CÁLCULO

CÁLCULO DE VARIACIONES

segundo teorema de Noether relaciona las simetrías de una acción funcionalcon un sistema de ecuaciones diferenciales.¹​ La acción S de un sistema físico es una integración de la llamada función lagrangiana L, a partir de la que el comportamiento del sistema puede ser determinado por el principio de mínima acción.

Específicamente, el teorema dice que si la acción posee un álgebra de Lie de dimensión infinita de simetrías infinitesimales parametrizadas linealmente por k funciones arbitrarias y sus derivadas hasta el orden m, entonces las derivadas de L satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales k.

El segundo teorema de Noether a veces se usa en teoría de campo de paso. Las teorías de paso son los elementos básicos de todos las teorías de campo modernas de la física, como el modelo estándar de la física de partículas prevaleciente.

 sistema lagrangiano¹​ es un par (Y, L), que consiste en un fibrado suave Y → X y una densidad lagrangiana L, lo que hace que el operador diferencial de Euler-Lagrange actúe en secciones de Y → X.

En mecánica clásica, muchos sistemas dinámicos son sistemas lagrangianos. El espacio de configuración de dicho sistema lagrangiano es un haz de fibras Q → ℝ en el eje de tiempo sobre ℝ. En particular, Q = ℝ × M si un marco de referencia es fijo. En teoría clásica de campos, todos los sistemas de campo lo son de Lagrange.

Lagrangianos y operadores de Euler-Lagrange[editar]

Una densidad lagrangiana L (o, simplemente, un lagrangiano) de orden r se define como una n-forma, n = dim X, de variedades de jets orden r J^rY sobre Y.

Un lagrangiano L puede ser introducido como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial O^∗_∞(Y) de formas exteriores en la variedad de jets de Y → X. El operador cohomólogo de este bicomplejo contiene el operador variacional δ que, actuando en L, define el operador asociado de Euler-Lagrange δL.

En coordenadas[editar]

Dado el haz coordenado x^λ, yⁱ en un haz de fibras Y y las coordenadas adaptadas x^λ, yⁱ, yⁱ_Λ, (Λ = (λ₁, ...,λ_k), |Λ| = k ≤ r) en las variedades de jets J^rY, un lagrangiano L y su operador de Euler-Lagrange se expresan como

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,}$

${\displaystyle \delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},}$

donde

${\displaystyle d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,}$

denotan las derivadas totales.

Por ejemplo, un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.}$

Ecuaciones de Euler-Lagrange[editar]

El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagranges δL = 0.

Cohomología y los teoremas de Noether[editar]

Una cohomología del bicomplejo variacional conduce a la llamada fórmula variacional

${\displaystyle dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},}$

donde

${\displaystyle d_{H}\Theta _{L}=dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)}$

es el diferencial total y θ_L es un equivalente de Lepage de L. El teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional.

Variedades clasificadas[editar]

Extendido a variedades clasificadas, el bicomplejo variacional proporciona una descripción de los sistemas lagrangianos clasificados de variables pares e impares.²​

Formulaciones alternativas[editar]

De manera diferente, los operadores lagrangianos, los de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange se introducen en el marco del cálculo de variaciones.

Mecánica clásica[editar]

En la mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden en una variedad M o varios haces de fibras Q sobre ℝ. Una solución de las ecuaciones de movimiento se llama movimiento.

teorema de Saint-Venant a la afimación:

La sección simplemente conexa con resistencia a la torsión mecánica máxima es un círculo.1​

El teorema honra la memoria del matemático y mecánico francés Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant(1797 – 1886).

Conceptos previos[editar]

Descripción de una barra de sección cuadrada sometida a esfuerzos de torsión

En mecánica de sólidos deformables, es habitual utilizar el modelo de viga o barra, donde una dimensión es mucho mayor que las otras dos. Así, es posible calcular en función de la coordenada X, relacionando las cargas mecánicas con propiedades del material y la sección perpendicular a dicha dirección preferente.

Cuanto mayor sea la sección, menores serán las deformaciones ante una carga dada. Sin embargo, no importa sólo el valor absoluto del área geométrica, sino también su distribución (momento de inercia). De esa forma se acuña el concepto ingenieril de rigidez. Así, un problema típico del cálculo de estructuras busca calcular la forma y posición de una sección que minimice el área (y por tanto el material empleado) al soportar unos determinados esfuerzos.

El teorema de Saint-Venant enuncia la configuración óptima para una viga maciza (sin huecos), que soporta esfuerzos de torsión.

Descripción formal[editar]

Dado un dominio simplemente conexo D en un plano con área A, radio ${\displaystyle \rho }$ y siendo ${\displaystyle \sigma }$ el área de su mayor círculo inscrito, podemos definir la rigidez torsional P de D mediante;

${\displaystyle P=4\sup _{f}{\frac {\left(\int \int \limits _{D}f\,dx\,dy\right)^{2}}{\int \int \limits _{D}f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\,dx\,dy}}}$.

Donde el supremo se toma mediante cálculo variacional sobre todas las posibles funciones diferenciables que tienen como contorno D. La existencia de dicho supremo se puede demostrar como conscuencia de la desigualdad de Poincaré.

Saint-Venant²​ conjeturó en 1856 que de todos los dominios posibles D de igual área A, el círculo era el que tenía una mayor rigidez torsional, es decir:

${\displaystyle P\leq P_{\text{circle}}\leq {\frac {A^{2}}{2\pi }}}$.

Una prueba rigurosa de dicha desigualdad no se obtuvo hasta 1948 por parte de Pólya.³​ Otra demostración de este teorema fue dada por Davenport.⁴​ La prueba más general y la estimación

${\displaystyle P<4 annotation="" rho="">$

fue dada por Makai.

 "fenómeno de edwin florez " y una "vibración forzada" empezaremos definiendo un sistema que utilizaremos para generar una onda mecánica. Para ello se atara una cuerda ideal de longitud infinita de manera que el movimiento del sistema por definir, sirva como una fuente de ondas mecánicas.

Al hablar de una cuerda ideal nos referimos a una cuerda cuya masa es despreciable en comparación con la del sistema. Estas hipótesis nos permitirá igualar la coordenada de movimiento del sistema ${\displaystyle x}$ con la de la cuerda ${\displaystyle \psi }$ y sustituirla en su ecuación de movimiento sin modificar la masa, el coeficiente de amortiguamiento ni su frecuencia natural, esto es, resolver la ecuación de movimiento del sistema equivaldrá a tener una expresión para el movimiento que sigue la cuerda.

Una vez hecho esto realizaremos un análisis de forma gráfica y analítica de dicha expresión.

Deducción del modelo[editar]

Sea A un sistema de masa m sujeto a un resorte ideal que obedece la ley de Hooke. Si el sistema se encuentra inmerso en un medio resistente que ejerce una fuerza de amortiguamiento proporcional a la primera potencia de la velocidad y si además se ejerce sobre él una fuerza de la forma:

${\displaystyle f(x)=f_{0}cos\left(w_{0}t\right)}$

entonces por segunda ley de Newton tenemos que:

${\displaystyle -\propto {\dot {x}}-kx+f_{0}cos\left(w_{0}t\right)=m{\ddot {x}}}$

o bien como:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+\propto {\dot {x}}+kx=f_{0}cos\left(w_{0}t\right)}$

definiendo:

${\displaystyle \beta \equiv {\frac {\propto }{2m}},w\equiv {\frac {k}{m}},F_{0}\equiv {\frac {f_{0}}{m}}}$

obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+wx=F_{0}cos\left(w_{0}t\right)}$

Ahora bien fijamos sobre el sistema una cuerda ideal de longitud l de manera que:

${\displaystyle x=\psi }$

obtenemos:

${\displaystyle {\ddot {\psi }}+2\beta {\dot {\psi }}+w_{0}\psi =F_{0}cos\left(w_{0}t\right)}$

Cuya solución es la suma de la ecuación:

${\displaystyle \psi _{general}=\psi _{homogenea}+\psi _{particular}}$

Término transitorio[editar]

Término estable[editar]

${\displaystyle {\ddot {\psi }}_{c}+2\beta {\dot {\psi }}_{c}+w_{0}\psi _{c}=F_{c}}$

${\displaystyle \psi _{c}=\psi _{0}e^{iw_{0}t}}$

${\displaystyle {\dot {\psi _{c}}}=i\psi _{0}we^{iw_{0}t}}$

${\displaystyle {\ddot {\psi _{c}}}=-\psi _{0}w^{2}e^{iw_{0}t}}$

${\displaystyle (w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{0}e^{iw_{0}t}=F_{c}}$

${\displaystyle (w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{c}=F_{c}}$

${\displaystyle \psi _{c}={\frac {F_{0}e^{iwt}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}}$

${\displaystyle \psi _{c}\equiv {\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}}$

${\displaystyle \psi _{c}={\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}{\frac {(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}}={\frac {F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}}$

${\displaystyle \psi _{c}={\frac {F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2})}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}-i{\frac {F_{0}2\beta w}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}=\psi _{0}e^{i\propto }}$

${\displaystyle \psi _{0}(w)={\frac {1}{\sqrt {(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}}}$

${\displaystyle \propto (w)=ArcTan({\frac {-2\beta w}{w_{0}^{2}-w^{2}}})}$