CÁLCULO

CÁLCULO INTEGRAL

transformada de Abel, llamada así por Niels Henrik Abel, es una transformada integralfrecuentemente usada en el análisis de funciones de simetría esférica o axial. La transformada de Abel de una función f(r) está dada por:

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Si f(r) tiende a cero más rápidamente que 1/r, la transformada inversa de Abel viene dada por

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

En análisis de imágenes, se usa una transformada de Abel para proyectar una función de emisión ópticamente delgada y de simetría axial sobre un plano. La transformada inversa se usa para calcular la función de emisión, dada una cierta proyección (ej. un escaneo o una fotografía) de esta función.

Recientemente la transformada inversa de Abel (y sus variantes) se ha convertido en la piedra angular del análisis de datos de imágenes tipo fotón/fragmento/ion (photofragment-ion imaging) y fotón/electrón (photoelectron imaging). Entre las más notables extensiones recientes de la transformada inversa de Abel están los métodos Onion Peeling y BAsis Set Expansion (BASEX) para análisis de imágenes tipo fotón/electrón y fotón/ion.

Interpretación geométrica[editar]

Una interpretación geométrica de la transformada de Abel en dos dimensiones. Un observador (I) mira a lo largo de la línea paralela al eje x a una distancia y sobre el origen. Lo que el observador mira es la proyección (i.e. la integral) de la función de simetría circular f(r) a lo largo de la línea de visión. La función f(r) está representada en gris en ésta figura. Se supone que el observador está a distancia infinita del origen de manera que los límites de integración son ±∞.

En dos dimensiones, la transformada de Abel F(y) puede ser interpretada como la función de simetría circular f(r) a lo largo de un conjunto de líneas de visión, las cuales están a una distancia ydesde el origen. En referencia a la figura de la derecha, el observador (I) verá:

${\displaystyle F(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\,dx}$

donde f(r) es la función de simetría circular representada en gris en la figura. Se asume que el observador está en x = ∞ de manera que los límites de integración son ±∞ y todas las líneas de visión son paralelas al eje x. Notando que el radio r se relaciona con x y con y via r² = x² + y², se sigue que:

${\displaystyle dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

El intervalo de integración en r no pasa por cero, y ya que ambos f(r) y la expresión de arriba para dx son funciones pares, podemos escribir:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(r)dx=2\int _{0}^{\infty }f(r)\,dx,\;\;r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Substituyendo la expresión paradx en términos de ry reescribiendo los límites de integración acordemente, resulta la transformada de Abel.

La transformada de Abel puede extenderse a dimensiones más altas. La extensión a tres dimensiones es de particular interés. Si tenemos una función de simetría axial f(ρ,z) donde ρ² = x² + y² es el radio cilíndrico, entonces podríamos querer saber la proyección de esa función sobre el plano paralelo al eje z. Sin pérdida de generalidad, podemos escoger el plano yz de manera que:

${\displaystyle F(y,z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}}}$

la cual es justo la transformada de Abel de f(ρ,z) en ρ y y.

La simetría esférica es un tipo particular de simetría axial. En éste caso, tenemos la función f(r) donde r² = x² + y² + z². La proyección sobre, digamos el plano yz, será circularmente simétrica y expresable como F(s) donde s² = y² + z². Efectuando la integración, tenemos:

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2}}}}}$

lo cual es también la transformada de Abel de f(r) en r y s.

Verificación de la transformada inversa de Abel[editar]

Asumiendo que f es continua y diferenciable en todo punto y que f, f' tienden a cero más rápido que 1/r, podemos hacer ${\displaystyle u=f(r)}$ y ${\displaystyle v={\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$. Integrando por partes se tendrá:

${\displaystyle F(y)=-2\int _{y}^{\infty }f'(r){\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,dr.}$

Diferenciando formalmente,

${\displaystyle F'(y)=2y\int _{y}^{\infty }{\frac {f'(r)}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

Ahora, substituyendo esto en la fórmula de la transformada inversa de Abel:

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {F'(y)}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}\,dy=\int _{r}^{\infty }\int _{y}^{\infty }{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}f'(s)\,dsdy.}$

Por el Teorema de Fubini, la última integral es igual a:

${\displaystyle \int _{r}^{\infty }\int _{r}^{s}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\,ds=f(r).}$

Relación con otras transformadas integrales[editar]

Relación con las transformadas de Fourier y Hankel[editar]

La transformada de Abel es un miembro del ciclo FHA de operadores integrales. Por ejemplo, en dos dimensiones, si definimos A como el operador transformada de Abel, F como el operador transformada de Fourier y H como el operador transformada de Hankel de orden cero, entonces, un caso especial del Teorema de proyección-rebanada para funciones de simetría circular establece que:

${\displaystyle FA=H.\,}$

En otras palabras, aplicando la transformada de Abel a una función 1-dimensional y luego aplicando la transformada de Fourier resulta ser lo mismo que aplicar la transformada de Hankel a esa función. Este concepto puede extenderse a más dimensiones.

Relación con la transformada de Radon[editar]

La tranformada de Abel es una proyección de f(r) a lo largo de un eje particular. La transformada de Radon 2-dimensional nos da la transformada de Abel no sólo como función de la distancia a lo largo del eje de visión, sino también como función del ángulo de éste eje.

transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.

En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función ${\displaystyle f}$ con otra función ${\displaystyle g}$ definida de la manera siguiente:

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\xi \,x}dx}$

Donde ${\displaystyle f}$ es ${\displaystyle \displaystyle {L^{1}}}$, es decir, ${\displaystyle f}$ tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle \xi }$ suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo —segundos— y frecuencia —hercios— respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa:

${\displaystyle g(\xi )={\sqrt {\frac {\beta }{2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\beta \xi \,x}dx}$

la constante ${\displaystyle \beta }$ cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, ${\displaystyle g}$ corresponde al espectro de frecuencias de la señal ${\displaystyle f}$.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$. He aquí algunas de ellas:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f],{\hat {f}},F(f),{\mathcal {F}}\{f\}}$.

Definición[editar]

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Definición formal[editar]

Sea ${\displaystyle f}$ una función integrable Lebesgue:

${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ o ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {C} )}$

Se define la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ como la función

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}\ \ :\xi \mapsto {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$

Observemos que esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier${\displaystyle F(f)}$ es una función acotada. Además por medio del teorema de la convergencia dominada puede demostrarse fácilmente que ${\displaystyle F(f)}$ es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable ${\displaystyle f}$ está definida por:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{{\hat {f}}\}=f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi ,}$

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.

Propiedades básicas[editar]

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{a\cdot f+b\cdot g\}=a\,{\mathcal {F}}\{f\}+b\,{\mathcal {F}}\{g\}.}$

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable ${\displaystyle f}$:

• Cambio de escala:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(at)\}(\xi )={\frac {1}{|a|}}\cdot {\mathcal {F}}\{f\}{\bigg (}{\frac {\xi }{a}}{\bigg )}}$

• Traslación:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t-a)\}(\xi )=e^{-2\pi i\xi a}\cdot {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )}$

• Traslación en la variable transformada:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}(\xi -a)={\mathcal {F}}\{e^{2\pi iat}f(t)\}(\xi )}$

• Transformada de la derivada: Si ${\displaystyle f}$ y su derivada son integrables,

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}(\xi )=2\pi i\xi \cdot {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )}$

• Derivada de la transformada: Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle t}$ → ${\displaystyle f(t)}$ son integrables, la transformada de Fourier ${\displaystyle F(f)}$ es diferenciable

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}'(\xi )={\mathcal {F}}\{(-it)\cdot f(t)\}(\xi )}$

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ en la recta de la manera siguiente:

${\displaystyle (f*g)(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(y)\cdot g(x-y)\,dy.}$

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}.}$

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.

Pares transformados de uso frecuente[editar]

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$, siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2\pi }}}$ en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad cuya comprobación es trivial. Si se desea utilizar otro factor, basta con multiplicar la segunda columna por dicho factor.

Función	Transformada
${\displaystyle \delta (t)\!}$	${\displaystyle 1\!}$
${\displaystyle u(t)\!}$ (Función unitaria de Heaviside)	${\displaystyle 1/2(\delta (f)+1/(i\pi f))\!}$
${\displaystyle \sin(w_{0}t)\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{i}}[\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0})]\!}$
${\displaystyle \cos(w_{0}t)\!}$	${\displaystyle \pi [\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0})]\!}$
${\displaystyle 1\!}$	${\displaystyle \delta (f)=2\pi \delta (w)\!}$
${\displaystyle e^{-at}u(t),\quad \mathrm {Re} (a)>0\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{a+iw}}\!}$
${\displaystyle e^{-a|t|}}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+w^{2}}}\!}$
${\displaystyle te^{-at}u(t),\quad \mathrm {Re} (a)>0\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{(a+iw)^{2}}}\!}$
${\displaystyle {\begin{cases}\cos w_{0}x&|x|\leq A\\0&|x|>A\end{cases}}}$	${\displaystyle {\frac {\sin A(w-w_{0})}{2\pi (w-w_{0})}}+{\frac {\sin A(w+w_{0})}{2\pi (w+w_{0})}}}$
${\displaystyle x(t)=\mathrm {rect} \left({\frac {t}{2T_{1}}}\right)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}|t|T_{1}\end{cases}}\!}$	${\displaystyle 2T_{1}\mathrm {sinc} \left({\frac {wT_{1}}{\pi }}\right)=2{\frac {\sin(wT_{1})}{w}}}$
${\displaystyle x(t)=\mathrm {tri} \left({\frac {t}{2T_{1}}}\right)={\begin{cases}1-{\frac {|t|}{T_{1}}},&{\mbox{si }}|t|T_{1}\end{cases}}\!}$	${\displaystyle 2T_{1}\mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {wT_{1}}{\pi }}\right)}$
${\displaystyle x(t)=e^{-t^{2}/a^{2}},\quad \mathrm {Im} (a)=0\!}$	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}e^{-a^{2}w^{2}/4}}$
${\displaystyle e^{-at^{2}}}$	${\displaystyle \surd {\frac {\pi }{a}}e^{-w^{2}/4a}}$

Teorema de inversión[editar]

La idea básica del teorema de inversión es que dada una función ${\displaystyle f}$, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ resulta en la misma función original, en símbolos:

${\displaystyle (1)\quad {\check {\hat {f}}}=f\quad }$

Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es siempre válido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una función integrable no es necesariamente integrable.

Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado:

Teorema. El espacio de funciones complejas ${\displaystyle f}$ definidas en la recta tales que${\displaystyle f}$ y la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Además para una función ${\displaystyle f}$ en este espacio, vale el teorema de inversión (1).

Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.

La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz[editar]

El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en ℝ e infinitamente diferenciables tales que para todo ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ enteros no negativos

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }|x^{m}\varphi ^{(n)}(x)|<\infty ,}$

donde φ⁽ⁿ⁾ es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Teorema

Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales

${\displaystyle {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}.}$

Además vale la fórmula de inversión:

${\displaystyle {\check {\hat {f}}}=f,\quad f\in {\mathcal {S}}.}$

El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma

${\displaystyle [T\varphi ](x)=\sum _{k=0}^{m}P_{k}(x){\bigg (}{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\varphi (x).}$

donde P_k son polinomios.

Debido a las propiedades

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d\varphi }{dx}}\right\}(\xi )=i\xi \cdot {\mathcal {F}}\{\varphi \}(\xi )\quad }$

y

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{-ix\cdot \varphi (x)\}(\xi )={\frac {d}{d\xi }}{\bigg (}{\mathcal {F}}\{\varphi \}(\xi ){\bigg )},}$

la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferencialestanto para la teoría como para su resolución práctica.

Propiedades de homomorfismo[editar]

Debido a que las "funciones base" e^ikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:

1. Si ${\displaystyle g(x)=f(x-y)}$ entonces ${\displaystyle {\hat {g}}(k)=e^{-iky}{\hat {f}}(k)}$
2. La transformada de Fourier es un morfismo:

${\displaystyle {\widehat {(f*g)}}(k)={\hat {f}}(k)\cdot {\hat {g}}(k)}$

Es decir, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.

Uso en ingeniería[editar]

La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.

La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores.

La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora, véase ondícula (wavelet).

Interpretación geométrica[editar]

Definido el producto escalar entre funciones de la siguiente manera:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g(x)\ dx\quad }$

la transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre la función ${\displaystyle x(t)}$ y la exponencial compleja ${\displaystyle e^{i2\pi \,ft}}$ evaluado sobre todo el rango de frecuencias ${\displaystyle f}$. Por la interpretación usual del producto escalar, en aquellas frecuencias en las que la transformada tiene un valor mayor, más parecido tiene ${\displaystyle x(t)}$ con una exponencial compleja.