funciones derivadas calcular la derivada de una función exponencial, es decir, cuando un número está elevado a x o a una función:

Sin embargo, no tenemos ninguna fórmula para derivar funciones que sean potenciales y exponenciales a la vez, es decir que tanto las x o las funciones estén en la base y en el exponente:

Por tanto, con este tipo de funciones potenciales-exponenciales es cuando hay que utilizar el método de la derivación logarítmica.

En el siguiente apartado veremos cuál es su procedimiento. Para entenderlo bien, es necesario que tengas muy claro cómo derivar funciones logarítmicas y como aplicar la regla de la derivada de un producto. Si necesitas revisarlo, en el Curso de Derivadas lo tienes explicado paso a paso, en el que te enseño a derivar paso a paso desde el principio.

Procedimiento del método de la derivación logarítmica

El procedimiento para derivar funciones potenciales-exponenciales mediante el método de la derivación logarítmica es el siguiente:

1. Aplicar logaritmos neperianos a ambos miembros de la ecuación
2. Aplicar propiedades de los logaritmos pasando la función exponente a multiplicar al logaritmo del segundo miembro
3. Derivar por separado ambos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta que la “y” del primer miembro es una función compuesta y por tanto hay que multiplicar por su derivada y’
4. Despejar y’
5. Operar en el segundo miembro para simplificar
6. Sustituir el valor de “y” por su valor, el cual lo obtenemos de la ecuación original

Resolviendo unos cuantos ejercicios lo entenderás mejor, que es lo que haremos en el siguiente apartado.

Ejercicios resueltos del método de la derivación logarítmica

Vamos a resolver un par de ejercicios para que te quede más claro cuáles son los pasos de la derivación logarítmica.

Por ejemplo:

Aplicamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la ecuación:

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, pasando a multiplicar al logaritmo la función que hacía de exponente, en el segundo miembro:

Derivamos en ambos miembros de la igualdad. En el primer miembro, derivamos con respecto de “y”, considerando “y” como una función compuesta y por lo tanto, hay que multiplicar por su derivada que es y’.

En el segundo miembro, aplicamos la regla de la derivada de un producto:

Operamos en el segundo término del segundo miembro, ya que se anulan las x:

Ahora debemos despejar y’ (la derivada de y). Para ello, primero pasamos multiplicando la “y” a todo el segundo miembro:

Por último, debemos sustituir la “y” por su valor y eso lo obtenemos de la ecuación original:

Por tanto, sustituyendo la “y” nos queda:

Y ese sería el valor de la derivada.

Vamos a ver otro ejemplo:

Empezamos aplicando logaritmos neperianos en ambos miembros de la ecuación:

Aplicamos propiedades de los logaritmos pasando a multiplicar la x del exponente al logaritmo neperiano:

Derivamos por separado ambos miembros de la ecuación:

Ahora vamos a operar en el segundo miembro teniendo en cuenta que el coseno entre el seno es igual a la cotangente:

Realizando este cambio nos queda de la siguiente forma:

Despejamos la y’ pasando la “y” al segundo miembro multiplicando:

Sustituimos la “y” por su valor, obtenido de la ecuación original, llegando a la obtención de su derivada:

Como ves, el procedimiento para derivar funciones potenciales-exponenciales por el método de la derivación logarítmica es siempre igual, por lo que si has entendido cómo he resuelto estos dos ejercicios, sabrás resolverlos todos.