CÁLCULO

CÁLCULO DE VARIACIONES

cálculo variacional de Malliavin, nombrado así por Paul Malliavin, generaliza el cálculo de variaciones de funciones a procesos estocásticos. El cálculo variacional de Malliavin también se denomina cálculo variacional estocástico. En particular, permite definir la definción de la derivada de una variable aleatoria.

Las ideas de Malliavin llevaron a una demostración de que la condición de Hörmander implica la existencia de una densidad de probablidad suave para la solución de una ecuación diferencial estocástica. La demostración original de L. Hörmander se basaba en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales. El cálculo de Malliavin ha sido aplicado también a las ecuaciones diferenciales estocásticas en derivadas parciales.

El cálculo de Malliavin permite definir la integración por partes de variables aleatorias, esta operación se usa en matemática financiera para calcular las sensibilidades de la derivada financiera. Además el cálculo de Malliavin ha encontrado algunas aplicaciones, por ejemplo, en el filtrado estocástico.

Panorama general e historia[editar]

El cálculo estocástico de Paul Malliavin generaliza como se ha dicho el cálculo de variaciones. Sólo que en lugar de resolver un problema variacional sobre un espacio de funciones lo hace sobre un espacio de procesos estocásticos

Principio de invariancia[editar]

El principio de invariancia usual para la integral de Lebesgue sobre la recta real es que, para cualquier número real ε y cualquier función integrable f, la siguiente condición se cumpla:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\,d\lambda (x)}$

Esto puede usarse para deducir una fórmula de integración por partes, escogiendo f = gh y diferenciándloa con respecto a ε en ambos términos, lo que implica

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda }$

Una idea parecida puede aplicarse en análisis estocástico para la diferenciación a lo largo de una dirección de Cameron-Martin-Girsanov. De hecho, si ${\displaystyle h_{s}}$ es un proceso predecible y cuadrado integrable, se define:

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.}$

Siendo ${\displaystyle X}$ un proceso de Wiener, el teorema de Girsanov entonces implica el siguiente análogo del principio de invariancia:

${\displaystyle \mathbb {E} (F(X+\varepsilon \varphi ))=\mathbb {E} \left[F(X)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right]}$

Diferenciando con respecto a ε en ambos miembros y evaluando en ε=0, se obtiene la siguiente fórmula de integración por partes:

${\displaystyle \mathbb {E} (\langle DF(X),\varphi \rangle )=\mathbb {E} {\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\Bigr ]}.}$

Aquí, el término de la izquierda es la derivada de Malliavin de la variable aleatoria ${\displaystyle F}$ en la dirección ${\displaystyle \varphi }$ y la integral que aparece a la derecha debe ser interpretada como una integral de Itō. Esta expresión también resulta cierta (por definición) si ${\displaystyle h}$ no está adaptado, dado que el miembro de la derecha se interpeta como una integral de Skorokhod.^{[cita requerida]}

Fórmula de Clark-Ocone[editar]

Artículo principal: Teorema de Clark-Ocone

Uno de los resultados más útiles del cálculo variacional de Malliavin es el teorema de Clark-Ocone, que permite identificar explícitamente el proceso involucrado en el teorema de representación de martingalas. Una versión simple de este teorema afirma que:

Para ${\displaystyle F:C[0,1]\to \mathbb {R} }$ satisfaciendo ${\displaystyle \mathbb {E} (F(X)^{2})<\infty }$ que sea Lipschitz y tal que F tenga un núcleo con derivada [en el sentido fuerte], de tal manera que para for ${\displaystyle \varphi }$ in C[0,1] ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(1/\varepsilon )(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X}$ entonces ${\displaystyle F(X)=\mathbb {E} (F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t},}$ donde H es la proyección previsible de F'(x, (t,1]), que puede ser vista como la derivada de la función F con respecto a un desplazamiento paralelo adecuado del proceso X sobre la porción (t,1] de su dominio.

Esto puede ser reexpresado de manera concisa mediante:

${\displaystyle F(X)=\mathbb {E} (F(X))+\int _{0}^{1}\mathbb {E} (D_{t}F|{\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}}$

Mucho de trabajo en el desarrollo forma del cálculo variacional de Malliavin involucra extender este resultado a la clase más grande posible de funcionales F, reemplazando la derivada del núcleo usado anteriormente por la "derivada" de Malliavin denotada como ${\displaystyle D_{t}}$ en la exposición del resultado anterior.

Intregral de Skorokhod[editar]

Artículo principal: Integral de Skorokhod

El operador integral de Skorokhod que se denota convencionalmente mediante δ se define como el operador adjunto de la derivada de Malliavin, así, para u en el dominio del operador (que es el un subjconjunto de ${\displaystyle L^{2}([0,\infty )\times \Omega )}$), y para F en el dominio de la derivada de Malliavin se requiere que:

${\displaystyle \mathbb {E} (\langle DF,u\rangle )=\mathbb {E} (F\delta (u)),}$

donde el producto interno es el definido en ${\displaystyle L^{2}[0,\infty )}$, es decir,

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(s)g(s)\,{\text{d}}s}$

La existencia de este operador adjunto se sigue del teorema de representación de Riesz para operadores lineales sobre espacios de Hilbert. Se puede demostrarq que si u está adaptada entonces

${\displaystyle \delta (u)=\int _{0}^{\infty }u_{t}\,dW_{t},}$

donde la integral debe entenderse en el sentido de Itō. Por tanto, esto proporciona una manera de extender la integral de Itō a integrandos no adaptados.

Aplicaciones[editar]

El cálculo de Malliavin permite la integración por partes en variables aleatorias, esta operación se usa en matemática financiera para calcular la sensibilidad de la "derivada financiera" Además el cálculo tiene aplicaciones en el filtrado estocástico.

Camino óptico (L) (o longitud de camino óptico) es la distancia recorrida, a la velocidad de la luz en el vacío, en el tiempo t empleado por la luz para recorrer la distancia l en un medio con índice de refracción n.

${\displaystyle L=\mathrm {n} l\quad }$

Teniendo en cuenta que: el pico

${\displaystyle n={\frac {c}{v}}}$

podemos ver que:

${\displaystyle L={\frac {c}{v}}l=ct}$

siendo t el tiempo que tarda la luz en recorrer la distancia l y c la velocidad de la luz.

Si el medio por el que la luz se propaga tiene un índice de refracción n variable, el camino óptico viene dado por:

${\displaystyle \mathrm {\int } _{C}n(s)\mathrm {d} s\quad }$

en la caso de que la distribución de este sea continua. Si es discreta:

${\displaystyle \mathrm {L} =\sum _{i}n_{i}l_{i}=c\sum _{i}t_{i}}$

de tal manera que la definición anterior se sigue cumpliendo.

Fenómenos ópticos[editar]

Una diferencia en el camino óptico entre dos rayos de luz coherentes es lo que genera diversos fenómenos ópticos, como la difracción y la interferencia.

Difracción[editar]

Artículo principal: Difracción (física)

La difracción es el término usado para describir los comportamientos de un rayo de luz cuando pasa sobre el borde de un objeto opaco o a través de una ranura muy estrecha.

Espectro de frecuencias[editar]

Artículo principal: Espectro de frecuencias

Cuando la luz pasa por una ranura muy estrecha, el rayo central pasa sin distorsión mientras que la parte que se interseca con los bordes de la ranura se desvía en función de su longitud de onda o color. La figura de la mancha de luz es una banda central blanca con una serie de espectros a ambos lados.

Interferencia[editar]

Artículo principal: Interferencia

Principio de Fermat[editar]

Artículo principal: Principio de Fermat

El camino óptico permite determinar la trayectoria de un rayo de luz gracias al principio de Fermat. Éste establece que un rayo de luz sigue una trayectoria cuyo camino óptico sea estacionario (máximo, mínimo o punto de silla).

Así, por ejemplo, un rayo de luz que vaya de uno a otro de los focos de una elipse puede seguir la línea recta que une ambos focos o sufrir una reflexión en el perímetro de la elipse. En el primer caso, el camino óptico es mínimo, en el segundo caso es máximo.

Análogamente, un rayo de luz propagándose entre dos puntos y contando con un plano en el que reflejarse, puede seguir dos trayectorias distintas. Una en la que el rayo de luz no se refleja en el espejo (camino óptico mínimo) y otra en la que sí se refleja (camino óptico máximo).

El principio de Fermat permite así mismo derivar la ley de Snell.

El principio de Fermat es análogo al principio de estacionariedad del lagrangiano de un sistema mecánico. Gracias a esto, puede establecerse una analogía entre la mecánica lagrangiana, la mecánica hamiltoniana y la óptica geométrica. En particular, el concepto de camino óptico es análogo al concepto de lagrangiano de un sistema mecánico.

energía de Dirichlet es una medida numérica de cómo de variable es una función. Más abstractamente, es un funcional cuadrático sobre el espacio de Sóbolev ${\displaystyle \mathbf {H} ^{1}}$. La energía de Dirichlet está íntimamente conectada con la ecuación de Laplace y su nombre se debe al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

energía de Dirichlet es una medida numérica de cómo de variable es una función. Más abstractamente, es un funcional cuadrático sobre el espacio de Sóbolev ${\displaystyle \mathbf {H} ^{1}}$. La energía de Dirichlet está íntimamente conectada con la ecuación de Laplace y su nombre se debe al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet.